思維的課堂，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

義務(wù)教育和高中階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)都指出，數(shù)學(xué)教育要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力方面不可替代的作用。義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)將“數(shù)學(xué)思考”列為四個課程目標(biāo)之一，要求學(xué)生通過數(shù)學(xué)思考，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，體會數(shù)學(xué)基本思想和思維方式。高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)則將“注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力”列為十大基本理念之一。關(guān)注“以數(shù)學(xué)思維能力為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)”是重要的評價(jià)維度之一。思維是具有意識的人腦對客觀事物的本質(zhì)屬性和內(nèi)部規(guī)律概括的間接反映，簡而言之，人的大腦思考問題的這種內(nèi)部活動就是思維[1]。根據(jù)數(shù)學(xué)思維活動的特點(diǎn)，在中學(xué)數(shù)學(xué)綠色課堂中，主要關(guān)注抽象思維、推理思維和發(fā)散思維活動。

一、抽象思維

高度的抽象性是數(shù)學(xué)的三大特點(diǎn)之一。所謂抽象思維，是指舍棄對象的具體形象，憑借概念，按照形式邏輯和辯證邏輯的規(guī)律，進(jìn)行判斷和推理的一種思維。在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動中，抽象思維主要體現(xiàn)在形成數(shù)學(xué)概念和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識兩種活動中。因此，我們主要從這兩個維度來評價(jià)數(shù)學(xué)綠色課堂中，學(xué)生抽象思維的運(yùn)用和發(fā)展情況。

1.在數(shù)學(xué)概念形成過程中，運(yùn)用和發(fā)展學(xué)生的抽象思維

數(shù)學(xué)概念的形成是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的重要組成部分之一。數(shù)學(xué)概念的形成過程，應(yīng)該是學(xué)生在觀察、分析、歸納等活動的基礎(chǔ)上，運(yùn)用抽象思維，提取本質(zhì)屬性，舍棄非本質(zhì)屬性的過程。數(shù)學(xué)教師要通過設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)活動，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的抽象思維。例如在“平行線的判定方法”教學(xué)過程中，在講授“兩條直線平行，內(nèi)錯角相等”時，當(dāng)教師問“所有的內(nèi)錯角都相等嗎”，不少學(xué)生都會想當(dāng)然地回答“是”，這就是由于他們沒有真正理解“內(nèi)錯角”的概念所導(dǎo)致的結(jié)果。如果教師在之前的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)錯角、同位角和同旁內(nèi)角等概念時，能夠設(shè)計(jì)有效的情境，通過“做一做（實(shí)際操作或媒體模擬）——看一看（兩個角的變化情況）——想一想（請學(xué)生給這兩個角命名）——議一議（小組交流，說明理由）”等教學(xué)流程，讓學(xué)生經(jīng)歷抽象這些概念的過程，就能清楚地把握它們的本質(zhì)屬性（位置關(guān)系），舍棄非本質(zhì)屬性（角的大小、其中兩條直線是否平行等）。

2.在數(shù)學(xué)知識應(yīng)用過程中，運(yùn)用和發(fā)展學(xué)生的抽象思維

數(shù)學(xué)是模型的科學(xué)[2]?，F(xiàn)代中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)日益強(qiáng)調(diào)模型思想和建模意識的培養(yǎng)，并在數(shù)學(xué)課程中明確以模型觀審視一次函數(shù)、不等式等基本內(nèi)容。因此，從廣義上而言，數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用過程，就是數(shù)學(xué)建模的過程。在日常數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師應(yīng)該有意識地在問題解決過程中，通過清晰地表達(dá)、合理地化簡等過程，訓(xùn)練和發(fā)展學(xué)生的抽象思維。比如在學(xué)完“一次函數(shù)”內(nèi)容后，教師就可以基于學(xué)生熟悉的“手機(jī)套餐”問題，設(shè)計(jì)“精打細(xì)算選套餐”活動，讓學(xué)生在調(diào)查研究的基礎(chǔ)上，利用學(xué)習(xí)過的知識，將問題化簡、抽象，建立數(shù)學(xué)模型，解決問題。需要注意的是，學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的過程中，教師要結(jié)合實(shí)際，盡可能放開手腳，讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的全過程。

二、推理思維

推理是思維的一種基本形式，是學(xué)生獲取知識的重要方法，也是解答或證明問題的重要手段[3]?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“在參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、綜合實(shí)踐等數(shù)學(xué)活動中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達(dá)自己的想法。”即將合情推理與邏輯推理放在了同等重要的地位。“觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想”實(shí)質(zhì)上是一個利用合情推理探索發(fā)現(xiàn)的過程，而“證明”則是在合情推理的基礎(chǔ)上，進(jìn)行演繹論證從而完成完整的推理過程，得到合理且嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕Y(jié)論[4]?！吨袑W(xué)數(shù)學(xué)綠色課堂評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)》主要從合情推理和演繹推理兩個維度來考查學(xué)生推理思維的運(yùn)用和發(fā)展情況。

