汽車懸架系統(tǒng)混沌運(yùn)動(dòng)的自適應(yīng)反演滑模控制

高 遠(yuǎn) 范健文 譚光興 羅文廣

1.武漢理工大學(xué)，武漢，430070 2.廣西工學(xué)院，柳州，545006

3.廣西汽車零部件與整車技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，柳州，545006

0 引言

電流變阻尼、磁流變阻尼和干摩擦阻尼等都具有明顯的滯后非線性性質(zhì)，且路面對(duì)汽車激勵(lì)具有隨機(jī)特性，因此，采用這些阻尼的汽車懸架是隨機(jī)激勵(lì)的滯后非線性系統(tǒng)［1］。汽車懸架系統(tǒng)具有強(qiáng)時(shí)變性、強(qiáng)非線性、強(qiáng)非平穩(wěn)性的動(dòng)力學(xué)特性，且其非線性因素作用在一定的載荷、激勵(lì)和頻域內(nèi)尤為突出［2-3］。近年來，人們研究發(fā)現(xiàn)，滯后非線性汽車懸架在路面正弦激勵(lì)、多頻擬周期激勵(lì)或隨機(jī)激勵(lì)情況下均可表現(xiàn)出復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)行為，例如分岔和混沌等［4-5］。實(shí)證研究也表明，汽車在顛簸的路面行駛時(shí)，汽車懸架系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)有可能發(fā)生［6］。

迄今，人們對(duì)非線性懸架提出了諸如模糊邏輯控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、魯棒控制和基于微分幾何的解耦控制等方法［7-10］，然而這些研究并沒有涉及懸架系統(tǒng)中混沌振動(dòng)的控制問題。近幾年來，有學(xué)者針對(duì)懸架系統(tǒng)中混沌振動(dòng)這一復(fù)雜的非線性現(xiàn)象，從混沌控制的策略出發(fā)，提出了跟蹤控制、速度反饋控制以及脈沖反饋控制等理論方法［11-13］。這些混沌控制方法以確定性數(shù)學(xué)模型作為研究對(duì)象，沒有考慮實(shí)際懸架系統(tǒng)強(qiáng)非線性導(dǎo)致的系統(tǒng)建模及其參數(shù)辨識(shí)困難，以及模型參數(shù)時(shí)變性和隨機(jī)路面干擾等因素。

本文以雙頻激勵(lì)的、具有混沌振動(dòng)特性的1／4車輛懸架系統(tǒng)模型作為研究對(duì)象?？紤]系統(tǒng)參數(shù)時(shí)變、模型的非線性項(xiàng)不確定以及隨機(jī)路面激勵(lì)等干擾因素，并假設(shè)這些不確定性因素所帶來的影響有界。研究采用主動(dòng)控制策略，結(jié)合反演設(shè)計(jì)理論，同時(shí)引入自適應(yīng)算法對(duì)干擾因素進(jìn)行估計(jì)，提出控制不確定性汽車懸架系統(tǒng)混沌運(yùn)動(dòng)的自適應(yīng)反演滑?？刂破?，并采用Lyapunov函數(shù)理論證明其控制的穩(wěn)定性。仿真結(jié)果驗(yàn)證了控制方法的有效性和魯棒性。

1 懸架系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程及其混沌特性

圖1是單自由度1／4汽車懸架在無控制時(shí)的模型圖。通過該圖可得到系統(tǒng)的微分運(yùn)動(dòng)方程［4］如下：

式中，m為1／4車體質(zhì)量；k1為車身剛度；Fzhi為滯后非線性阻尼；x為車體垂直位移；x0為路面位移激勵(lì)。

圖1 1／4汽車懸架簡化模型

假設(shè)路面為雙頻正弦激勵(lì)，有

其中，頻率Ω1和Ω2不可有理通約，a為激勵(lì)分量的幅度。滯后非線性阻尼為

式中，k2為非線性剛度系數(shù)；c1、c2分別為線性阻尼系數(shù)和非線性阻尼系數(shù)。

令y＝x-x0，則式（1）可整理為

令y1＝y(tǒng)，y2＝，可將式（2）寫成一階狀態(tài)方程形式：

表1 1／4汽車懸架系統(tǒng)模型參數(shù)

