MATLAB對(duì)靜電場(chǎng)等勢(shì)線的最小二乘描繪

劉雅彬，魯曉東

（浙江海洋學(xué)院，浙江 舟山 316000）

在靜電場(chǎng)描繪實(shí)驗(yàn)中，通常采用的方法是用一對(duì)電極產(chǎn)生的恒定電流模擬一對(duì)等量異種電荷產(chǎn)生的靜電場(chǎng)。直接測(cè)電流場(chǎng)有一定的困難，而借助電壓表可直接測(cè)出電場(chǎng)中的一系列等勢(shì)點(diǎn)進(jìn)而畫出等勢(shì)線，再根據(jù)等勢(shì)線和電場(chǎng)線正交關(guān)系便可直接畫出電場(chǎng)線［1－2］。由于在電勢(shì)的探測(cè)過(guò)程中，介質(zhì)分布的不穩(wěn)定性以及操作時(shí)探針的抖動(dòng)都會(huì)造成記錄點(diǎn)的不準(zhǔn)，使手繪的等勢(shì)線具有較大的不確定度性，增大了電場(chǎng)線描繪畸變的可能性［3］。提高儀器的精度是解決問(wèn)題的一種方法，但效果往往不明顯，原因是流體介質(zhì)的穩(wěn)定性不好控制，操作時(shí)呈現(xiàn)出較大的隨機(jī)性，因此可以運(yùn)用最小二乘的方法去擬合這些點(diǎn)的曲線，使測(cè)量誤差得到最大的弱化。而使用MATLAB則可以直接利用它提供的優(yōu)化工具箱，簡(jiǎn)化編程過(guò)程，并使處理的結(jié)果能以圖形方式直觀地表達(dá)［4］。

1 最小二乘曲線擬合原理

實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常根據(jù)許多組觀測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)確定它們的函數(shù)曲線，這就是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中的曲線擬合問(wèn)題。曲線擬合的目的是就是要把數(shù)據(jù)點(diǎn)的固有規(guī)律表現(xiàn)出來(lái)，但誤差的存在會(huì)使擬合產(chǎn)生一定程度的失真，所以必須考慮通過(guò)怎樣的途徑使誤差影響程度最小［5］。

最小二乘準(zhǔn)則就是使實(shí)驗(yàn)值與擬合值的殘差平方和達(dá)到最小的條件下進(jìn)行函數(shù)參數(shù)的估計(jì)。不妨設(shè)數(shù)據(jù)（xi，yi），估計(jì)參數(shù)為（α，β），擬合的函數(shù)為y＝Φ（x，α，β），最小二乘法就是使誤差yi－Φ（xi，α，β）的平方和最小，即

實(shí)際上是使擬合的曲線與各數(shù)據(jù)點(diǎn)的距離最均勻，以此達(dá)到弱化誤差對(duì)結(jié)果的影響，達(dá)到優(yōu)化曲線的目的［6］。

2 Matlab等勢(shì)線的描繪

2.1 等勢(shì)點(diǎn)的輸入

當(dāng)實(shí)驗(yàn)的等勢(shì)點(diǎn)數(shù)據(jù)記錄到坐標(biāo)紙后，必須把數(shù)據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)值（x，y）存儲(chǔ)到矩陣中以便于MATLAB的讀取及處理。為區(qū)分不同的等勢(shì)線或不同的等勢(shì)線采集的點(diǎn)數(shù)量可能不一樣，每條等勢(shì)線的采集點(diǎn)坐標(biāo)必須存儲(chǔ)到一個(gè)獨(dú)立的二維矩陣。

2.2 等勢(shì)線的擬合

MATLAB軟件提供了很多基于最小二乘準(zhǔn)則的曲線擬合函數(shù)，若曲線形狀是確定的，則可以用Lsqcur vefit（）。它是一個(gè)非線性最小二乘擬合函數(shù)，本質(zhì)上是求解目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題。其使用典型格式為 ［z，resnor m］＝ lsqcur vefit（f un，beta0，xdata，ydata）其中f un是要擬合的非線性函數(shù)，簡(jiǎn)單的形式可以用inline函數(shù)進(jìn)行定義，如f（x，y）＝a＊sin（b＊x＋y），f＝inline（＇a＊sin（b＊x＋y）＇，＇a＇，＇b，＇x＇，＇y＇）。如復(fù)雜可以寫成m文件，具體參考相關(guān)書籍［7］；beta0是估計(jì)參數(shù)初始值，xdata，ydata是擬合點(diǎn)的數(shù)據(jù)即實(shí)驗(yàn)測(cè)得數(shù)據(jù)，z是返回的系數(shù)矩陣，即擬合的曲線特性參數(shù)，resnor m為殘差平方和［8］。

對(duì)于曲線未定得的可用多項(xiàng)式最小二乘擬合，其命令是A＝polyfit（x，y，m）其中x表示函數(shù)中的自變量矩陣，y表示因變量矩陣，A是輸出的系數(shù)矩陣，即多項(xiàng)式的系數(shù)。多項(xiàng)式在自變量x處的擬合值y可用以下命令計(jì)算：y＝polyval（A，x），進(jìn)而算得擬合曲線的殘差平方和。

