基于Maxwell電磁論的波動方程與光線軌跡方程

郭守月,周 倩,袁興紅,穆姝慧,馮克成

(1.安徽農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院,合肥 230036;2.長春理工大學(xué) 理學(xué)院,長春 130022)

根據(jù)研究問題的差異可將光學(xué)分為幾何光學(xué)與物理光學(xué),物理光學(xué)又分為波動光學(xué)和量子光學(xué)[1],幾何光學(xué)主要用光線概念研究光的傳播現(xiàn)象,其規(guī)律和公式可由波動方程在光波長趨于零的近似條件下獲得.

本文以Maxwell(方程組)電磁論為基礎(chǔ)推導(dǎo)電磁場與電介質(zhì)相互依存的微分方程式.分析該微分方程式表明,波動光學(xué)與幾何光學(xué)統(tǒng)一于Maxwell電磁論.

1 電磁現(xiàn)象的基本規(guī)律——Maxwell方程組

電磁波(又稱電磁輻射)由同相振蕩且互相垂直的電場矢量E與磁場矢量H在空間中以波的形式運動,其傳播方向垂直于E和H構(gòu)成的平面,即沿E×H方向傳遞能量,如圖1所示.

圖1 電磁波的傳播示意圖Fig.1 Diagram of the propagation of electromagnetic wave

當(dāng)電流密度矢量J、電位移矢量D、磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量B和磁場矢量H在空間處處連續(xù)可微時,其對時空導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系,即Maxwell方程組的微分形式為:

其中:ρ為電荷密度；D=εE,ε為介質(zhì)的電容率;B=μH,μ為介質(zhì)的磁導(dǎo)率.

2 光波動方程式的推導(dǎo)

當(dāng)光在理想的變折射率介質(zhì)(J=ρ=0)中傳播時,將式(2)代入式(1)再取旋度可得

2E-με(lnμ)×E-(·E)=0,

(5)

利用

×(εE)=ε(·E)+(ε)×E

和

××E=(·E)-2E,

當(dāng)ρ=0時,由式(3)可得

·D=ε·E+E·ε=0.

(6)

將式(6)代入式(5)得

2E-με(lnμ)×E-(E·lnε)=0.

(7)

若介質(zhì)是均勻的,即磁導(dǎo)率與電容率的對數(shù)lnμ和lnε為常量,則lnμ=lnε=0,此時式(7)(對H分量同理)變?yōu)?/p>

(8)

3 光線軌跡方程式的推導(dǎo)

3.1 程函方程的推導(dǎo) 程函方程(又稱幾何光學(xué)方程)是從幾何曲線的角度反映傳輸光線遵循的數(shù)學(xué)方程式.對一般的時諧場,式(8)的解為

(9)

式(9)右邊的實部表示電場和磁場的振動方程,其中:jm為虛數(shù)單位;ω為圓頻率;t為時間.

對電導(dǎo)趨于零的理想介質(zhì)E0和H0是位置的復(fù)向量函數(shù),且滿足Maxwell方程組的微分形式：

由式(10)～(13)可得定態(tài)波動方程[2-3]2E0+κ2E0=0(磁場分量H0同理),通常稱為Helmholtz方程，其中為光在介質(zhì)中的波數(shù).Helmholtz方程的解(忽略時間項)為

E0(r)=e(r)ejmκ0S(r),H0(r)=h(r)ejmκ0S(r),

(14)

將式(14)中的電場分量(磁場分量同理)代入式(9)后再代入式(7)可得

將式(15)分為如下兩種情況：

1) 當(dāng)光波長λ0→0時,式(15)左邊后兩項趨于零；

2) 在線性各向同性均勻介質(zhì)中傳播的均勻平面波e(r),h(r),μ,ε均為常量,式(15)左邊后兩項為零.

因此由第一項可得

n2-(S)2=0, 或|S|=n,

(16)a

其矢量形式為

S=nτ.

(16)b

3.2 矢量形式光線方程的推導(dǎo) 由式(16)b得

(17)

對式(17)兩邊求導(dǎo)得

(18)

式(18)即為光線方程的矢量形式.

圖2 變折射率介質(zhì)中的彎曲光線Fig.2 Bent light ray in an inhomogeneous medium

3.3 標(biāo)量形式光線方程的推導(dǎo) 矢量形式的微分方程是非線性的,一般條件下不易求解.由于實際應(yīng)用中多為二維情形[4-7],因此可設(shè)

y=y(x),

n=n(x,y).

如圖2所示,其中光線ab與等相面Σ(圖中虛線部分)正交于N點.從N點到M點曲線元ds的曲率中心為C,曲率半徑為R,α為N和M兩點處切線間的夾角.τ和τn分別表示曲線上某點的切線方向與法線方向的單位矢量.將弧長公式ds=Rdα代入單位矢量

可得

(19)

由式(18)和式(19)得

(20)

將式(20)兩邊點乘τn得

(21)

n=0,

(22)

其中：y′和y″分別為函數(shù)y對坐標(biāo)x的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù);nx和ny分別為折射率函數(shù)對坐標(biāo)x和y的偏導(dǎo)數(shù).式(22)與文獻(xiàn)[8]結(jié)果相符,該方程即為光線方程.

綜上,本文探討了波動光學(xué)與幾何光學(xué)的關(guān)聯(lián)性.結(jié)果表明:幾何光學(xué)可作為波動光學(xué)的推論,即幾何光學(xué)是波動光學(xué)理論在理想條件下的應(yīng)用；在傳播過程中體現(xiàn)了光的波動性與光的幾何光線傳播特性相互依存的關(guān)系.

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