一類求解非線性方程最優(yōu)的8階收斂迭代法

王曉鋒,張 鐵

(1.東北大學(xué) 理學(xué)院,沈陽 110819;2.渤海大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,遼寧 錦州 121013)

0 引 言

非線性方程求根問題是一個(gè)經(jīng)典問題.近年來,對(duì)求解非線性方程迭代法的研究又一次成為熱點(diǎn),涌現(xiàn)出許多具有高計(jì)算效率和高收斂階數(shù)的迭代法.在這些方法中,牛頓法(NM) 是最具代表性的迭代法[1],其格式如下：

(1)

定義1[2]設(shè)p為迭代法收斂的階數(shù),n為每次迭代過程中需計(jì)算的函數(shù)值總數(shù),則迭代法的效率指數(shù)為p1/n.

牛頓法具有最優(yōu)收斂階數(shù)2.在迭代步數(shù)相同的條件下,具有最優(yōu)階的迭代法計(jì)算成本較低,因此本文通過權(quán)函數(shù)方法構(gòu)造一類新的三步最優(yōu)的8階收斂迭代法.

1 新的8階收斂迭代法及收斂性分析

構(gòu)造格式如下：

(2)

其中:

G(sn),L(sn),H(tn)和K(qn)是4個(gè)權(quán)函數(shù).

定理1設(shè)函數(shù)f(x),G(x),L(x),H(x)和K(x)足夠光滑,a∈I為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的單零點(diǎn).若初始值x0在a附近選取,且權(quán)函數(shù)G(x),L(x),H(x)和K(x)滿足下列條件：

(3)

則迭代法(2)是8階收斂的.

證明：設(shè)第n步迭代誤差為

利用Taylor展式將函數(shù)f(x)在零點(diǎn)a處展開,并令x=xn,可得

(4)

(5)

與式(5)類似,利用Taylor展式,將函數(shù)f(x)在零點(diǎn)a處展開,并令x=yn,可得

(7)

將權(quán)函數(shù)G(sn)在零點(diǎn)Taylor展開,可得

(8)

由式(2)～(8),可得

再將函數(shù)f(x)在零點(diǎn)a處展開,并令x=zn,可得

(10)

將權(quán)函數(shù)L(sn),H(tn)和K(qn)在零點(diǎn)Taylor展開,并假設(shè)|K?(0)|<+∞,|H″(0)|<+∞,|L?(0)|<+∞,可得

利用式(2)～(13),可得新迭代法所滿足的誤差表達(dá)式為

證畢.

定理1給出了新迭代法(2)具有最優(yōu)收斂階數(shù)8時(shí)權(quán)函數(shù)所滿足的條件.由定理1可知,新迭代法的收斂階為8,且該方法在每次迭代過程中需要計(jì)算3個(gè)函數(shù)值和1個(gè)一階導(dǎo)數(shù)值,因此該方法效率指數(shù)為81/4≈1.682.選擇適當(dāng)?shù)臋?quán)函數(shù)使其滿足定理1的條件,可得到多種迭代格式.這里給出如下兩種迭代格式.

方法Ⅰ:

(15)

方法Ⅱ：

(16)

2 數(shù)值結(jié)果

下面舉例驗(yàn)證本文迭代法的收斂性,將得到的最優(yōu)8階收斂迭代法(M8-(15)和M8-(16))與牛頓迭代法(NM)、 文獻(xiàn)[4]提出的4階收斂方法(K4)、 文獻(xiàn)[7]提出的6階收斂方法(ON1)和文獻(xiàn)[9]提出的7階收斂方法(N1)進(jìn)行比較,數(shù)值結(jié)果列于表1和表2.實(shí)驗(yàn)運(yùn)行環(huán)境為Windows XP,Matlab 7.0編程.其中:x0為初始值;a為非線性方程的根;|xk-a|(k=1,2,3)為絕對(duì)誤差的絕對(duì)值;|f(xn)|為最后一次迭代所得近似解函數(shù)值的絕對(duì)值;ρ為收斂階數(shù)[5].計(jì)算公式為

(17)

數(shù)值試驗(yàn)中使用如下3個(gè)測(cè)試函數(shù)：

1)f1(x)=x5+x4+4x2-15,a≈1.347 428 098 968 305 0,x0=1.6;

2)f2(x)=xex2-sin2x+3cosx+5,a≈-1.207 647 827 130 918 9,x0=-1.3;

3)f3(x)=ln(x2+x+2)-x+1,a≈4.152 590 736 757 158 3,x0=4.5.

表1 函數(shù)fi(x)(i=1,2,3)的數(shù)值結(jié)果Table 1 Numerical results for fi(x)(i=1,2,3)

由表1可見,新方法(M8)具有最優(yōu)收斂階數(shù)8,計(jì)算精度明顯高于其他方法.由表2可見,迭代法(ON1)雖然收斂階數(shù)較高,但其計(jì)算精度最低,原因在于其計(jì)算成本較高.在相同計(jì)算成本條件下(表2中函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值計(jì)算個(gè)數(shù)之和為12),本文新方法的計(jì)算精度和收斂速度明顯好于其他方法.此外,新方法(M8)的效率指數(shù)為81/4≈1.682,明顯高于牛頓法(NM)的效率指數(shù)21/2≈1.414、 文獻(xiàn)[4]方法(K4)的效率指數(shù)41/3≈1.587、 文獻(xiàn)[7]方法(ON1)的效率指數(shù)61/6≈1.348和文獻(xiàn)[9]方法(N1)的效率指數(shù)71/4≈1.627.數(shù)值結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了定理1的正確性.因此,本文的新方法是高效的.

綜上,本文構(gòu)造了一類用于求解非線性方程單根的最優(yōu)8階收斂迭代法,證明了新方法的收斂性,并通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證.結(jié)果表明,新方法計(jì)算精度高,收斂速度快,適合高精度計(jì)算.但新方法對(duì)初始值要求較苛刻,當(dāng)初始值距離方程的根較近時(shí)迭代法收斂速度較快,反之,當(dāng)初始值距離方程的根較遠(yuǎn)時(shí)迭代法收斂速度較慢,甚至不收斂.

表2 不同迭代法的數(shù)值結(jié)果比較*Table 2 Comparison of numerical results for various iterative methods

* 所有的迭代法均具有相同的函數(shù)計(jì)算個(gè)數(shù)12.

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