洛必達(dá)法則的幾何意義*

趙一博，李 娜

(山東女子學(xué)院 基礎(chǔ)部，山東 濟(jì)南 250300)

洛必達(dá)法則的幾何意義*

趙一博，李 娜

(山東女子學(xué)院 基礎(chǔ)部，山東 濟(jì)南 250300)

將0/0型未定式極限看作參數(shù)方程所確定的平面曲線在一定點(diǎn)的切線斜率，將∞/∞型未定式極限看作參數(shù)方程所確定的平面曲線在無窮遠(yuǎn)處一點(diǎn)切線的斜率.從參數(shù)方程的角度揭示了洛必達(dá)法則的幾何意義.

洛必達(dá)法則；幾何意義；參數(shù)方程

洛必達(dá)法則是求極限的有效工具，是微積分的必學(xué)內(nèi)容，常見的教科書中給出的該法則的證明大都利用柯西中值定理[1～3]，證明過程非常抽象，實(shí)際意義不明顯.本文結(jié)合形象直觀的幾何意義，可以加深對(duì)該法則的理解.

1 參數(shù)方程所確定的平面曲線的切線斜率

由參數(shù)方程

(1)

2 0/0型未定式的極限問題

定理1 (洛必達(dá)法則Ⅰ)[3]若函數(shù)f(x)和g(x)滿足：

(2)

曲線上定點(diǎn)P0，P的切線T，R如圖1所示.

圖1 曲線L上定點(diǎn)P0，P的切線

從圖1可知，當(dāng)t→t0時(shí)，切線R的極限位置即為切線T.由此得：

(3)

3 ∞/∞型未定式的極限問題

定理2 (洛必達(dá)法則Ⅱ)[4]若函數(shù)f(x)和g(x)滿足：

2)f(x)和g(x)在點(diǎn)x0的附近(點(diǎn)x0可除外)可導(dǎo)，且g′(x)≠0；

圖2 曲線L無窮遠(yuǎn)點(diǎn)A的切線

曲線上無窮遠(yuǎn)點(diǎn)A的切線T如圖2所示.

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))[M].第3版.北京：高等教育出版社，2001：127-129.

[2]吳傳生.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微積分[M].第2版.北京：高等教育出版社，2009：82.

[3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))[M].第6版.北京：高等教育出版社，2007：78.

[4]張治俊.新編高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))[M].北京：北京郵電大學(xué)出版社，2012：71-76.

[5]米先柯A C，福明柯A T.微分幾何與拓?fù)鋵W(xué)建明教程[M]. 張愛和,譯.北京：高等教育出版社，2006：66-71.

OnGeometricMeaningofRule

ZHAO Yi-bo，LI Na

(The Basic Courses Department,Shandong Women’s University,Jinan Shandong 250300,China)

Assume that the curve is determined by the parametric function.The limit of the type of 0/0 can be viewed as the tangent of the curve at the fixed point.The limit of the type of / can be viewed as the tangent of the curve at the infinity point. Reveals the geometric meaning of the rule from the viewpoint of parametric function.

rule; geometric meaning; parametric function

1673-2103(2013)05-0008-02

2013-08-08

趙一博(1985-)，男，山東聊城人，助教，碩士，研究方向：非線性偏微分方程.

O172.1

A