若干有向圖的無窮小余代數(shù)的同調(diào)群的計算

李艷鳳，劉海成，康文艷，王雪巍

（1.黑龍江八一農(nóng)墾大學理學院，大慶163319；2.齊齊哈爾林業(yè)學校；3.齊齊哈爾市第一中學）

在20 世紀40 年代，人們受計算拓撲中的同調(diào)而發(fā)展起來的技巧和方法啟發(fā)，定義和探索了一系列代數(shù)系統(tǒng)的同調(diào)與上同調(diào)[1]。Cartan 和Eilenberg[2]的專著對于同調(diào)理論作了系統(tǒng)的總結(jié)，他們運用模的投射與內(nèi)射分解成功地定義了導出函子，完美地將各種同調(diào)理論統(tǒng)一起來。這是數(shù)學史上真正的變革，而且這是一個新的開始。

自從1945 年Malcane 與Eilenberg 提出范疇的概念和理論以來，它在數(shù)學的許多分支，例如代數(shù)幾何學、拓撲學、微分幾何學以及函數(shù)理論中均已有所應用。代數(shù)表示論主要研究有限維代數(shù)的結(jié)構(gòu)[3-6]、不可分解表示和模范疇的構(gòu)造。余代數(shù)是通過代數(shù)的對偶[7]定義的，在對代數(shù)的模范疇研究的基礎(chǔ)上，余代數(shù)的余模范疇的研究對討論余代數(shù)的結(jié)構(gòu)與表示有重要意義。

①治療后復查血液流變學各指標,評價腦循環(huán)改善情況,內(nèi)容包括全血高切黏度、全血低切黏度、血漿黏度、纖維蛋白原、血細胞比容;血液黏度采用毛細管粘度測量法,纖維蛋白原采用ELISA法測定,血細胞比容采用離心法測定。②分別評估治療前后神經(jīng)功能及生活能力,采用NIHSS評分評價神經(jīng)功能缺損程度,采用日常生活能力量表(ADL)評價生活能力改善情況;③記錄各項細胞因子變化,包括TNF-α、IL-1、SOD、MDA、NT-proBNP,TNF-α、IL-1評價全身炎癥狀況,采用ELISA法測定;SOD、MDA評價體內(nèi)自由基水平,采用比色法測定;NT-proBNP評價病情嚴重程度,采用熒光免疫分析法測定。

所以，根據(jù)代數(shù)復形的同調(diào)群理論來研究其對偶的余代數(shù)的同調(diào)群[8]。下面給出若干有向圖的無窮小余代數(shù)的同調(diào)群的計算。

1 預備知識

設(shè)C 是一個有單位元1C的環(huán)，CM 為所有左C-模連同所有模同態(tài)所組成的模范疇。在CM 中取一系列C-模An，-∞＜n＜+∞，并取dn∈Hom（An，An-1），即得一列

如果對于所有的n，都有dndn+1=0，則稱（A，d）為一個復形，或稱為鏈。An為此復形的第n 次項，整數(shù)n為該項的次數(shù)，dn為其微分。如果所有微分都等于0，則此復形叫做平凡的。條件dndn+1=0 意味著Imdn+1?Kerdn，我們稱商模Kerdn/Imdn+1=Hn（A，d）為復形 （A，d）的第n 個同調(diào)群。全體Hn（A，d）的集合{Hn（A，d）}叫做復形（A，d）的同調(diào)群H（A，d）。

定義1 設(shè)K 為一個域，C 為一個K 線性空間，△∈HomK（C，C?C）為一個線性映射，如果它們滿足如下的條件：（I?Δ）Δ=（Δ?I）Δ，我們稱（C，Δ）是一個K 余代數(shù)。

定義2 設(shè)Q是頂點集Q0和箭頭（即有向邊）集Q1均有限的有向圖。對于任意非負整數(shù)n，用Qn表示以Q中長度為n的路徑（簡記為γ=a1a2Lan）全體的集合。設(shè)K為一個數(shù)域，記Qn為基的K向量空間為KQn。我們稱向量空間kQ=⊕∞n=0kQn為圖的道路向量空間。定義余乘法如下：

其中γ=a1a2Lan。不難驗證，（KQ，Δ）為余代數(shù)。我們稱這樣得到的余代數(shù)為圖Q的無窮小余代數(shù)，稱KQi的非零元為（KQ，Δ）第i次成分。令，則（KQ[n]，Δ）為（KQ，Δ）的子余代數(shù)，我們稱其為Q的n次無窮小余代數(shù)。

