與更新過程有關(guān)的幾個(gè)概率分布及其數(shù)字特征*

姜培華，紀(jì)習(xí)習(xí)，吳 玲

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 安徽 蕪湖 241000)

與更新過程有關(guān)的幾個(gè)概率分布及其數(shù)字特征*

姜培華，紀(jì)習(xí)習(xí)，吳 玲

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 安徽 蕪湖 241000)

對更新過程進(jìn)行探討，推導(dǎo)給出幾個(gè)與更新過程有關(guān)的概率分布及其數(shù)字特征，進(jìn)而將一般更新過程特殊化為齊次泊松過程，得出幾個(gè)相應(yīng)的推論.這些分布和推論在刻畫城市交通流和行人流中都有重要應(yīng)用.

更新過程；泊松過程；瓦爾德等式；數(shù)字特征

引言

1 預(yù)備知識與引理

定義1[1](更新過程) 設(shè){Xn,n=1,2,…}是一列獨(dú)立同分布的非負(fù)隨機(jī)變量，它們的共同分布函數(shù)是F(x).如果視Xn為一個(gè)計(jì)數(shù)過程的第n-1個(gè)事件和第n個(gè)事件之間的時(shí)間間隔，則第n個(gè)事件的發(fā)生時(shí)間是

這里，S0=0.把由

N(t)=sup{n:Sn≤t}，N(0)=0,t≥0

定義的計(jì)數(shù)過程{N(t),t≥0}稱作更新過程.為了避免顯而易見的平凡情形，假設(shè)F(0)=P(Xn=0)lt;1，通常約定F(0)=0.

引理2[3]設(shè)X1,X2,…為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且方差存在.隨機(jī)變量N只取整數(shù)值，Var(N)存在，且N與{Xn}獨(dú)立，則：

2 主要結(jié)論及證明

定理1若{N(t),t≥0}為一更新過程，其更新時(shí)間間隔為Ti(i=1,2,…)，且Ti的密度函數(shù)為f(t)，分布函數(shù)為F(t),E(Ti)=μ,Var(Ti)=σ2，記Y為更新過程中首次出現(xiàn)更新間隔T≥t0的更新次數(shù)，則有：

1)Y服從參數(shù)為[1-F(t0)]的幾何分布，即Y服從Ge(1-F(t0));

證明1)記T1是原點(diǎn)與第一次更新的時(shí)間間隔,Ti是指第i-1次更新與第i次更新的時(shí)間間隔，由更新間隔的獨(dú)立性可知：

P(Y=h)=P(T1lt;t0,T2lt;t0,…,Th-1lt;t0,Th≥t0)=

P(T1lt;t0)P(T2lt;t0)…P(Th-1lt;t0)P(Th≥t0)=

[F(t0)]h-1[1-F(t0)]h=1,2,3,…

由幾何分布的概率分布列定義可知,Y服從Ge(1-F(t0)).

2)由幾何分布的期望、方差的計(jì)算公式易知

推論1 設(shè)Y為參數(shù)為λ的泊松過程中首次出現(xiàn)質(zhì)點(diǎn)來到間隔T≥t0的質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù), 則有：

1)Y服從參數(shù)為e-λt0的幾何分布，即Y服從Ge(e-λt0);

2)EY=eλt0，VarY=(1-e-λt0)e2λt0.

證明利用定理1，取F(t0)=1-e-λt0，即可得證.

其中Fh(t)為F(t)的h重卷積，即Fh(t)=F*F*…*F，F(xiàn)為Ti的分布函數(shù).

當(dāng)tgt;0時(shí)，則：

其中Fh(t)為F(t)的h重卷積，即Fh(t)=F*F*…*F，F(xiàn)為Ti的分布函數(shù).

2)由引理1可計(jì)算出平均等待時(shí)間為

此結(jié)果可以解釋為, 更新平均間隔時(shí)間為μ.所以[E(Y)-1]次更新完成所需的平均時(shí)間為μ[E(Y)-1].

利用引理2可計(jì)算得到：

注：推論2中的結(jié)論1)與文獻(xiàn)[4]中的定理2是一致的.

證明利用定理2，取F(t0)=1-e-λt0，E(Ti)=1/λ，Var(Ti)=1/λ2，即可得證.

定理3 在定理1條件下，設(shè)Z為更新過程中第r次出現(xiàn)更新間隔T≥t0的更新發(fā)生總次數(shù), 則有：

1)Z服從參數(shù)為[r,1-F(t0)]的負(fù)二項(xiàng)分布，即Z服從NB(r,1-F(t0));

證明1)記T1是原點(diǎn)與第一次更新的時(shí)間間隔，Ti(i=1,2,…,z)為第i-1 次更新與第i次更新的時(shí)間間隔, 由相繼更新間隔的獨(dú)立性和負(fù)二項(xiàng)分布與幾何分布的關(guān)系可知：

由負(fù)二項(xiàng)分布的概率分布列定義可知,Z服從NB(r,1-F(t0)).特別地當(dāng)r=1時(shí), 即是定理1 的情形.

