做好解題后的反思培養(yǎng)學(xué)生解決問題的才能

在教學(xué)過程中，我們往往只重視問題的解決而忽視問題的發(fā)現(xiàn)，其實發(fā)現(xiàn)問題與解決問題是思維的兩個互逆的過程，兩者缺一不可。著名科學(xué)家愛因斯坦說：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要，解決問題也許僅是一個數(shù)學(xué)上或?qū)嶒炆系募寄芏?，而提出新的問題、新的可能性，從新的角度去看舊的問題，都需要有創(chuàng)造性的想象力。”因此，在做題時，不僅要多動腦筋、勤于思考，不僅要懂得如何處理問題、解決問題，還要懂得如何發(fā)現(xiàn)新問題、提出新問題。那么如何去培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)新問題、提出新問題呢？我們不妨從解題后的反思開始做起。

所謂解題后的反思實際是解題學(xué)習(xí)的信息反饋調(diào)控階段，是一個解題學(xué)習(xí)的強化過程，一個增加解題的可供聯(lián)想儲備信息的過程。通過反思，有利于學(xué)生進行深層次的建構(gòu)。我們在課堂教學(xué)中讓學(xué)生對例題、習(xí)題進行反思，目的就是給他們以總結(jié)、探索、發(fā)現(xiàn)、發(fā)展的空間。因此，這就需要我們創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生大膽地發(fā)現(xiàn)問題，培養(yǎng)學(xué)生反思的習(xí)慣，這樣不僅能加深概念、定理、公式等基礎(chǔ)知識的理解與掌握，更重要的是能開發(fā)學(xué)生的智力，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的才能。

一、反思解題方法，培養(yǎng)思維的全面性

解完一道題后，引導(dǎo)學(xué)生能否根據(jù)該題的基本特點與條件，進行多角度、全方位的觀察、思考，尋求更多的解題方法，這有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的全面性。

例1 已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點（0，0），（2，0），且函數(shù)的最大值為1，求這個二次函數(shù)的關(guān)系式。

解：二次函數(shù)圖像經(jīng)過原點，可設(shè)其函數(shù)的關(guān)系式為y=ax2+bx（a≠0），

則依題意有4a+2b=0

=1，解之，得a=-1

b=2。

∴這個函數(shù)的關(guān)系式為y=x2+2x。

反思：上面的解法是設(shè)二次函數(shù)的一般式，我們知道二次函數(shù)有三種形式，能否用另外兩種形式來求出此函數(shù)的解析式呢？

由圖像經(jīng)過點（0，0），（2，0）知二次函數(shù)的圖像的對稱軸為x=1，又因為函數(shù)的最大值為1，所以得知圖像的頂點坐標(biāo)為（1，1），可得出a的值。

另解1：設(shè)y=a（x-1）2+1=-x2+2x，則由圖像過點（2，0）得0=a（2-1）2+1解之，得a=-1。

∴函數(shù)的關(guān)系式為y=-（x-1）2+1=-x2+2x。

再進一步分析由圖像經(jīng)過點（0，0），（2，0）知，二次函數(shù)的圖像與x軸有兩個交點。

另解2：設(shè)y=ax（x-2）=ax2（a≠0），又函數(shù)的最大值為1，∴=1。解之，得a=-1。

∴函數(shù)個關(guān)系式為y=-x2+2x。

二、反思解題過程，培養(yǎng)思維的概括性

解完一道題后，引導(dǎo)學(xué)生認真分析解題過程有沒有思維回路，哪些過程可以合并或轉(zhuǎn)換，能否從其他的角度重新審視題目，得出更加簡捷漂亮的解法，這樣的反思，有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的概括性。

例2 已知 x1，x2是方程2x2-3x+1=0的兩根，求（x1+1）（x2+1）的值。

在解此題時，不少學(xué)生是利用求根公式法求解，然后代入計算，解法如下：

解： ∵a=2，b=-3，c=1，∴b2-4ac

=9-8=1，∴x==，∴ x1=1，x2 =，∴（x1+1）（x2+1）=（1+1）（+1）=3。

反思：上面的求解過程中，實質(zhì)上是先解出方程，再代入計算，較麻煩，若我們根據(jù)題意，利用根與系數(shù)關(guān)系，則可得如下的較優(yōu)的解法。