定義3 同調(diào)代數(shù)領(lǐng)域的基本對象是一個鏈復形（A*，d*）。這是一個由交換群、?；蚋鼜V義地說是由一個阿貝爾范疇的對象組成的序列A0，A1，A2…。它們通過一系列同態(tài)dn:An→An-1相連，使得每兩個連接的映射的合成為零：對所有n有dn?dn+1=0

鏈復形的同調(diào)群定義為Hi（A*）=Ker（di）/Im（di+1）。

我們定義ei的次數(shù)為0，ai的次數(shù)為1，ai?aj的次數(shù)為2，…。由于

定義4 鏈復形概念的一個對偶版本是上鏈復形。一個上鏈復形（A*，d*）是個序列A0，A1，A2…。它們由一系列同態(tài)dn:An→An+1相連，使得任何兩個接連的映射的合成為零：對所有n有dn+1?dn=0

證明：我們用歸納法來證明：

2 無窮小余代數(shù)的Hochschild同調(diào)群

設(shè)Q是一沒有分支的有向樹，Q0是頂點的集合，Q1是長度為1的有向邊的集合。我們有如下命題：

命題1 對于一個沒有分支的有向路Q，設(shè)Q0={e0，e1，…，en}，Q1={a1，a2，…，an}，其中ai表示ei-1→ei的一個有向邊。Q的余代數(shù)為C，則復形的H0?K⊕K⊕…⊕K，其中K的個數(shù)為n+1，即該有向圖的頂點的個數(shù)。

從行為方式上來看，負面清單模式是相較于政府主動管制行為的一種相對被動的管理方式，單純依賴于負面清單顯然只能助長政府的惰性和社會經(jīng)濟主體的逐利性，也只是一種缺乏互動參與的單方面行為方式。從理論上講，政府與市場并非市場管理中的單選題,兩者能否互動以及如何互動才是問題的關(guān)鍵。在市場與政府間進行選擇并不關(guān)系到制度完善或者不完善的是非問題，而是通過何種途徑將不完善變得更完善，降低缺陷的程度。比較理性的選擇并不一定要在完善的市場機制或者完善的政府管制之間二選一,而是要在不完善的政府和不完善的市場之間構(gòu)建有效的協(xié)調(diào)互動機制,在博弈中尋求政府與市場的契合點,以保證現(xiàn)代市場經(jīng)濟的規(guī)范運行。

根據(jù)圖10所示的同機器移動工序鄰域結(jié)構(gòu)示意圖，同機器移動工序可分為兩種情況：①將工序u移至v之后，如圖11所示；②將工序v移至u之前，如圖12所示。同機器移動工序與JSP中的鄰域結(jié)構(gòu)相似，因此，可以擴展Balas[4]所提出的近似評價方法，應用于FJSP的同機器移動工序。

關(guān)于鏈復形的種種定義可以照搬至上鏈復形；實質(zhì)上，我們僅須將原定義中的所有箭頭反轉(zhuǎn)。例如上鏈復形的上同調(diào)群定義為Hi（A*）=Ker（di）/Im（di-1）。

n=1時就是有向圖Q，Q0={e0，e1}，Q1={a1}：ai表示e1→e2的有向邊。C中元素有形式x=k1a1+k2e1+k3e3，ki∈K，K是一個域。如果d1（x）=0，則x=k1e1+k2e2，從而H0?K⊕K。

假設(shè)頂點數(shù)不超過n的都成立，則頂點數(shù)為n+1時：

遠遠的，我看見了吳小紅。吳小紅一見我眼圈就紅了。原來，在我住院這段時間，吳小哥病情出現(xiàn)了反復，天天吵著要回古家莊，說古大富是不是一個人跑回古家莊了。就在前幾天，吳小哥情緒有所平靜，說想吃煮玉米。吳小紅聽了很高興，就去街上買玉米。等她回來，吳小哥的輪椅已經(jīng)從樓梯上摔了下來。