圖2 混沌吸引子圖

2 自適應(yīng)反演滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

為研究抑制懸架系統(tǒng)振動(dòng)中的混沌運(yùn)動(dòng)，采用主動(dòng)控制策略，并在模型中引入控制作用信號(hào)函數(shù)u（t），則懸架系統(tǒng)方程（式（3））可變?yōu)?/p>

實(shí)際懸架系統(tǒng)的強(qiáng)非線性會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)模型及其參數(shù)辨識(shí)困難，使得模型的非線性項(xiàng)具有不確定性，線性項(xiàng)系統(tǒng)參數(shù)與理想?yún)?shù)之間存在偏差，路面對(duì)車輛的激勵(lì)頻率和幅度也往往是隨機(jī)的。因此將式（4）修正為

式中，Δω2、ΔB2分 別 為 對(duì) 應(yīng) 參 數(shù) ω2、B2的 時(shí) 變 部 分；f（y1，y2，t）為系統(tǒng)模型中未知非線性項(xiàng)部分；d（t）為隨機(jī)路面激勵(lì)。

將系統(tǒng)內(nèi)部的不確定性用i（t）表示，即

可將式（5）進(jìn)一步整理為

其中，N（t）為各不確定性因素之和，其表達(dá)式為

本文假定N（t）有界，且滿足｜N（t）｜≤N0。

假設(shè)汽車懸架系統(tǒng)方程（式（4））跟蹤控制的目標(biāo)信號(hào)為yd，定義跟蹤誤差為

則誤差的變化速度為

引入虛擬控制項(xiàng)：

其中，常數(shù)r∈R＋。引入變量z：

則根據(jù)式（7）有

定義滑模切換函數(shù)S：

其中，常數(shù)λ∈R＋。

未知的N（t）會(huì)對(duì)控制效果產(chǎn)生不良影響，因此引入自適應(yīng)算法求出 N（t）的估計(jì)值 ＾N（t）。＾N（t）的自適應(yīng)律取為

式中，ε為比例參數(shù)。

定義估計(jì)誤差：

定理1 在不確定性因素N（t）有界情況下，當(dāng)控制器為

證明 定義系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)：

那么結(jié)合式（7）～ 式（17），有

則Q是正定矩陣。又由于

那么

所以系統(tǒng)（式（7））在控制器（式（17））作用下漸進(jìn)穩(wěn)定。

3 計(jì)算結(jié)果與比較

為驗(yàn)證控制方法的有效性，本文采用控制器（式（17））對(duì)式（4）進(jìn)行控制仿真。選擇懸架系統(tǒng)的跟蹤參考信號(hào)為yd＝0，并假定不確定性影響的初始估計(jì)值＾N（0）＝0，選取相關(guān)參數(shù)r＝20，λ＝30，γ＝5，β＝0.1，ε＝1500。為降低控制器（式（17））中切換控制所導(dǎo)致的抖振效應(yīng)，提高控制性能，本文采用雙曲函數(shù)tanh（·）代替控制器中的開關(guān)函數(shù)sgn（·）［15］。仿真中的系統(tǒng)參數(shù)、路面的雙頻激勵(lì)設(shè)置以及初始條件同上述。為驗(yàn)證控制方法的魯棒性，仿真中引入慢變信號(hào)i（t）＝10sint來刻畫系統(tǒng)參數(shù)時(shí)變性和模型非線性項(xiàng)的不確定性，并考慮汽車以不同車速在不同等級(jí)公路路面行駛時(shí)的控制情況。

3.1 i（t）＝10sint，d（t）＝0情形

該情形僅考慮系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)的時(shí)變性和非線性項(xiàng)的不確定性，汽車只受使其產(chǎn)生混沌振動(dòng)的確定性雙頻路面激勵(lì)作用，所以N（t）＝10sint。在正弦干擾情況下，系統(tǒng)的Lmax＝0.025，因此懸架系統(tǒng)仍處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。圖3、圖4分別為yd＝0時(shí)，受控懸架系統(tǒng)垂直振動(dòng)的位移、速度時(shí)域演化圖。由圖3和圖4可見，有控制時(shí)振動(dòng)位移幾乎為零，速度在零附近小范圍穩(wěn)定振動(dòng)變化。同時(shí)，受控懸架系統(tǒng)Lmax＝-0.002，這表明懸架系統(tǒng)即使在正弦規(guī)律時(shí)變干擾影響情況下，混沌振動(dòng)仍能得到有效控制，可獲得預(yù)期的穩(wěn)定狀態(tài)。