1.合情推理

合情推理是從觀察或?qū)嶒?yàn)獲得的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比推斷某些結(jié)果。它的核心是“探索發(fā)現(xiàn)，歸納類比”。所以，教師能否為學(xué)生提供思考、探索、交流和發(fā)現(xiàn)的空間，讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想”等活動機(jī)會，就顯得尤為重要。這也是考查教師是否重視學(xué)生合理推理思維培養(yǎng)與發(fā)展的重要依據(jù)之一。例如在“平行線的判定方法”教學(xué)案例中，教師就為學(xué)生提供了這樣的機(jī)會：讓學(xué)生觀察同旁內(nèi)角互補(bǔ)的情況，并通過“大家通過觀察猜想一下這兩條直線是什么關(guān)系？”“我們?nèi)绾蝸碜C明這個猜想呢”和“這和我們以前學(xué)習(xí)過的平行線的判定方法有什么聯(lián)系”等“問題串”形成的思維空間，讓學(xué)生較為流暢地找到證明同旁內(nèi)角定理的方法，并在腦海中形成了大致的證明思路。

2.演繹推理

演繹推理是從已有的定義、公理、定理和確定的規(guī)則，包括運(yùn)算的定義、法則、順序等出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，訓(xùn)練和發(fā)展學(xué)生的演繹推理思維，是數(shù)學(xué)教育價(jià)值的重要體現(xiàn)之一。因此，《中學(xué)數(shù)學(xué)綠色課堂評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)》也將教師能否有效培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的演繹推理思維作為重要的評價(jià)指標(biāo)之一。

要讓學(xué)生形成良好的演繹推理思維，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中經(jīng)常性地整理學(xué)生松散跳躍的思維過程是很重要的一個方面。特別是在初始階段，教師需要經(jīng)常性地指導(dǎo)和反復(fù)強(qiáng)調(diào)。在前文提到的案例中，學(xué)生已經(jīng)通過合情推理找到了證明“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”的方法。接下來，教師就根據(jù)學(xué)生口述，板書了證明過程：

∠4+∠7=180。

∠7+∠8=180。

∴∠4=∠8（同位角的余角相等）

∴AB平行于CD（同位角相等，兩直線平行）

這時教師轉(zhuǎn)而問全班同學(xué)：“有什么不完整的地方嗎？”部分學(xué)生若有所思地表示贊同，教師繼續(xù)詢問道：“第一個式子是哪里來的？”部分學(xué)生回答：“已知的?！苯處熢诘谝粋€式子的后面補(bǔ)上證明理由：（已知），并反復(fù)強(qiáng)調(diào)證明的過程要按照格式注明式子的來歷，而后學(xué)生立刻反應(yīng)到第二個式子也沒有寫證明理由，當(dāng)教師問道：“第二個式子哪里來的？”學(xué)生齊答：“鄰補(bǔ)角互補(bǔ)?！苯?jīng)過這樣的訓(xùn)練，學(xué)生每次口述證明過程時，都會在式子敘述完后加上一句“理由是……”這就達(dá)到了訓(xùn)練學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)思維的目標(biāo)。

不難看出，與合情推理用于探索思路、發(fā)現(xiàn)結(jié)論不同，演繹推理注重結(jié)論的嚴(yán)謹(jǐn)證明，兩種推理方式雖然功能不同，但應(yīng)相輔相成。

三、發(fā)散思維

發(fā)散思維又叫求異思維，它是由某一條件或事實(shí)出發(fā)，從各個方面思考，產(chǎn)生出多種答案，即它的思考方向是向外發(fā)散的。發(fā)散思維還指從不同角度去理解問題，尋找某一結(jié)論的各種可能的充分條件和必要條件，提出解決某一問題的各種設(shè)想和方法等[5]。由于這種思維是朝著各個不同方向進(jìn)行的，思路開闊，易于探索到新結(jié)論，提出新的方法和思想，所以正如徐利治先生給出的公式“創(chuàng)造能力=知識量×發(fā)散思維能力”，發(fā)散思維能力越高的人，越有利于思維創(chuàng)造性的發(fā)揮。因此，學(xué)生發(fā)散思維的運(yùn)用和發(fā)展情況也是《中學(xué)數(shù)學(xué)綠色課堂教學(xué)評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)》的重要指標(biāo)之一。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師可以創(chuàng)造機(jī)會有意識地培養(yǎng)和再塑學(xué)生的發(fā)散思維。比如在上文教學(xué)案例中，教師在“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”證明方法探索和論證環(huán)節(jié)，就通過尋求不同的轉(zhuǎn)化方法（分別轉(zhuǎn)化為同位角相等、內(nèi)錯角相等）來發(fā)展學(xué)生的發(fā)散思維。需要注意的是，由于學(xué)生年齡特征的限制，教師要加以適時指導(dǎo)，以防止學(xué)生毫無目的地發(fā)散。

參考文獻(xiàn)：

[1]任樟輝.數(shù)學(xué)思維論[M].南寧：廣西教育出版社，1996.

[2]蔣志萍，汪文賢.數(shù)學(xué)思維方法[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2011.

[3]朱曉鴿.邏輯析理與數(shù)學(xué)思維研究[M].北京：北京大學(xué)出版社，2009.

[4]馬復(fù).初中數(shù)學(xué)教學(xué)策略[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2010.

[5]周春荔.數(shù)學(xué)思維概論[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

（作者單位：1.北京師范大學(xué)教育學(xué)部 2.北京市石景山區(qū)基礎(chǔ)教育研究中心 3.北京市蘋果園中學(xué)）

（責(zé)任編輯：馬贊）