MASNUM－WAM中譜增長(zhǎng)限制的改進(jìn)及檢驗(yàn)＊

杜建廷，華 鋒，王道龍，江興杰，江志輝

（1.海洋環(huán)境科學(xué)與數(shù)值模擬國(guó)家海洋局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 青島266061；2.國(guó)家海洋局 第一海洋研究所，山東 青島266061）

MASNUM－WAM（Key Lab of Marine Science and Numerical Modeling－WAM），其前身為 LAGFDWAM［1－2］（Laboratory of Geophysical Fluid Dynamics－WAM），是當(dāng)今世界上最先進(jìn)的第三代海浪數(shù)值模式之一，自1991年研發(fā)至今一直應(yīng)用于中國(guó)近海海浪的數(shù)值模擬以及海洋工程中，其在高風(fēng)速條件下模擬海浪的能力受到國(guó)內(nèi)外研究人員的廣泛認(rèn)可。

MASNUM－WAM的破碎耗散源函數(shù)采用Yuan等改進(jìn)的參數(shù)化方案［3］，非線性波－波相互作用源函數(shù)參照Hasselmann等的參數(shù)化方案［4－5］，在數(shù)值模式中首次考慮了波流相互作用源函數(shù)［1］，數(shù)值計(jì)算格式上采用復(fù)雜特征線嵌入計(jì)算格式［6］。楊永增等在LAGFD－WAM區(qū)域海浪數(shù)值模式基礎(chǔ)上建立了球坐標(biāo)系下的全球海浪數(shù)值模式［7］。華鋒等為L(zhǎng)AGFD－WAM區(qū)域海浪數(shù)值模式設(shè)計(jì)了一種新的特征線數(shù)值計(jì)算格式［8］，使其能夠更好地進(jìn)行淺水海浪數(shù)值模擬。

但是，大量的數(shù)值試驗(yàn)和工程計(jì)算結(jié)果表明，MASNUM－WAM在模擬低風(fēng)速條件下的海浪時(shí)，其有效波高較實(shí)際偏低。在人類涉足的海域，除臺(tái)風(fēng)、寒潮等惡劣天氣之外，海面大多處于低風(fēng)速條件下，因此在海上平臺(tái)設(shè)計(jì)、海岸建筑設(shè)計(jì)、海浪能估計(jì)等工程應(yīng)用中，往往需要統(tǒng)計(jì)一般條件下的海浪。這也在一定程度上限制了MASNUM－WAM的應(yīng)用。本文基于量綱分析方法改進(jìn)了模式中的譜增長(zhǎng)限制，使其更好地應(yīng)用于低風(fēng)速條件下海浪的數(shù)值模擬。

1 譜增長(zhǎng)限制的作用和基本形式

第三代海浪數(shù)值模式普遍采用譜能平衡方程［1］求解海浪譜，即。其中，為局地變化項(xiàng)與平流變化項(xiàng)之和；為波動(dòng)群速度；為背景流速；Stot為各源函數(shù)之和，深水波在不考慮波-流相互作用的前提下，由風(fēng)輸入項(xiàng)、波-波非線性相互作用項(xiàng)以及破碎耗散項(xiàng)三部分組成：Stot＝Sin＋Snl＋Sdis。在MASNUM－WAM中，能量的平流變化項(xiàng)采用特征線嵌入格式計(jì)算，而局地變化項(xiàng)與源函數(shù)項(xiàng)采用半隱半顯格式處理。采用半隱半顯格式數(shù)值積分平衡方程時(shí)，源函數(shù)對(duì)能譜的Jacobian導(dǎo)數(shù)矩陣只保留對(duì)角線項(xiàng)不能保證數(shù)值穩(wěn)定性，海浪模式中通常采用譜的增長(zhǎng)限制來(lái)抑制不穩(wěn)定過(guò)程。