圖5和圖6分別是采用不同方法對濃度為0.1 mmol/L和0.03 mmol/L的樣品溶液檢測到的信號進行去噪后的結(jié)果。對比分析圖5和圖6可知,采用空域相關(guān)方法去噪,去噪后波峰的峰高和波峰位置形狀幾乎沒有變化,但是基線相對粗糙;采用普通閾值方法去噪,去噪后信號第1個波峰的峰高分別減少了約0.45 mV和0.35 mV,影響對檢測結(jié)果的分析;相較于現(xiàn)有方法,本文方法能在保持峰形和峰高不變的情況下,有效濾除信號中的噪聲,提高信噪比。因此本文方法能有效提高檢測儀的性能。

俞敏杰是顧曉琳在學習上的競爭對手。兩個人學習上誰也不服誰，第一名的成績輪流坐莊。不過，顧曉琳現(xiàn)在糟糕的家庭狀況讓俞敏杰為她擔心起來，如果這種狀況持續(xù)下去，她的成績肯定要下降，可是如果因為這個原因成全自己在班里第一名的地位，自己好像有點兒勝之不武。

γij表示長度為i的道路，如果x∈kerdi=kerΔ，由于只有Δ（γn）的次數(shù)為n-1，從而kn=0。由于

選取評價指標是進行雷電災害風險區(qū)劃的基礎(chǔ)，是分析和研究事物風險的切入點。本研究結(jié)合長沙地區(qū)的雷電災害的實際情況，采用以下4個指標來分析長沙地區(qū)的雷災易損性，包括雷擊密度、雷擊災害頻度、經(jīng)濟易損模數(shù)以及生命易損模數(shù)［10］。其中前兩項指標著重于雷電和雷電災害發(fā)生頻率、次數(shù)的評價，反映致災因子的時空分布和承災體的受損程度，后兩項指標則側(cè)重于人員和經(jīng)濟損失的評估，反映承災體的受損強度［11］。

那天晚上女人喝醉了，和她相處了五年多的男友棄她出國了，還拐走了她十幾萬元錢的存款。尤其不能讓她原諒和傷心的是男友的不辭而別，聽說還帶了個年輕的女孩出去。

由于第一項中出現(xiàn)了e0，后面的每一項中都出現(xiàn)了a1。e0，a1在Δ（γ2n-1）的每一項中都不可能出現(xiàn)，而其余的γij次數(shù)又都＜n-2，因此k1n-1，k2n-1=0。類似的只要γ的長度不為0，其前面的系數(shù)全為0，因此x=k01e0+k01e1+…+k0n+1en。故H0?K⊕K⊕…⊕K。即總共有n+1個K，其中n+1是該有向圖的頂點的個數(shù)。證畢。

設(shè)Q是一有平行邊的有向圖，Q0是頂點的集合，Q1是長度為1的有向邊的集合。我們有如下命題：

◎注意清潔保持干燥，拉完臭臭要洗屁屁、擦干，可以用電吹風吹，注意溫度不能燙傷，最好選用帶溫控的電吹風。

從而△將任何一條路徑降1次冪，這相當于一般代數(shù)中的微分算子。γ的次數(shù)為n，Δ（γ）的次數(shù)為n-1。我們可令

命題2 對于有向圖Q，Q0={e0，e1}，Q1={a，b，c}，其中a，b是e1→e2的兩條不同路徑，C是e2→e1的一條路徑，Q的余代數(shù)為C，則如下復形的H0，H1是平凡的：

證明：C2中的元素可以表示成x=k1ac+k2bc+k3ca+k4cb。我們可以計算出

則Δ（x）=（k1+k2）（e1?c）+k1（a?e0）+k2（b?e0）+（k3+k4）（c?e1）+k3（e1?a）+k4（e1?b）。

如果x∈kerΔ，可以解出k1=k2=k3=k4=0。即x=0，從而H0=0。

下面我們證明1階同調(diào)群是平凡的。

若y∈kerd2，則有

我們可以解出k1=k2+k3，k4=k5+k6，從而

故H1=0。證畢。

3 結(jié)論

介紹了無窮小余代數(shù)、同調(diào)代數(shù)的基本概念。利用余代數(shù)可以看成其有限維子余代數(shù)的并，余?？梢钥闯善溆邢蘧S子余模的并，將所研究的無限維的情況轉(zhuǎn)換成有限維來研究余代數(shù)的低階同調(diào)群的計算。得出了有向圖的無窮小余代數(shù)的0階同調(diào)群是以域K的頂點為基的線性空間；還得出了有向圖的無窮小余代數(shù)的0階和1階同調(diào)群是平凡的。對繼續(xù)研究其他余代數(shù)的同調(diào)群具有指導意義。

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