解：∵x1+x2=-=，x1×x2=，∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=++1=3。

三、反思題目特征，培養(yǎng)思維的深刻性

解完一道題后，引導(dǎo)學(xué)生通過反思題目特征，加深對題目特征的本質(zhì)領(lǐng)悟，從而獲得一系列的思維成果，這有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。

例3 順次連接對角線互相垂直的四邊形各邊中點所得的四邊形是（ ）。

A.平行四邊形 B.矩形

C.菱形 D.正方形

解：通過圖形觀察，利用三角形中位線的性質(zhì)：“三角形兩邊中點的連線平行于第三邊且等于第三邊的一半” ，得出平行四邊形。再根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出有一個角是直角，從而得出有一個角是直角的平行四邊形是矩形，答案是B。

反思：在本題中，三角形中位線的性質(zhì)對答案起著重要的作用，因此無論怎樣改變題目條件，都可以用三角形中位線的性質(zhì)來解決，如：

①順次連接任意四邊形各邊中點所得的四邊形是（ ）。

②順次連接矩形各邊中點所得的四邊形是 （ ）。

③順次連接菱形各邊中點所得的四邊形是 （ ）。

④順次連接正方形各邊中點所得的四邊形是（ ）。

⑤順次連接對角線相等的四邊形各邊中點所得的四邊形是（ ）。

四、反思題目結(jié)論，培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性

在解完一道題后，教師可讓學(xué)生與已有的結(jié)論進行對比分析，引導(dǎo)他們對數(shù)學(xué)命題進行變形或深化推廣以及引申創(chuàng)新，進行多角度、多方面的發(fā)散思考，這樣的反思有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性。

例4 如圖1，平行四邊形ABCD中，∠BAD、∠BCD的平分線分別交BC、AD于點E、F。求證：四邊形AFCE是平行四邊形。

分析：要證明四邊形AFCE是平行四邊形，由于AF、CE是平行四邊形ABCD邊AD、BC上的一部分，它們的對邊平行，因此，只要證明另一組對邊平行即可。

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠BAD=∠BCD，AD∥BC，即AF∥EC，

∴∠BCF=∠CFD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）。

又∵AE、CF分別平分∠BAD、∠BCD， ∴∠FAE=∠BAD，∠BCF=∠BCD，∴∠FAE=∠BCF，∴∠FAE =∠CFD，∴CF∥AE（同位角相等，兩直線平行）。

∴四邊形AFCE是平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）。

反思：此題的證法很多，我們還可以通過證明“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”“兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形”等。不管選用那一種證法，一定要認真分析已知條件，弄清已經(jīng)知道了什么？還需要什么？這樣才能確定解題的思路和方向。

變形1：如圖2，在平行四邊形ABCD中， AE、CF分別是∠MAD、∠BCN的平分線。求證：四邊形AFCE是平行四邊形。

變形2：如圖3，在平行四邊形ABCD中， AE、CF分別是∠BAD、∠BCD的平分線，且分別交BA、DC的延長線于點M、N。求證：四邊形AFCE是平行四邊形。

變形3：如圖4，在平行四邊形ABCD中，AD=BC

=6cm，動點E由C向B以2cm/s的速度移動，動點F由D向A以1cm/s的速度移動，E、F分別由C、D同時出發(fā)，問幾秒鐘后，四邊形AFCE是平行四邊形？

分析：盡管E、F在不斷移動，且四邊形AFCE的形狀也在不斷變化，但其中也有不變因素，那就是CE∥FA。在此基礎(chǔ)上，只需CE=FA即可，而這與E、F移動的時間有關(guān)，這樣就將四邊形AFCE的形狀與時間聯(lián)系起來了。

解：設(shè)x秒鐘后四邊形AFCE是平行四邊形。在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，即CE∥FA，當(dāng)CE=FA時，四邊形AFCE是平行四邊形。由題意得：6-x=2x，解得x=2。故經(jīng)過2秒鐘后四邊形AFCE是平行四邊形。

總之，教師引導(dǎo)學(xué)生進行解題后的反思，能培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)。這就要求教師在教學(xué)中要認真反思教材，把蘊藏其中的那些隱含的問題挖掘出來，并積極注意學(xué)生的發(fā)問，有計劃、有目的、有意識地引導(dǎo)學(xué)生進行解題后的反思，從而提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題及解決問題的能力。

（江蘇省邳州市八義集初中）