電荷量子化介觀LC電路的準(zhǔn)經(jīng)典解

林琨智,劉 艷,何 畏

(1.吉林工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院,吉林 吉林 132108;2.吉林化工學(xué)院 理學(xué)院,吉林 吉林 132021;3.華北電力大學(xué) 國際教育學(xué)院電氣工程及其自動化系,北京 102206)

近年來,關(guān)于介觀電路量子效應(yīng)的研究已引起人們廣泛關(guān)注[1-4],基于電荷量子化建立的介觀電路理論[5],采用絕熱近似,將電源作為常數(shù)處理,給出介觀電路的定態(tài)解.由于含電感和電容介觀電路中的電流強(qiáng)度和電壓是時(shí)間的函數(shù),因此,若電路的量子態(tài)處于不同本正態(tài)的疊加,則其實(shí)驗(yàn)可測量值為力學(xué)量的平均值.本文在文獻(xiàn)[5-6]的基礎(chǔ)上,以LC串聯(lián)電路為例,采用介觀電路準(zhǔn)經(jīng)典描述[7]力學(xué)量平均值隨時(shí)間的演化規(guī)律,給出描述電荷量子化介觀電路的準(zhǔn)經(jīng)典方法.

1 電流強(qiáng)度的平均值

經(jīng)典有源LC串聯(lián)電路的運(yùn)動方程為

(1)

其中:q為電荷;L為電感;C為電容;ε(t)為外加電源.其對應(yīng)的Hamilton量為

(2)

?.

(3)

(4)

(5)

在p表象中動量算符定義為

(6)

自由Hamilton算符定義為

(7)

Hamilton算符為

(8)

對于介觀LC電路

(9)

(10)

這里{·,·}表示反對易.使式(10)等號成立的條件為

(11)

根據(jù)相干態(tài)是最小不確定態(tài)的性質(zhì),式(10)應(yīng)取等號,即

(12)

(13)

利用式(5),(6)及Q的定義可得:

(14)

(15)

LC介觀電路滿足Schr?dinger方程

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

將式(18)和式(24)代入式(19),式(23)代入式(20)得:

(25)

(26)

將式(25)除以式(26)可得

(27)

(28)

由式(18),(25),(28)可得LC介觀電路電荷平均值滿足的非線性方程為

(29)

(30)

其中:

(31)

將式(31)對t微分得電流強(qiáng)度的平均值為

(32)

取cn(ωt)的實(shí)周期K,當(dāng)時(shí)間t滿足

(33)

時(shí),式(32)不為零.其中

(34)

若電源給LC電路電容充電的電荷數(shù)為基本電荷的整數(shù)倍,則在任意時(shí)刻電路中都不應(yīng)出現(xiàn)基本電荷的分?jǐn)?shù)情況.即

(35)

將式(35)代入式(31)可得

(36)

2 相干態(tài)波函數(shù)

由式(11),(12)可得[9]

(37)

將式(37)代入式(11)可得

(38)

(39)

將式(14),(18)代入式(39)可得

(40)

令

(41)

移項(xiàng)得

(42)

由相干態(tài)為滿足最小不確定態(tài)的表述

(43)

中求出(Δq)2并代入式(42)可得

(44)

由于(Δpe)2為小量,因此式(44)中第二項(xiàng)的量比第一項(xiàng)更小,故舍去.令其等于零可得

(45)

將式(45)代入式(43)可得

(46)

將式(45)代入式(40)可得相干態(tài)波函數(shù)為

(47)

ψ(p,t)=eiθ(p,t)φ(p,t),

(48)

其中θ(p,t)為實(shí)數(shù).

由于ψ(p,t)為歸一化波函數(shù),因此代入式(47)可得

(49)

(50)

式(50)乘以dt并積分得

(51)

3 準(zhǔn)經(jīng)典波函數(shù)

由于電荷和電流強(qiáng)度平均值與相干態(tài)波函數(shù)存在的前提是存在滿足Schr?dinger方程式(16)的準(zhǔn)經(jīng)典波函數(shù)式(48),因此若θ(p,t)存在,則式(48)成立.將式(47)代入式(48)后再代入式(16),并令等式兩端的實(shí)部和虛部對應(yīng)相等,可得:

(52)

(53)

其中:

(54)

(55)

(56)

式(56)為Riccati方程,該方程存在y(p,t)的解,從而可得

(57)

將式(57)代入式(52),(53)可得h1(t),證明ψ(p,t)=φ(p,t)eiθ(p,t)存在.

當(dāng)qe→0時(shí),由式(29),(51),(47)分別得:

(58)

(59)

(60)

將式(59)代入式(60)可得歸一化概率密度為

→0.

(61)

式(58)和式(61)與文獻(xiàn)[7]的結(jié)果相符.

綜上所述,本文以LC介觀電路為例,利用電荷量子化介觀電路中電荷和廣義電流滿足的對易關(guān)系、 波函數(shù)遵循的Schr?dinger方程和力學(xué)量平均值隨時(shí)間演化公式,給出了相干態(tài)波函數(shù)滿足的微分方程,形成了描述電荷量子化介觀電路的準(zhǔn)經(jīng)典方法.

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