弱S－嵌入子群與有限群的超可解*

郭桂容，趙 濤

(1.六盤水師范學院數(shù)學系，貴州六盤水 553004;2.山東理工大學理學院，山東淄博 255049）

本文所討論的群均為有限群，使用的符號及術(shù)語是標準的 (見文 ［1］)。設(shè)F為飽和群系，群G的子群H被稱為是F－可補的是指存在L∈F使得G=HL成立。此時，我們稱L是H在G中的一個F－補。群G的子群H被稱為是S－可換的［2］(或S－擬正規(guī)的［3］)，若H與G的每個Sylow子群P都可換。在文 ［4］中，作者將其推廣為:群G的一個子群H稱為是G的S－可換嵌入子群，如果H的每個Sylow子群同時也是群G的某個S－可換子群的Sylow子群。目前，人們已對這兩個概念做了很多的推廣。例如，郭教授等［5］引入了幾乎S－正規(guī)子群的概念。群G的子群H被稱為是幾乎S－正規(guī)的是指存在NG使得HNG且H∩T≤Hse，其中HsG是群G含于H的最大S－可換子群。作為進一步地推廣，S－嵌入子群的概念在文 ［6］中被引入:H被稱為是G的S－嵌入子群是指存在NG使得HN在G中S－可換并且H∩T≤Hse。通過對某些子群的幾乎S－正規(guī)性和S－嵌入性質(zhì)的研究，人們已經(jīng)得到了很多有意義的結(jié)果 (可見文［7－8］等)。最近，在文 ［9］中作者們引出了以下概念:

群G的子群H稱為G的一個弱S－嵌入子群，如果存在G的正規(guī)子群T使得HT為G的S－可換子群且H∩T≤Hse，其中Hse是群G含于H的一個S－可換嵌入子群。

在文［8－9］中，通過假定群G的某些素數(shù)冪階子群滿足弱S－嵌入性質(zhì)，作者們已經(jīng)得到了關(guān)于群G結(jié)構(gòu)的若干重要刻畫。在本文中，我們主要討論弱S－嵌入子群對群G超可解性的影響，得到了幾個新的結(jié)果。

1 準備知識

引理1［2］設(shè)H為群的一個s－可換子群。則

(ii)如果H是一個p－群 (p為素數(shù))，則有NG(H)≥Op(G)。

引理2［10］假設(shè)P是群G的一個含于Op(G)的p－子群。如果P在G中S－可換嵌入，則P在G中S－可換。

引理3［9］設(shè)G為群且有H≤K≤G。

(ii)如果H在G中弱S－嵌入，則H在K中弱S－嵌入。

(iv)如果H在G中弱S－嵌入且K ⊿G，則存在G的一個含于K的正規(guī)子群T使得HT在G中S－可換且H∩T≤Hse。

引理4［9］設(shè)p為|G|的最小素因子且P為G的非循環(huán)Sylow p－子群。若P的每個在G中無超可解補的極大子群都在G中弱S－嵌入，則G為p－冪零群。

引理5［9］設(shè)N為G的非平凡正規(guī)p－子群。如果N的每個極大子群都在G中弱S－嵌入，則N有一個極大子群在G中正規(guī)。

2 主要定理及其證明

定理1 群G超可解當且僅當存在G的正規(guī)子群E使得G/E超可解，且E的非循環(huán)Sylow子群的每個在G中無超可解補的極大子群都在G中弱S－嵌入。

證明 必要性是明顯的，我們只需要證明定理的充分性。假設(shè)結(jié)論不成立且G為使得|G||E|為極小的反例。則有

設(shè)p為|E|的最小素因子，P為E的 Sylow p－子群。如果P為循環(huán)群，則根據(jù)文 ［11，Lemma 2.2］可知E為p－冪零群。若P非循環(huán)，令P1為P的一個在E中無超可解補的極大子群。易知，P1在G中也無超可解補。于是根據(jù)假設(shè)，P1在G中弱S－嵌入。由引理1知，P1在E中弱S－嵌入。因此由引理4可知E是p－冪零的。設(shè)K為E的正規(guī)p－補，則根據(jù)假設(shè)和引理3知K的非循環(huán)Sylow子群的每個在K中無超可解補的極大子群都在K中弱S－嵌入。于是反復使用上述證明可知E為超可解型Sylow塔群。特別地，E可解。令q=max π(|E|)，Q∈Sylp(E)則有QG。