3 應(yīng)用例子及效果分析

圖1 手工描繪等勢(shì)點(diǎn)及電場(chǎng)線

以同軸圓柱體水槽模型形成的模擬場(chǎng)為例，對(duì)其進(jìn)行處理。首先看由傳統(tǒng)方法描繪的靜電場(chǎng)，各環(huán)分布不均勻圖1并且比較毛躁。由Matlab處理時(shí)，則先根據(jù)模型得到擬合方程形式并寫為：這樣把坐標(biāo)輸入點(diǎn)（x，y）看作函數(shù)的自變量，而f（x，y）＝0就是擬合值f（x，y，a，b，r）的目標(biāo)值，優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)就簡(jiǎn)化為 ∑［f（x，y，a，b，r）－0］2。當(dāng)把這些坐標(biāo)紙上的數(shù)據(jù)點(diǎn)轉(zhuǎn)存到matlab后，可直接調(diào)用函數(shù)Lsqcurvefit（），就得到擬合方程的估計(jì)參數(shù)（具體程序見附錄），方程的圖形化結(jié)果如圖2。為比較他們的準(zhǔn)確性，可以計(jì)算它們的百分差分布，其中理論值［9］的計(jì)算按（1）

VA，a，b為實(shí)驗(yàn)所測(cè)量的值，r為點(diǎn)到圓心的距離，百分差計(jì)算結(jié)果如表1，可以看出最小二乘法比手工方法估計(jì)的參數(shù)更接近實(shí)驗(yàn)值。

圖2 matlab等勢(shì)點(diǎn)描繪及電場(chǎng)線

表1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較

4 結(jié) 論

從示例中看出利用Matlab擬合靜電場(chǎng)的曲線非常方便，也適合其他實(shí)驗(yàn)曲線的擬合。使用時(shí)要注意的是Matlab提供的最小二乘工具都是在一定范圍內(nèi)尋找擬合函數(shù)的局部最優(yōu)解，所以一定要結(jié)合實(shí)驗(yàn)條件對(duì)搜索區(qū)間、初始值等加以約束，提高最佳參數(shù)的命中率和程序運(yùn)行速度。

程序附錄：（擬合一個(gè)圓方程，其他等勢(shì)點(diǎn)與此類同）

L1＝［－0.95 0；－0.6 0.6；0 0.85；0.7 0.6；0.9 0；0.6－0.65；0－0.9；－0.6－0.65］；%數(shù)據(jù)由坐標(biāo)紙上讀得

plot（L1（：，1），L1（：，2），＇o＇）；grid on；%打印記錄點(diǎn)

axis（［－5，5，－5，5］）；hol d on；%坐標(biāo)紙大小

beta0＝［0，0，1］；%在圓心為（0，0），半徑為1附近搜索參數(shù)

z＝zeros（size（L1，1），1）；

%寫出擬合方程形式

myf uncircle＝inline（＇（L1（：，1）－beta（1））.＾2＋（L1（：，2）－beta（2））.＾2－beta（3）＾2＇，＇beta＇，＇L1＇）；［beta，resnor m］＝lsqcurvefit（myf uncircle，beta0，L1，z）；%最小二乘擬合

a＝beta（1）；b＝beta（2）；r＝beta（3）；%返回?cái)M合參數(shù)

h＝ezplot（＠（x，y）（x－a）＾2＋（y－b）＾2－r＾2，［－5 5－5 5］）；%打印擬合圓

hold on；set（h，＇Color＇，＇r＇，＇linestyle＇，＇－－＇，＇linewidt h＇，2）；

［1］張雅男，徐飛，葉影.Matlab模擬靜電場(chǎng)與模擬靜電實(shí)驗(yàn)的比較［J］.物理與工程，2008，18（2）：35－37.

［2］羅明海，韓亞萍，等.最小二乘法在伏安法測(cè)電阻實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用［J］.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2012，25（2）：88－90.

［3］馮君，呂軍.最小二乘法與作圖法在物理實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用研究［J］.黑龍江大學(xué)：自然科學(xué)版，1996，13（4）：83－87.

［4］葛一兵，王紀(jì)俊，卜敏.基于 MATLAB語(yǔ)言的靜電場(chǎng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法［J］.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2002，15（3）：70－71.

［5］陳敏.應(yīng)用Matlab擬合傳感器特征曲線［J］.南京師范大學(xué)學(xué)報(bào)：工程技術(shù)版，2003，3（1）：45－49.

［6］齊寶權(quán).采用中心化最小二乘法進(jìn)行測(cè)井曲線擬合［J］.測(cè)井技術(shù)，2007，31（4）：331－334.

［7］趙靜，但琦.數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)［M］.3版.北京：高等教育出版社，2008.

［8］王廣斌，劉義倫，金曉宏等.基于最小二乘原理的趨勢(shì)處理以及 Matlab的實(shí)現(xiàn)［J］.有色設(shè)備，2005（4）：4－7.

［9］竺江峰，魯曉東，夏雪琴.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)［M］.北京：中國(guó)水電水利出版社，2011.