高中復(fù)合函數(shù)探究

復(fù)合函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)非常重要的概念，雖然在人教A、B版本（必修）中都沒有涉及，但是在課本中卻又出現(xiàn)了不少與復(fù)合函數(shù)有關(guān)的問題，高考更是考查的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。結(jié)合自己平時(shí)教學(xué)的實(shí)際，個(gè)人認(rèn)為應(yīng)該在學(xué)生學(xué)習(xí)必修1第二章《基本初等函數(shù)Ⅰ》后，給學(xué)生補(bǔ)充上復(fù)合函數(shù)的概念。

一、 概念

（1）基本初等函數(shù)。高中課本主要指：一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)。

（2）復(fù)合函數(shù)的定義。一般來說，如果y是u的函數(shù)，而u又是x的函數(shù)，即y=f（u），u=g（x）， 那么y關(guān)于x的函數(shù)y=f[g（x）]叫作由y=f（x）及u=g（x）復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)。其中u叫作中間變量，f稱為外層函數(shù)，g稱為內(nèi)層函數(shù)。例如：f（x）=x2+2x+1，g（x）=3x，復(fù)合函數(shù)f[g（x）]即把f（x）里的x替換成g（x），所以f[g（x）]=（g（x））2+2g（x）+1=（3x）2+2·3x+1。即外層函數(shù)里套著內(nèi)層函數(shù)，通俗點(diǎn)說就是一個(gè)初等函數(shù)（二次函數(shù)）里面套著另外一個(gè)初等函數(shù)（指數(shù)函數(shù)），但要注意的是絕不是兩個(gè)初等函數(shù)的相乘或相除。再如：y=log2（x2+4x+6）是由y=log2 u，及u=x2+4x+6復(fù)合而成的。在此，要讓學(xué)生分清兩點(diǎn)：①該函數(shù)到底是不是復(fù)合函數(shù)。②函數(shù)到底是由哪兩個(gè)初等函數(shù)復(fù)合而成。這是以后學(xué)習(xí)選修部分求導(dǎo)的基礎(chǔ)。

二、 幾類常見問題

（1）復(fù)合函數(shù)的定義域。函數(shù)的定義域是指函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系中的原象的集合，即自變量x的取值范圍，在求復(fù)合函數(shù)的定義域時(shí)要注意定義域一定是求x的取值范圍。例1 ：若函數(shù)y=f（2x）的定義域是[-1，1]，則y=f（x）的定義域?yàn)開______。解析：由-1x1?-22x2，知y=f（x）的定義域是[-2，2]。很多資料都是從內(nèi)外層函數(shù)的角度去解析的，這適用于理解能力很好的學(xué)生。我認(rèn)為，把握好三點(diǎn)，就能解決這類“抽象函數(shù)定義域”問題：①定義域一定是指x的取值范圍，②括號(hào)的范圍是相同的，③此處的兩個(gè)x不是同一個(gè)。

（2）復(fù)合函數(shù)的解析式。例2：已知二次函數(shù)f（x）滿足f（2x+1）=4x2+4x+5，求f（x）。解析：本題可用待定系數(shù)法、拼湊法、換元法。其中換元法更具有一般性。令t=2x+1，則x=，∴f（t）=4·（）2+4·+5=t2+4，∴f（x）=x2+4，同時(shí)要注意定義域問題。

（3）復(fù)合函數(shù)的值域。復(fù)合函數(shù)的值域與一般函數(shù)的值域求法基本一致，主要的思想是換元法，通過換元把不會(huì)的問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的求基本初等函數(shù)的值域問題，當(dāng)然，此處還是要特別注意定義域優(yōu)先的原則和換元要求出新元（引進(jìn)參數(shù)）的范圍。例3：求函數(shù)f（x）=log2（8x）·log（），x[，8]的值域。解析：f（x）=log2（8x）·log（）=（log2x+3）·（log2x-2）=（log2x）2+log2x-6，換元令t=log2x，則t[-1，4]，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)y=t2+t-6在閉區(qū)間[-1，4]求值域問題，易得y[-，14]，注意換元要求出新元的范圍。例4：求函數(shù)y=（）x2+2x+2的值域。解析：換元令t=x2+2x+2=（x+1）2+11，轉(zhuǎn)化為求指數(shù)函數(shù)y=（）'t，t1值域問題，易得：y（0，]，注意指數(shù)函數(shù)本身值域范圍（0，+∞）。

（4）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性。關(guān)于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，我們遵循同增異減的原則，即：y=f（u）與u=g（x）增減性相同，則y=f[g（x）]是增函數(shù)，y=f（u）與u=g（x）增減性相反，則y=f[g（x）]是減函數(shù)。例5：求函數(shù)y=log（4x-x2）的單調(diào)增區(qū)間。解析：首先求出函數(shù)的定義域4x-x2>0?0

總之，高中數(shù)學(xué)《必修I》對(duì)復(fù)合函數(shù)的教學(xué)不能忽視，但是也不能挖掘太深，主要掌握好如何分清內(nèi)外層函數(shù)，比較簡單的定義域、解析式、值域、單調(diào)區(qū)間問題即可。這樣，既能為后面選修學(xué)習(xí)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)打下良好的基礎(chǔ)，又能深刻理解函數(shù)概念。