②G有唯一的一個含于E的極小正規(guī)子群N，G/N超可解且Φ(G)=1。

令N為G的一個含于E的極小正規(guī)子群。由E為可解群知，N為初等交換p－群，其中p為素數(shù)。顯然，(G/N)/(E/N)?G/N為超可解群。假設(shè)T/N為E/N的一個非循環(huán)的 Sylow r－子群且T1/N為T/N的極大子群，其中r為|E/N|的一個素因子。如果r=p，則T為E的非循環(huán)的 Sylow p－子群且T1為T的極大子群。根據(jù)假設(shè)，T1在G中有超可解補或T1在G中弱S－嵌入。根據(jù)引理2可知，T1/N在G/N中有超可解補或是T1/N在G/N中弱S－嵌入?，F(xiàn)在假定r≠p。此時，存在E的Sylow r－子群R使得T=RN。令R1=R∩T1，則R1為R的極大子群且T1=R1N。根據(jù)假設(shè)，R1在G中有超可解補或是R1在G中弱S－嵌入。根據(jù)引理3(iii)，T1/N在G/N中有超可解補或是T1/N在G/N中弱S－嵌入。這表明 (G/N，E/N)滿足定理的條件。于是由G的極小性可設(shè)G/N為超可解群。由于所有超可解群構(gòu)成一個飽和群系，我們可假定N為群G含于E的唯一極小正規(guī)子群且N ≤≠ Φ(G)。因此，Φ(G)=1。

③N=Q=F(E)=CE(N)非循環(huán)且 G=［N］M，其中M是G的一個極大子群。

由于Φ(G)=1，故存在G的極大子群M使得G= ［N］M。由C=CE(N)=CG(N)∩EG?？芍?，(C∩M)G=(C∩M)NM=(C∩M)M=C∩M。于是C∩M是G的正規(guī)子群。從而C∩M=1有且C=N。由N≤Oq(E)≤F(E)≤F(G)≤CG(N)知，N=F(E)=Q。再根據(jù)②得，G/N超可解。如果N循環(huán)，則G為超可解群，矛盾。

④最終的矛盾。

設(shè)Mq為M的一個Sylow q－子群且Gq=NMq。由G=［N］M知，Gq為G的Sylow q－子群。令Q1為Gq的一個含于Mq的極大子群且N1=N∩Q1，則有N1Gq。由|N:N1|=|N:N∩Q1|=|NQ1:Q1|=|Gq:Q1|=q知，N1為N的極大子群。令T為N1在G中的任一補，則有G=N1T=NT且N=N∩N1T=N1(N∩T)成立。這表明N∩T≠1。由N∩=G且N為G的極小正規(guī)子群知，N∩T=N且T=G為N1在G中的唯一補。因此，可設(shè)N1在G中無超可解補。根據(jù)假設(shè)和引理3(iv)知，存在KG使得N1K≤E在G中S－可換且N1∩K≤(N1)se。由②知N∩K=1或N≤K。如果N∩K=1，則有N1=N1(N∩K)=N∩N1K。根據(jù)引理1(i)知，N1=N∩N1K在G中S－可換。如果N≤K，則有N1=N1∩N≤N1∩K≤(N1)se≤N1。這表明N1=(N1)se在G中是S－可換嵌入的。由引理2，我們也有N1在G中是S－可換的。于是，根據(jù)引理 1(ii)知，NG(N1)≥Oq(G)。另一方面，N1=N∩Q1⊿Gq。于是，N1G。從而有N1=1且|N|=q，這與③矛盾。因此，極小階反例不存在，定理得證。

定理2 設(shè)F為包含所有超可解群類U的飽和群系。群G∈F當且僅當存在G的正規(guī)子群E使得G/E∈F，且E的非循環(huán)Sylow子群的每個在G中無超可解補的極大子群都在G中弱S－嵌入。