最初，在 WAM 模式中譜的增長(zhǎng)限制采用與時(shí)間步長(zhǎng)無(wú)關(guān)的形式：｜ΔF｜max＝6.4×10－7g2f－5［9］。Tolman根據(jù)數(shù)值模擬結(jié)果指出，這種形式對(duì)時(shí)間步長(zhǎng)具有很強(qiáng)的依賴性［10］。為解除這種依賴性，在 WAM Cylce4中采用了比例與時(shí)間步長(zhǎng)的限制條件：｜ΔF｜max＝6.4×10－7g2f－5Δt/τ（τ＝1 200s）［11］。該模式應(yīng)用于歐洲中期天氣預(yù)報(bào)中心（European Centre For Medium Range Weather Forecasts）的業(yè)務(wù)化海浪預(yù)報(bào)系統(tǒng)當(dāng)中。對(duì)于網(wǎng)格步長(zhǎng)Δx＞50km的情況，該模式取得了較好的預(yù)報(bào)結(jié)果。但是在高分辨率下，模式結(jié)果與有限風(fēng)區(qū)海浪的成長(zhǎng)規(guī)律不相符。為此，Hersbach和Janssen［12－13］基于特征尺度的不變性對(duì)增長(zhǎng)限制進(jìn)行了改進(jìn)。改進(jìn)后的增長(zhǎng)限制更少地限制了海浪譜的成長(zhǎng)，尤其是在高頻譜段的成長(zhǎng)，使得WAM在高分辨率下模擬海浪的能力有了很大的提高。改進(jìn)后的增長(zhǎng)限制為，其中，為無(wú)量綱PM譜峰頻率，fc為截?cái)囝l率。Yuan等［1］在LAGFD－WAM海浪數(shù)值模式中采用Phillips增長(zhǎng)限制［14］，。其中，為波數(shù)譜；θ為風(fēng)向與波向的夾角；k為波數(shù)；c為波速；u＊為摩擦速度；p，q為常數(shù)，通常p＝0.025，q＝2。

為消除其對(duì)時(shí)間步長(zhǎng)的依賴性，在MASNUM－WAM中采用了比例與時(shí)間步長(zhǎng)的限制條件：

其中E＝E（k），為方向平均的波數(shù)譜；α為常數(shù)，α＝9.1×10－6p（p＝0.025）；u＊為摩擦速度；k為波數(shù)；Δt為時(shí)間步長(zhǎng)。

2 原譜增長(zhǎng)限制對(duì)源函數(shù)的影響

當(dāng)設(shè)定模式的時(shí)間步長(zhǎng)和波數(shù)的劃分方案，譜的增長(zhǎng)限制只是摩擦速度的函數(shù)。而在MASNUMWAM中，摩擦速度僅僅是海面10m風(fēng)速的函數(shù)u＊＝f（u10）。對(duì)于模式中的任意一個(gè)計(jì)算點(diǎn)，波譜在該點(diǎn)的增長(zhǎng)限制只與風(fēng)速有關(guān)，即ΔEmax＝g（u10），而同樣的風(fēng)速在不同的波譜下所產(chǎn)生的譜能變化（ΔEs）是不同的。因此，為研究譜增長(zhǎng)限制與風(fēng)速以及與波譜之間的關(guān)系，采用Tsagareli的復(fù)合譜［15］，方向分布采用Babanin and Soloviev方案［16］，給出風(fēng)速分別為5m/s和30m/s，無(wú)因次風(fēng)區(qū)分別為χ＝1×105，χ＝1×101和χ＝1×103的譜增長(zhǎng)限制與源函數(shù)導(dǎo)致的譜能增量之間的關(guān)系。

圖1 不同風(fēng)速和風(fēng)區(qū)下譜增長(zhǎng)限制對(duì)沿風(fēng)速方向的譜能增量的影響Fig.1 Effects of the growth spectrum limit on the spectrum energy increment in the wind direction under the conditions of different wind speeds and fetches

當(dāng)無(wú)因次風(fēng)區(qū)較小時(shí)，增長(zhǎng)限制的絕對(duì)值小于源函數(shù)導(dǎo)致的譜能增量的絕對(duì)值，從而削減了譜能的增長(zhǎng)（圖1a和圖1c），在低風(fēng)速下的削減明顯大于高風(fēng)速的；而當(dāng)無(wú)因次分區(qū)較大時(shí)，增長(zhǎng)限制對(duì)譜能的增長(zhǎng)影響較?。▓D1b和圖1d）。在同一風(fēng)速下，不同的波數(shù)譜對(duì)應(yīng)的譜能增量不同，這就要求譜增長(zhǎng)限制也要做出相應(yīng)的調(diào)整。這些都表明以往采用的譜增長(zhǎng)限制隨風(fēng)速或者隨譜形的變化不合理是導(dǎo)致低海況下模擬有效波高較實(shí)際偏低的一個(gè)重要因素。由此推測(cè)，要改進(jìn)譜增長(zhǎng)限制可以在原譜增長(zhǎng)限制的基礎(chǔ)上降低u＊的指數(shù)或者加入一個(gè)表征譜形的物理量。

3 譜增長(zhǎng)限制的改進(jìn)

3.1 量綱分析

MASNUM－WAM中的各個(gè)方程都是建立在以摩擦速度為基本量的量綱分析基礎(chǔ)之上的。量綱分析需要用到以下3個(gè)無(wú)量綱量：（無(wú)量綱波數(shù)譜的譜能量），（無(wú)量綱波數(shù)）（無(wú)量綱時(shí)間）。模式中所用到的方程，必須滿足量綱齊次原則。