特別地, 當(dāng)r=1時(shí)，即是E(Y).

因Z服從NB(r,1-F(t0))，由負(fù)二項(xiàng)分布與幾何分布的關(guān)系可知：

推論3 設(shè)Z為參數(shù)為λ的泊松過程中第r次出現(xiàn)來到質(zhì)點(diǎn)間隔T≥t0的質(zhì)點(diǎn)發(fā)生總個(gè)數(shù), 則有：

1)Z服從參數(shù)為(r,e-λt0)的負(fù)二項(xiàng)分布，即Z服從NB(r,e-λt0);

2)E(Z)=reλt0，Var(Z)=r(1-e-λt0)e2λt0.

證明利用定理3，取F(t0)=1-e-λt0，即可得證.

定理4 在定理1條件下，更新過程中出現(xiàn)第r次更新間隔Tr≥t0的平均等待時(shí)間為:

證明設(shè)出現(xiàn)第r次更新間隔Tr≥t0的等待時(shí)間為Wz-1，T1為原點(diǎn)與第一次更新的時(shí)間間隔，Ti(i=1,…,z-1)為第i-1次更新與第i次更新的時(shí)間間隔,則有：

Wz-1=T1+…+Tz-1

由于T1,…,Tz-1相互獨(dú)立, 且E(Ti)=μ，又{Z-1=z}與Tz+1,Tz+2,…,獨(dú)立，由引理1知：

推論4 若質(zhì)點(diǎn)以強(qiáng)度為λ的泊松過程到來，出現(xiàn)第r個(gè)質(zhì)點(diǎn)間隔Tr≥t0的平均等待時(shí)間為

注：推論4與文獻(xiàn)[4]中的定理4本質(zhì)上是一致的.

證明利用定理4，取F(t0)=1-e-λt0，E(Ti)=1/λ，即可得證.

3 結(jié)束語

隨著經(jīng)濟(jì)社會的發(fā)展，城市建設(shè)也在不斷發(fā)展，尤其是城市化步伐的加快使得城鎮(zhèn)居民急劇增加，城市的車流量和人流量顯著增加，因此城市交通路網(wǎng)規(guī)劃和管理的科學(xué)化、現(xiàn)代化，前瞻化日趨迫切[5，6].對于城市交通中通過某交通路口的車流量一般可以近似用泊松過程來刻畫，行人通過紅綠燈路口的數(shù)量也可以用泊松過程來近似.文中第二部分推導(dǎo)給出的概率分布和結(jié)論在量化城市交通擁擠問題中都有諸多應(yīng)用，如：行人需要等待多少車輛方可穿越人行橫道？行人需要等待多長時(shí)間才能穿越人行橫道？在給定的時(shí)間段內(nèi)可以通過多少行人，行人有多少可以穿越的機(jī)會等等[4].

[1]王軍，王娟. 隨機(jī)過程及其在金融領(lǐng)域中的應(yīng)用[M]. 北京：清華大學(xué)出版社, 2007.

[2] Ross S M. 隨機(jī)過程[M]. 何聲武，謝盛榮，程依明，等譯.北京：中國統(tǒng)計(jì)出版社, 1997.

[3] 茆詩松，程依明, 濮曉龍. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M]. 北京：高等教育出版社, 2011.

[4] 李澤慧. 與Poisson流有關(guān)的幾個(gè)概率分布及其在城市交通擁擠問題中的應(yīng)用[J].蘭州大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1984,20(數(shù)學(xué)專號)：127-136.

[5] 陸化普，王繼峰，張永波. 城市交通規(guī)劃中交通可達(dá)性模型及其應(yīng)用[J].清華大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009,49(6)：765-769.

[6] 屠光啟.加快改善寧波市區(qū)交通狀況的建議[J].寧波經(jīng)濟(jì)叢刊，2004,(2)：46-48.

SomeProbabilityDistributionandItsNumerricalCharacteristicsAssociatedwithaRenewalProcess

JIANG Pei-hua，JI Xi-xi, WU Ling

(School of Mathematics and Physics, Anhui Polytechnic University, Wuhu Anhui 241000, China )

The renewal process is discussed, some probability distributions and its digital character associated with the renewal process are derived, then the general renewal process special into the homogeneous poisson process, several similar conclusions are given. These distributions and inferences have important applications in the characterization of city traffic flow and pedestrian flow.

renewal process; poisson process; Wald Equation; digital character

1673-2103(2013)05-0001-04

2013-10-02

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11226218)；安徽省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(1208085QA04)；地方高校國家級大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目(201210363122)

姜培華(1979-)，男，山東曹縣人，講師，碩士，研究方向：概率統(tǒng)計(jì)和隨機(jī)過程.

O212.1

A