證明必要性是明顯的，我們只需證明充分性。假設(shè)定理結(jié)論不成立且G是使得|G||E|極小的反例。

由于E/E=1超可解，且E的非循環(huán)Sylow子群的每個在E中無超可解補的極大子群都在E中是弱S－嵌入的。根據(jù)定理1可知，E為超可解群。于是對于p=max π(|E|)和p∈Sylp(E)，我們有PG。現(xiàn)在，設(shè)N為群G含于P的一個極小正規(guī)子群。顯然，(G/N)/(E/N)?G/E∈F。根據(jù)引理3知，定理條件對于G/N和E/N仍成立。由G的極小性得G/N∈F。因為F為飽和群系，我們可設(shè)N是群G含于P的唯一極小正規(guī)子群且N≤≠Φ(G)。由定理1(3)中證明可知，N=Op(G)=P。如果N為循環(huán)群，則由文 ［12，Lemma 2.16］知G∈F，這與群G的選取矛盾。因此我們可設(shè)N非循環(huán)。令N1為N的一個極大子群。通過使用一個與定理1中第④步類似的證明，我們可推出N為循環(huán)群從而有G∈F成立。

接下來，利用群G的某些極小子群的弱S－嵌入性質(zhì)，我們也給出了群G屬于飽和群系的一個充分條件。

定理3 設(shè)F為包含U的飽和群系，群G有一個正規(guī)子群E使得G/E∈F。假設(shè)對于E的每個非循環(huán)Sylow子群P均有:

(i)P的每個極大子群

或

(ii)P的每個素數(shù)階及4階 (如果P為非交換2－群且H?≠Z∞(G)循環(huán)子群H在G中弱S－嵌入，則G∈F。

證明假設(shè)定理不成立且我們考慮使得|G||E|極小的反例 (G，E)。設(shè)P為E的Sylow p－子群，其中 p=max π(|E|)。則有

①E為p－冪零群。

如果P的每個極大子群都在G中弱S－嵌入，則根據(jù)引理4，我們可知E為p－冪零群。接下來，我們假定P的每個素數(shù)階和4階 (如果P為非交換2－群且H?≠Z∞(G))循環(huán)子群H都在G中弱S－嵌入。根據(jù)引理3可知H在E中弱S－嵌入。令K為E的真子群且p0∈Sylp(E)。則存在某個x∈E使得Px0≤P。由于K p－冪零當且僅當Kxp－冪零。不失一般性，我們可假定P0≤P。由于Z∞(G)∩ K≤ Z∞(K)，P0的每個素數(shù)階和4階(如果P0為非交換2－群且H?≠Z∞(G))循環(huán)子群H在K中弱S－嵌入。因此由歸納假設(shè)得K為p－冪零群。于是，E為極小非p－冪零群。根據(jù)文［13，IV，Theorem 5.4］知，E滿足以下性質(zhì):

(i)E=［P］Q，其中P和Q分別是E的正規(guī)Sylow p－子群和非正規(guī)循環(huán)Sylow q－子群;(ii)P/Φ(P)為E的主因子;(iii)P的方次數(shù)是p或4。

令X/Φ(P)為P/Φ(P)的極小正規(guī)子群，則存在x∈X/Φ(P)使得X/Φ(P)=〈x〉Φ(P)/Φ(P)且|〈x〉|=p或4。根據(jù)假設(shè)知〈x〉?Z∞(E)或〈x〉在E中弱S－嵌入。在前一種情形下，我們有P∩Z∞(E)?≠Φ(P)成立。于是由 (ii)知，(P∩Z∞(E))Φ(P)=P從而P≤Z∞(E)。但此時E為冪零群，矛盾。