3.2 譜增長(zhǎng)限制的改進(jìn)

將MASNUM－WAM中采用的增長(zhǎng)限制式（1）寫(xiě)成無(wú)量綱量與特征量乘積的形式：

消去特征量得到無(wú)量綱形式的方程：

由此可知原譜增長(zhǎng)限制中的參數(shù)α是一個(gè)隱含量綱的常數(shù)，其量綱為，該量綱與波數(shù)的量綱一致。

Yuan等最初在LAGFD－WAM海浪數(shù)值模式中采用的是Phillips譜增長(zhǎng)限制，其方向平均的形式［1］：

其中β為待定系數(shù)。將其寫(xiě)成無(wú)量綱量與特征量的乘積形式：

消去特征量得到無(wú)量綱形式的方程：

當(dāng)右式加入Δt項(xiàng)時(shí)，為滿足量綱齊次原則，需在無(wú)量綱形式方程中加入無(wú)量綱時(shí)間，即

還原量綱：

或

參考式（1）中k－4關(guān)系，將式（9）中的k－3改為k－4，同時(shí)根據(jù)我們數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果，加入表征譜峰位置的量以保持量綱守恒，原式變?yōu)?/p>

其中，為海浪譜的平均波數(shù)。相應(yīng)的無(wú)量綱形式的方程為該式滿足量綱齊次原則。

選取不用的時(shí)間步長(zhǎng)和網(wǎng)格劃分，經(jīng)過(guò)大量數(shù)值試驗(yàn)得出，β取值為1.0×10－6時(shí)，可以得到穩(wěn)定的結(jié)果。

4 模式結(jié)果檢驗(yàn)

將改進(jìn)后的譜增長(zhǎng)限制應(yīng)用于MASNUM－WAM，采用風(fēng)浪的有限風(fēng)區(qū)成長(zhǎng)關(guān)系作為參考標(biāo)準(zhǔn)對(duì)改進(jìn)后的模式結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)。檢驗(yàn)內(nèi)容包括無(wú)因次譜能隨無(wú)因次風(fēng)區(qū)的成長(zhǎng)關(guān)系以及無(wú)因次譜峰波數(shù)隨無(wú)因次風(fēng)區(qū)的成長(zhǎng)關(guān)系。其中，無(wú)因次譜能為，無(wú)因次譜峰波數(shù)為，無(wú)因次風(fēng)區(qū)為。作為參考標(biāo)準(zhǔn)的成長(zhǎng)關(guān)系包括Jonswap成長(zhǎng)關(guān)系，其無(wú)因次譜能、無(wú)因次譜峰波數(shù)隨無(wú)因次風(fēng)區(qū)的成長(zhǎng)關(guān)系為ε＝1.6×10－7χ，Kp＝3.5χ－0.33［17］；Donelan等成長(zhǎng)關(guān)系，其無(wú)因次譜能、無(wú)因次譜峰波數(shù)隨無(wú)因次風(fēng)區(qū)的成長(zhǎng)關(guān)系為ε＝8.415×10－7χ0.76，Kp＝1.85χ－0.23［18］；Young成長(zhǎng)關(guān)系，其無(wú)因次譜能、無(wú)因次譜峰波數(shù)隨無(wú)因次風(fēng)區(qū)的成長(zhǎng)關(guān)系為ε＝7.5×10－7χ0.8，Kp＝2.0χ－0.25［19］。我們共進(jìn)行4組對(duì)比試驗(yàn)，其中 EXP1，EXP2采用的波數(shù)劃分范圍為0.007 1～0.688 8m－1，EXP3，EXP4采用的波數(shù)劃分范圍為0.001 0～4.390 9m－1，EXP1，EXP3采用原譜增長(zhǎng)限制，EXP2，EXP4采用改進(jìn)后的譜增長(zhǎng)限制。

圖2 改進(jìn)譜增長(zhǎng)限制前后模式結(jié)果的有限風(fēng)區(qū)成長(zhǎng)關(guān)系對(duì)比（波數(shù)劃分范圍：0.007 1～0.688 8m－1）Fig.2 Comparison of fetch－limited growth relationships of the model results before and after the improvement of growth spectrum limit（wavenumber range：0.007 1～0.688 8m－1）

