減震結(jié)構(gòu)粘滯阻尼器參數(shù)優(yōu)化分析

孫傳智，李愛群，繆長青，黎少華，喬 燕

（1.東南大學 混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)教育部重點實驗室，南京 210096；2.宿遷學院 建筑工程系，江蘇 宿遷 223800）

粘滯阻尼器是目前高層建筑結(jié)構(gòu)振動控制中應(yīng)用較多的結(jié)構(gòu)被動控制裝置之一。在進行粘滯阻尼器減震設(shè)計時，可以通過調(diào)整阻尼系數(shù)和速度指數(shù)取得不同的參數(shù)組合達到同樣的減震效果，但是不同的參數(shù)取值，阻尼器提供的阻尼力相差較大，從而對與其連接的柱內(nèi)力影響較大，同時阻尼器本身也會出現(xiàn)磨損或損壞，致使減震設(shè)計存在不能達到減震要求的隱患［1］。同時粘滯阻尼器的價格主要取決于阻尼力大小，因此在進行粘滯阻尼器減震結(jié)構(gòu)設(shè)計時通過粘滯阻尼器參數(shù)優(yōu)化分析，既能保證結(jié)構(gòu)安全，又能盡量降低建造成本，這對于粘滯阻尼器的使用推廣尤為重要。目前已對粘彈性阻尼器的參數(shù)優(yōu)化進行了諸多研究［2－5］，而粘滯阻尼器參數(shù)優(yōu)化研究還比較少，目前多依靠經(jīng)驗和試算來確定粘滯阻尼器參數(shù)，工作量大。響應(yīng)面分析方法是一種基于試驗設(shè)計理論的近似方法，最早由Box等［7］提出，其基本思想是對樣本點處的函數(shù)響應(yīng)計算值或試驗值，用回歸分析法構(gòu)造一個具有明確表達形式的多項式來表達隱式功能函數(shù)。近年來，響應(yīng)面分析方法已被應(yīng)用到結(jié)構(gòu)的可靠度評估、模型修正和結(jié)構(gòu)優(yōu)化［8－12］等方面，其中武和全等［12］將響應(yīng)面法與試驗設(shè)計、有限元分析計算等結(jié)合起來，對S型薄壁梁的結(jié)構(gòu)進行抗撞性優(yōu)化設(shè)計。筆者將響應(yīng)面法與有限元分析相結(jié)合，構(gòu)造參數(shù)優(yōu)化目標函數(shù)和約束條件，求得非線性粘滯阻尼器參數(shù)最優(yōu)解。算例應(yīng)用表明該方法在減震設(shè)計過程中具有較強的實用性和有效性。

1 粘滯阻尼器計算模型及減震結(jié)構(gòu)非線性分析

1.1 粘滯阻尼器計算模型

國內(nèi)外學者對粘滯阻尼器力學模型進行了大量研究［13－15］，美國Taylor公司給出的阻尼力通用表達式為：

1.2 減震結(jié)構(gòu)非線性分析

未設(shè)置粘滯阻尼器時，原結(jié)構(gòu)的動力平衡方程為：

式中：［M］為原結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣；［C］為原結(jié)構(gòu)阻尼矩陣，采用Rayleigh阻尼；［K］為原結(jié)構(gòu)剛度矩陣；［I］為地震動作用的位置向量；｛x｝、｝分別為節(jié)點的位移向量、速度向量和加速度向量；為地震動加速度。當結(jié)構(gòu)采用附加方式設(shè)置粘滯阻尼器時，結(jié)構(gòu)的動力平衡方程變?yōu)椋?/p>

式中 ［Cd］為阻尼器提供的附加阻尼矩陣。

求解附加粘滯阻尼器減震結(jié)構(gòu)的控制方程時，出于研究目的和提高計算效率的考慮，可以只進行彈性時程分析，采用快速非線性分析法進行分析［17］。該方法是一種將模態(tài)疊加法和增量法組合使用來快速求解只含有少量非線性單元的分析方法，該方法可在保證計算精度的前提下快速提高計算速度［18］，通用有限元軟件SAP2000可以實現(xiàn)快速非線性分析［19］。

2 基于響應(yīng)面法的減震結(jié)構(gòu)粘滯阻尼器參數(shù)優(yōu)化方法

2.1 減震結(jié)構(gòu)粘滯阻尼器參數(shù)優(yōu)化數(shù)學模型

如前所述，在保證結(jié)構(gòu)安全的前提下，應(yīng)盡量控制附加阻尼器提供的阻尼力，這樣可以降低結(jié)構(gòu)的建造成本，所以在優(yōu)化設(shè)計時以所有粘滯阻尼器提供的阻尼力最小為目標函數(shù)，以滿足結(jié)構(gòu)正常使用時的層間位移限值作為約束條件，進行粘滯阻尼器的參數(shù)優(yōu)化，具體形式如下：

