關(guān)于特征函數(shù)教學(xué)過(guò)程中的一點(diǎn)探討

邢國(guó)東 梁 鑫 趙宣平

（廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林 541004）

1 引言

由概率論知識(shí)可知，隨機(jī)變量的分布函數(shù)全面地描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，并以分布函數(shù)為基礎(chǔ)，較詳細(xì)地討論了隨機(jī)變量的數(shù)字特征，運(yùn)算性質(zhì)等問(wèn)題。但在這些討論中，可發(fā)現(xiàn)分布函數(shù)或分布密度這些工具，有時(shí)使用起來(lái)并不方便，而概率論中特征函數(shù)這一工具，在解決上述和分布有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，具有極大的優(yōu)勢(shì)[1]。按照上述思路，在通常的特征函數(shù)的教學(xué)過(guò)程中，一般先介紹完特征函數(shù)的定義以及相關(guān)的性質(zhì)后，而后會(huì)介紹特征函數(shù)在解決其他有關(guān)概率論問(wèn)題中的應(yīng)用。但這樣的教學(xué)過(guò)程往往會(huì)使特征函數(shù)得不到學(xué)生們的足夠的重視。為此，我們探討了特征函數(shù)在解決其它常見(jiàn)的非概率論的數(shù)學(xué)問(wèn)題中也有較為廣泛的巧妙的應(yīng)用。通過(guò)上述問(wèn)題的講解和分析，我們?cè)噲D讓學(xué)生們重視特征函數(shù)的學(xué)習(xí)并激發(fā)學(xué)生們學(xué)習(xí)概率論的興趣，從而提高教學(xué)效果和教學(xué)質(zhì)量。

2 特征函數(shù)的定義及相關(guān)性質(zhì)[2]

2.1 特征函數(shù)的定義

設(shè)ξ是任一隨機(jī)變量，稱 ?(t) = Eeitξ,-∞ ＜ t＜+∞是隨機(jī)變量ξ的特征函數(shù)。

2.2 特征函數(shù)的基本性質(zhì)

性質(zhì)2.2.1 若 E (Xl)存在 l =1,2,3,Λ ，則隨機(jī)變量X的特征函數(shù) ?(t )可l次求導(dǎo)，且對(duì) 1 ≤k≤l ，有 ?(k)(0) =ikE(Xk)。

性質(zhì)2.2.2 隨機(jī)變量X的特征函數(shù)? (t )在(- ∞,+ ∞)上一致連續(xù)。

性質(zhì)2.2.3（逆轉(zhuǎn)公式）設(shè) F(X)和?(t )分別為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)和特征函數(shù)，則對(duì)F(X)的任意兩個(gè)連續(xù)點(diǎn) x1＜x2，

性質(zhì)2.2.4 ?(-t) = ?(t )，其中?( t )表示 ?(t )的共軛。特別，

大部分教師講完這些，就算把特征函數(shù)的定義和性質(zhì)講解完畢。學(xué)生們經(jīng)常感覺(jué)到到很抽象，又很枯燥。覺(jué)得沒(méi)有實(shí)用性。為了避免給學(xué)生留下這種印象，在教學(xué)中，我們添加了下面第三部分的內(nèi)容，使學(xué)生覺(jué)得特征函數(shù)在解決一些數(shù)學(xué)分析等方面非常簡(jiǎn)便，從而大大增加了學(xué)生們學(xué)習(xí)的興趣。

3 特征函數(shù)在解決其他常見(jiàn)的非概率論的數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用

3.1 在證明恒等式中的應(yīng)用

我們利用特征函數(shù)的定義及其性質(zhì)，建立概率模型，簡(jiǎn)便的證明一些恒等式。

例1[3]證明：

證明：由參考文獻(xiàn)[3]知，上述恒等式的證明需要利用傅里葉變換計(jì)算但過(guò)程是非常繁雜的。因此，考慮能否用其他的方法進(jìn)行計(jì)算，經(jīng)觀察，發(fā)現(xiàn)，恒等式左邊積分的被積函類似于柯西分布的密度函數(shù)，而恒等式的右邊則類似于柯西分布的特征函數(shù)，因此，考慮用特征函數(shù)這一工具的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行證明。

3.2 在求解積分中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)中求積分，除了利用一些常用的積分公式和分離變量法對(duì)積分求解外，我們還可以利用概率論中特征函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對(duì)積分進(jìn)行求解。

例2[4]計(jì)算積分的值，其中（α∈R）

[4]可知，上述積分求解可利用魏爾斯特拉斯M判別法及含參數(shù)反常積分的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，也可以通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)和輔助路徑，利用留數(shù)定理進(jìn)行計(jì)算，但上述方法都非常繁瑣，且不易求解。經(jīng)觀察，發(fā)現(xiàn)被積函數(shù)中e-x2類似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)，因此考慮利用特征函數(shù)的性質(zhì)求解。

由特征函數(shù)的定義及性質(zhì)2.2.4，得：

4 結(jié)論

通過(guò)上述的幾個(gè)例子的教學(xué)，我們發(fā)現(xiàn)：學(xué)生們自覺(jué)地重視特征函數(shù)的學(xué)習(xí)并且學(xué)習(xí)概率論的興趣確有增加，教學(xué)效果令人滿意。

【參 考 文 獻(xiàn)】

[1] 魏宗舒.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].高等教育出版社,1999.

[2] 茆詩(shī)松,程依明,濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].高等教育出版社,2004.

[3] 李建林.復(fù)變函數(shù)與積分變換典型題分析解集[M].西北工業(yè)大學(xué)出版社,2001:188-190.

[4] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(下)[M].高等教育出版社,2005:187-188.