現(xiàn)假定〈x〉在E中弱S－嵌入。根據(jù)引理3(iv)知，存在E的S－可換子群C和正規(guī)子群T使得〈x〉T=C≤P并且T∩〈x〉≤〈x〉se。如果X/Φ(P)在 E/Φ(P)中 S－可換，則容易得到X/Φ(P)在E/Φ(P)中正規(guī)。再由 P/Φ(P)是 E的主因子得P/Φ(P)=X/Φ(P)為循環(huán)群。因此，P循環(huán)且E為p－冪零群。此矛盾表明X/Φ(P)在E/Φ(P)中不是S－可換的。于是，〈x〉在E中也不是S－可換的。而根據(jù)引理2知〈x〉se在E中S－可換，于是我們有1＜T＜P。這表明TΦ(P)≠P，從而有T≤Φ(P)。但此時

為E/Φ(P)的S－可換子群。這個矛盾表明論斷①成立。

②E=P是非循環(huán)的。

由①知，E為p－冪零群。假設(shè)P＜E且T為E的正規(guī)p－補，則TG。由引理3，我們可知定理假設(shè)對于G/T(相對于E/T)仍成立。因此，由G的選取知G/T∈F。于是，定理假設(shè)對于 (G，T)仍成立。再由 (G，E)的選取知T=E，矛盾。因為G/E∈F，根據(jù) ［12，Lemma 2.16］我們可設(shè)P是非循環(huán)的。

③如果P的每個極大子群都在G中弱S－嵌入，則P=GF是G的極小正規(guī)子群。

事實上，設(shè)N為群G的一個含于P的極小正規(guī)子群。根據(jù)引理3知，假設(shè)對于G/N仍成立。從而由G的選取知，G/N∈F。因此可設(shè)N為群G含于P的唯一極小正規(guī)子群且N?≠Φ(G)。令M為群G的一個使得G=［N］M成立的極大子群，則P=P∩NM=N(P∩M)。由P≤F(G)≤CG(N)知P∩M為G的正規(guī)子群，從而P∩M=1。于是，我們有N=P=GF成立。

④最終的矛盾。

如果P的每個極大子群都在G中弱S－嵌入，則由②和③知P是G的極小正規(guī)子群且|P|＞p，這與引理5相矛盾。

接下來，我們假定P的每個素數(shù)階和4階(如果P為非交換2－群且H?≠Z∞(G))循環(huán)子群H在G中弱S－嵌入。根據(jù) (G，E)的選取可設(shè)P=GF且P≤≠Φ(G)。令M為群G的一個不包含P的極大子群，則有M/M∩P?G/P∈F。根據(jù)引理3知，假設(shè)對于M仍成立。因此，由G的極小性得M∈F。這表明G的每個不含P的極大子群都屬于群系 F。于是根據(jù)文 ［14，Theorem 3.4.2］知，下列結(jié)論成立:

(i)P/Φ(P)為P的G－主因子;

(ii)P的方次數(shù)為p或4(若p=2且P非循環(huán));

(iii)如果P為交換群，則有Φ(P)=1。

如果P/Φ(P)的每個極小子群都在G/Φ(P)中S－可換，則P/Φ(P)的每個極大子群也都在G/Φ(P)中 S－可換。因此根據(jù)引理 5知，|P/Φ(P)|=p，這與②矛盾?，F(xiàn)在我們選取P/Φ(P)的一個在G/Φ(P)中非S－可換的極小子群X/Φ(P)。任取x∈X/Φ(P)且令L=〈x〉，則有|L|=p或4。根據(jù)假設(shè)知L?Z∞(G)或L在G中弱 S－嵌入。如果 L? Z∞(G)，則有 P∩Z∞(G)≤≠Φ(P)。于是，(P∩Z∞(G))Φ(P)=P，即P≤Z∞(G)。因此，我們可得=p且P為循環(huán)群，這與②矛盾。下面我們假定L在G中弱S－嵌入。由于X/Φ(P)在G/Φ(P)中不是S－可換的，L在G中非S－可換。因此根據(jù)引理3(iv)，存在G的一個含于P的非平凡正規(guī)子群T使得LT在G中S－可換且T∩L≤Lse=LsG≠L。顯然，T≠P。因此，TΦ(P)≠P，即T≤Φ(P)。此時，我們有

X/Φ(P)=LΦ(P)/Φ(P)=LTΦ(P)/Φ(P)在G/Φ(P)中是S－可換的。這個矛盾表明極小反例不存在，從而定理得證。

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