圖5是有無控制時(shí)，懸架系統(tǒng)垂直振動(dòng)加速度時(shí)域變化圖。比較圖5a～圖5c可知，無控制時(shí)，系統(tǒng)處于混沌振動(dòng)狀態(tài)，垂向加速度變化極不規(guī)則，變化幅度較大，反映出汽車行駛平順性不佳；有控制時(shí)，加速度趨于單周期性穩(wěn)定變化，且變化幅度大大減小，車輛行駛的舒適性得到明顯改善。相比ε＝0時(shí)的無干擾估計(jì)的控制情形，具有自適應(yīng)干擾估計(jì)的反演滑?？刂菩Ч茫▓D5c）。

圖3 振動(dòng)位移演化圖

圖4 振動(dòng)速度演化圖

圖5 振動(dòng)加速度演化圖

圖6為N（t）＝10sint時(shí)的估計(jì)曲線圖。由圖6可以看出，通過自適應(yīng)律（式（17））所獲得的估計(jì)值＾N（t），其大小變化與 N（t）基本符合。通過對(duì)總的影響因素進(jìn)行較為精確的估計(jì)，可使得控制器（式（17））能充分抵消時(shí)變干擾對(duì)系統(tǒng)的影響，從而提高控制的自適應(yīng)性和魯棒性。

3.2 i（t）＝10sint，d（t）≠0情形

圖6 干擾的估計(jì)曲線

該情形綜合考慮了懸架系統(tǒng)參數(shù)時(shí)變性、模型非線性項(xiàng)的不確定性以及隨機(jī)路面干擾等因素。鑒于轎車振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率分布在0.7～15Hz，人體對(duì)4～8Hz頻率范圍的振動(dòng)較為敏感，因此選取地面作用于輪胎的激勵(lì)時(shí)間頻率范圍為0.1～30Hz，在此激勵(lì)頻率范圍內(nèi)研究轎車的振動(dòng)控制可以滿足要求［16］。假設(shè)汽車分別以車速v＝30km／h、v＝50km／h和v＝70km／h行駛在B等級(jí)和C等級(jí)公路路面上，可按照給定路面不平度功率譜變換為路面不平度的方法，通過仿真計(jì)算獲得不同車速和不同等級(jí)道路情況下的路面不平度數(shù)據(jù)（路面位移激勵(lì)x0）。

表2給出了汽車在6種不同行駛工況下，懸架系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)。由表2比較可見，被動(dòng)懸架系統(tǒng)的Lmax均在0.02附近，因此在上述的系統(tǒng)參數(shù)、路面激勵(lì)和干擾作用情況下，懸架系統(tǒng)仍處于混沌振動(dòng)狀態(tài)。對(duì)于受控主動(dòng)懸架，Lmax的數(shù)值衰減到零附近，表明懸架系統(tǒng)無規(guī)則的混沌運(yùn)動(dòng)得到明顯抑制，無序振動(dòng)將向有序的周期狀態(tài)轉(zhuǎn)變。

表2 懸架系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)Lmax

在B等級(jí)公路路面、汽車以50km／h勻速行駛的狀況下，汽車懸架系統(tǒng)有無控制時(shí)，振動(dòng)位移y1、速度y2和加速度y3的時(shí)域響應(yīng)演化曲線如圖7～圖9所示。由圖7和圖8可見，即使在系統(tǒng)參數(shù)時(shí)變、模型的非線性項(xiàng)不確定以及隨機(jī)路面干擾等不確定性因素影響情況下，實(shí)施自適應(yīng)反演滑?？刂坪?，懸架系統(tǒng)不穩(wěn)定的混沌振動(dòng)能得到有效抑制，位移和速度均在零附近周期性穩(wěn)定振動(dòng)，且數(shù)值也大大降低。由圖9a、圖9b比較可見，有控制后的懸架垂直加速度減小了50%左右。