圖2為EXP1與EXP2的模式結(jié)果檢驗(yàn)。波數(shù)劃分范圍采用MASNUM－WAM中通常采取的波數(shù)劃分方案，即0.007 1～0.688 8m－1。對(duì)比可知，當(dāng)風(fēng)速為15～45m/s時(shí)，改進(jìn)譜增長(zhǎng)限制后的模式結(jié)果與參考值符合程度較高，數(shù)據(jù)也相對(duì)集中，而改進(jìn)之前的模式結(jié)果與參考值符合程度較低，數(shù)據(jù)也相對(duì)離散。當(dāng)風(fēng)速為5m/s時(shí)，改進(jìn)后的模式結(jié)果，其無(wú)因次譜能在小風(fēng)區(qū)大于改進(jìn)前，而在大風(fēng)區(qū)則差別不大，二者均小于參考值。這是因?yàn)樵诘惋L(fēng)速下，當(dāng)風(fēng)區(qū)較小時(shí)，譜能增量集中于波數(shù)較大的區(qū)域（圖1a），采用0.688 8m－1為最大波數(shù)劃分范圍嚴(yán)重限制了海浪譜的成長(zhǎng)，使得模式結(jié)果偏小。在高風(fēng)速下，當(dāng)風(fēng)區(qū)較大時(shí)，譜能增量集中于波數(shù)較小的區(qū)域（圖1d），采用0.007 1m－1為最小波數(shù)劃分范圍也會(huì)在一定程度上限制海浪譜的成長(zhǎng)。基于上述2個(gè)原因，為了提高模式的準(zhǔn)確度，EXP3與EXP4在保證數(shù)值穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上擴(kuò)大波數(shù)劃分范圍為0.001 0～4.390 9m－1。

圖3為EXP3與EXP4的模式結(jié)果檢驗(yàn)。對(duì)比可知，與參考值相比，在不同風(fēng)速下改進(jìn)后的模式結(jié)果比改進(jìn)前均有不同程度的提高。在低風(fēng)速下主要表現(xiàn)在小風(fēng)區(qū)，在高風(fēng)速下主要表現(xiàn)在大風(fēng)區(qū)。同時(shí)，由于波數(shù)劃分范圍大于EXP1與EXP2，因此在極端條件下EXP3與EXP4的模式結(jié)果與參考值更接近。

圖3 改進(jìn)譜增長(zhǎng)限制前后模式結(jié)果的有限風(fēng)區(qū)成長(zhǎng)關(guān)系對(duì)比（波數(shù)劃分范圍：0.001 0～4.390 9m－1）Fig.3 Comparison of fetch－limited growth relationships of the model results before and after the improvement of growth spectrum limit（wavenumber range：0.001 0～4.390 9m－1）

5 結(jié)語(yǔ)

第三代海浪數(shù)值模式中普遍引入譜增長(zhǎng)限制。譜增長(zhǎng)限制作用于譜能增量，防止其在一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)超過(guò)合理的范圍，保證了模式計(jì)算的穩(wěn)定性。過(guò)分寬松的譜增長(zhǎng)限制會(huì)導(dǎo)致模式計(jì)算溢出，而過(guò)緊的譜增長(zhǎng)限制則會(huì)限制譜峰波數(shù)較大、譜寬度較寬的風(fēng)浪譜的成長(zhǎng)，導(dǎo)致海浪在低風(fēng)速下和成長(zhǎng)初期成長(zhǎng)緩慢。

在實(shí)際應(yīng)用中，大量的數(shù)值試驗(yàn)和工程計(jì)算結(jié)果表明，MASNUM－WAM在低風(fēng)速下模擬海浪有效波高偏低的重要原因之一來(lái)自譜增長(zhǎng)限制。基于量綱齊次原則，在原譜增長(zhǎng)限制的基礎(chǔ)上加入了平均波數(shù)，更符合風(fēng)浪譜的成長(zhǎng)規(guī)律，在保證模式計(jì)算穩(wěn)定性的前提下更少地限制了風(fēng)浪譜的成長(zhǎng)。

采用風(fēng)浪的有限風(fēng)區(qū)成長(zhǎng)關(guān)系作為參考標(biāo)準(zhǔn)對(duì)改進(jìn)后的模式進(jìn)行檢驗(yàn)。檢驗(yàn)結(jié)果表明，改進(jìn)后的模式結(jié)果在低風(fēng)速和小風(fēng)區(qū)情況下更接近理論值，在高風(fēng)速和大風(fēng)區(qū)等極端條件下也與理論值更為接近。同時(shí)，當(dāng)風(fēng)速的變化范圍較大時(shí)，應(yīng)在保證計(jì)算穩(wěn)定的前提下適當(dāng)擴(kuò)大波數(shù)劃分范圍。目前上述結(jié)論尚處于試驗(yàn)階段，距離實(shí)際應(yīng)用尚有一定差距，需要進(jìn)一步采用實(shí)測(cè)資料進(jìn)行模式的檢驗(yàn)和參數(shù)的調(diào)整。

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