導數(shù)問題中的常見錯誤及啟示

導數(shù)問題中的極值點問題、由單調(diào)性求參數(shù)范圍問題、曲線的切線問題、利用導數(shù)畫函數(shù)圖像及求值域問題等常會出現(xiàn)錯誤。

一、極值點的判斷問題

例1（2012年江蘇省高考題第18題）：若函數(shù)y=f（x）在x=x0處取得極大值或極小值，則x0稱為函數(shù)y=f（x）的極值點。已知a，b是實數(shù)，1和-1是函數(shù)y=f（x）=x3+ax2+bx的兩個極值點。

（1）求a和b的值；（2）設函數(shù)g（x）的導函數(shù)g'（x）=f（x）+2，求g（x）的極值點；（3）設h（x）=f（f（x））-c，其中c∈[-2，2]，求函數(shù)y=h（x）的零點個數(shù)。

錯解：（1）a=0，b=-3。（過程省略）

（2）g（x）=x3-3x+2，令g（x）=0，解得x=1或x=-2，所以極值點為1，-2 。

本題（1）（2）問屬于中檔題，但不細心的學生容易出錯，仔細探究出錯的內(nèi)在原因是沒有真正掌握極值點x0和f（x0）=0的關系。我們知道f（x0）=0并不是x0為極值點的充要條件，要想徹底弄明白就要回歸定義。由定義知本題第（2）問中-2不是極值點。

此題給我們的啟示：定義是處理糾結問題的“有效武器”，是解題依據(jù)的“憲法”，在平時的教學中我們要重視概念教學。

利用極值的定義我們可以解決以下兩個問題：

（1）“0”是否為函數(shù)f（x0）=x3的極值點？（2）判斷“0”是否為函數(shù)f（x）=|x|的極值點，如果是極值點并判斷是極大值點還是極小值點。根據(jù)定義不難作出回答：（1）“0”不是函數(shù)f（x0）=x3的極值點，盡管f'（0）=0； （2）“0”是極值點而且是極小值點，但此時f'（0）≠0。可見f'（0）=0是x0為極值點的既不充分也不必要條件。由以上問題的常見錯誤說明我們平時的教學工作中要教會學生抓住數(shù)學中本質性知識，只要我們抓住本質性的知識就可以以不變應萬變。

二、由單調(diào)性求參數(shù)范圍問題

例2：已知函數(shù)f（x）=mx2+lnx-2x在定義域內(nèi)是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍。

錯解：由條件得f'（x）>0，即2mx+-2>0恒成立，解之得m>。

錯因剖析：函數(shù)y=f（x）為增函數(shù)與f'（x）>0并不是互為充要條件的，如函數(shù)f（x）=x3。本例正解：由條件得f '（x0）≥0，即2mx+-2≥0恒成立，解得m≥。

此題給我們的啟示：若函數(shù)y=f（x）為增函數(shù)，則f'（x）≥0；若f'（x）≥0（排除f'（x）≡0），則y=f（x）為增函數(shù)，尤其在求相關參數(shù)范圍時要注意這一點。

三、曲線的切線問題

例3：求過點（1，1）且與曲線y=x3相切的直線方程。

錯解：因為y=3x2，k=3，則所求的直線方程為y=3x-2。

錯誤剖析：本題誤以為點（1，1）是切點導致錯誤，從題意來看兩種可能：（1）點（1，1）就是切點；（2）點（1，1）不是切點，只是切線上普通一點。本題正確結果為切線方程：y=3x-2或y=x+。

我們再來看一個變式問題：過點（1，0）且與曲線y=x3相切的直線有幾條？

錯解：設切點P（x0，x03），k=3x02，則切線方程為y-x03=3x02（x-x0），點（1，0）代入切線方程，解之得x0=0或x0=，因為x0=0時，切線方程是y=0不合題意，所以切線方程只有一條：27x-4x-27=0。

為什么將y=0舍去呢？有的學生說該直線與曲線“相交”，而不是相切，所以舍去。這是受到初中圓的切線負面遷移的影響，認為切線應該在曲線的一側。根據(jù)《普通高中課程標準實驗教科書——數(shù)學》（選修2-2，蘇教版）中的定義：設y=f（x）圖像上一動點P1，隨著動點P1向點P運動，割線PP1在點P附近越來越逼近曲線。當點P無限逼近點P時，直線PP1最終就成為在點P處的切線。所以y=0正符合切線定義。

四、利用導數(shù)畫函數(shù)圖像及求值域等問題

例4：已知函數(shù)f（x）=，（1）求函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間及值域；（2）若f（x）=m，根據(jù)m的不同范圍確定關于x的方程f（x）=m根的個數(shù)。

錯解：（1）因為f（x）=≥0時解得x≥e，f（x）<0時解得0

（2）由圖像知，當m=e時方程f（x）=m有一個根；當m∈[e，+∞）時方程f（x）=m有兩個根。

錯因分析：錯誤的根本原因是忽略函數(shù)的定義域（0，1）∪（1，+∞），由于沒有意識到x≠0，所以圖像中出現(xiàn)“斷點”而渾然不知，導致全盤皆輸。

再如函數(shù)f（x）=（x>0且x≠1），利用導數(shù)研究單調(diào)性及畫函數(shù)示意圖時要注意在x=1時出現(xiàn)函數(shù)圖像“斷點”現(xiàn)象。另外因為該函數(shù)在[1，+∞）為遞減函數(shù)，容易導致f（x）∈（-∞，f（x）]的錯誤，畫示意圖時要注意在區(qū)間[1，+∞）上函數(shù)圖像“下不來”，就像函數(shù)f（x）=在區(qū)間（0，+∞）上的圖像在x軸以上，不能到x軸以下。

（江蘇省徐州市賈汪中學）