圖7 位移演化圖

圖8 振動(dòng)速度演化圖

圖9 振動(dòng)加速度演化圖

圖10a、圖10b分別是汽車在B、C等級(jí)路面以70km／h速度行駛時(shí)，懸架垂直振動(dòng)加速度在對(duì)數(shù)坐標(biāo)下的功率譜圖。由圖10可以看出，無控制時(shí)，因?yàn)槠囀冀K受到雙頻路面激勵(lì)和內(nèi)部正弦干擾作用，所以加速度功率譜在頻率f1＝1.257Hz、f2＝3.734Hz和f3＝0.1592Hz附近有明顯波峰，對(duì)應(yīng)頻率處的加速度功率譜值最大，且在10～30Hz的激勵(lì)頻率范圍內(nèi)，C級(jí)路面加速度功率譜值大于B級(jí)路面加速度功率譜值。有控制后，在0.1～25Hz頻率內(nèi)的加速度功率譜密度明顯減小，譜線峰值也大幅降低，且受控后的功率譜線變得相對(duì)光滑。這表明具有干擾估計(jì)的自適應(yīng)反演滑?？刂撇粌H能有效抑制雙頻激勵(lì)產(chǎn)生混沌振動(dòng)，抵消系統(tǒng)內(nèi)部時(shí)變干擾和隨機(jī)路面對(duì)車輛的作用影響，而且能很好地降低人體敏感頻率區(qū)域的振動(dòng)加速度，從而較好地提高汽車的行駛平順性和舒適性。

圖10 加速度功率譜

表3給出了懸架系統(tǒng)垂直振動(dòng)加速度的均方根值。由表3比較可知，對(duì)于無控制的被動(dòng)懸架，隨著路面不平度的增大、行駛速度的加快，懸架振動(dòng)加速度的均方根值將變大，且數(shù)值也較大，這意味著汽車行駛的舒適性和穩(wěn)定性較差；施加基于自適應(yīng)反演滑模的主動(dòng)控制策略后，加速度均方根值明顯減小，其中速度越小、路況越好，控制效果越佳，且相比無干擾估計(jì)的控制情形，均方根數(shù)值下降得更多。如B級(jí)路面情況下，30km／h和50km／h的車速下，加速度均方值減小了一半多，而70km／s的高速行駛狀態(tài)，加速度均方值也減小了1／3左右。

表3 垂直振動(dòng)加速度y3的均方根值

4 結(jié)論

（1）汽車懸架系統(tǒng)在參數(shù)時(shí)變、外界路面干擾激勵(lì)以及系統(tǒng)強(qiáng)非線性作用不確定等因素并存的復(fù)雜情況下，針對(duì)懸架系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)控制問題，研究了基于反演設(shè)計(jì)理論的自適應(yīng)滑模控制方法，并采用Lyapunov函數(shù)理論證明了控制器的漸進(jìn)穩(wěn)定性。仿真結(jié)果驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)控制器的有效性。

（2）控制器（式（17））不依賴汽車懸架系統(tǒng)模型中的非線性項(xiàng)，且控制器中的自適應(yīng)干擾估計(jì)作用能有效抵消干擾因素所帶來的影響。為降低控制器所存在的抖振效應(yīng)，通常選取控制參數(shù)β不宜過大。

（3）相比已有的汽車懸架系統(tǒng)混沌運(yùn)動(dòng)控制方法，該方法以yd＝0作為預(yù)設(shè)參考目標(biāo)，并實(shí)現(xiàn)了懸架無規(guī)則振動(dòng)狀態(tài)在目標(biāo)位置附近的穩(wěn)定控制，且具有良好的控制魯棒性。

（4）汽車在不同等級(jí)隨機(jī)路面激勵(lì)和不同車速狀態(tài)的工況下，該方法仍能對(duì)懸架系統(tǒng)垂向振動(dòng)的無規(guī)則混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有著很好的鎮(zhèn)定抑制作用，且使得人體敏感振動(dòng)頻率范圍的垂直振動(dòng)加速度明顯減小，利于車輛獲得良好的行駛平順性。

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