設(shè)計變量：求粘滯阻尼器阻尼系數(shù)Cdi和速度指數(shù)αi。

目標函數(shù)：所有粘滯阻尼器提供的阻尼力之和∑Fi最小，即min（∑Fi）。

約束條件：各層層間最大位移小于限值，即max（│Δi│）＜［Δ］，［Δ］＝5mm；速度指數(shù)α滿足0.2≤αi≤0.8。

2.2 基于響應(yīng)面法減震結(jié)構(gòu)粘滯阻尼器參數(shù)優(yōu)化步驟

基于響應(yīng)面進行減震結(jié)構(gòu)粘滯阻尼器參數(shù)優(yōu)化，首先利用響應(yīng)面法和有限元分析相結(jié)合得到各層層間位移和各阻尼器阻尼力的響應(yīng)面函數(shù)，然后進行參數(shù)優(yōu)化。具體來說分為6個步驟：

1）試驗設(shè)計。為了確保響應(yīng)面函數(shù)精度，需要以概率論、數(shù)理統(tǒng)計和線性代數(shù)等為理論基礎(chǔ)進行試驗設(shè)計，常用的試驗設(shè)計方法有中心復(fù)合設(shè)計方法和Box－Behnken矩陣抽樣設(shè)計方法。根據(jù)影響減震效果的主要因素，選擇粘滯阻尼器阻尼系數(shù)和速度指數(shù)作為自變量xi（i＝1，2，…，L），各阻尼器所提供的最大阻尼力和層間位移作為因變量ym（m＝1，2，…，n），然后采用 Box－Behnken矩陣抽樣法進行試驗設(shè)計，確定K組樣本點。

2）有限元計算分析。根據(jù)試驗設(shè)計的樣本點參數(shù)值，利用有限元分析軟件SAP2000進行計算，得到K組層間位移和各阻尼器最大阻尼力變化值ym。

3）參數(shù)篩選。在研究的初始階段有可能考慮了所有的參數(shù)，如果參數(shù)很多，則需要進行參數(shù)篩選。參數(shù)篩選主要采用方差分析方法，其基本思想是將總變異平方和分解為試驗因素效應(yīng)與隨機誤差所引起的變異平方和，由此構(gòu)造出方差分析的F檢驗統(tǒng)計量［20］，找出顯著性參數(shù)。

4）響應(yīng)面擬合。將K組自變量及其對應(yīng)的K組因變量代入式（4），采用最小二乘法估計多項式系數(shù)，得到響應(yīng)面模型函數(shù)。

5）響應(yīng)面函數(shù)精度檢驗。為了驗證響應(yīng)面模型是否可靠，需對其進行精度檢驗，可采用多重擬合系數(shù)R2進行響應(yīng)面精度檢驗，如式（5）所示，式中代表響應(yīng)面模型計算值，yj代表有限元模型計算值，代表有限元模型計算值的平均值。R2判定系數(shù)在0～1之間取值，R2值越大，則回歸模型就越接近實際情況，如果精度較低則回到第1）步重新進行試驗設(shè)計。

6）粘滯阻尼器參數(shù)優(yōu)化。以層間位移小于限值作為約束條件，所有粘滯阻尼器提供的阻尼力之和最小作為目標函數(shù)，建立粘滯阻尼器參數(shù)優(yōu)化數(shù)學模型，運用非線性規(guī)劃優(yōu)化方法進行參數(shù)優(yōu)化。

3 算例分析

3.1 算例概況

鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)，5層，層高5m，跨度6m，柱截面為400mm×400mm，梁截面為250mm×500mm。梁柱材料均為C35混凝土，每層梁柱節(jié)點處質(zhì)量為50kN，輸入地震波為EL－CENTRO，地面運動加速度峰值為140cm／s2，層間位移最大限值為5mm。有限元模型如圖1所示。

圖1 算例有限元模型

3.2 層間位移和阻尼力之和響應(yīng)面函數(shù)

采用Box－Behnken樣本抽樣法進行試驗設(shè)計，1～5號阻尼器的阻尼系數(shù)為xi（i＝1、3、5、7、9），速度指數(shù)為xi（i＝2、4、6、8、10）。各層層間位移為Ri（i＝1、2、3、4、5），阻尼力之和為R6，得到165組樣本點。

應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計的F檢驗法分析所選參數(shù)對特征頻率的顯著性，計算各參數(shù)的統(tǒng)計特征量的顯著性水平P值，當P＜0.05時，則該參數(shù)為顯著。表1為顯著性水平為顯著的參數(shù)。由表1可以看出，參數(shù)x1、x4、x6和x8對所有因變量的影響都顯著，參數(shù)x2和x3對因變量R1、R2、R3和R6的影響顯著，參數(shù)x7除了對因變量R2影響不顯著外，對其它因變量均顯著，參數(shù)x9僅對因變量R5和R6影響顯著，參數(shù)x10對因變量R3、R5和R6影響顯著。此外，部分交叉項和二次項對該模型的顯著性較參數(shù)的影響要小，但為了保證精度，在對試驗設(shè)計計算得到的樣本數(shù)據(jù)進行二次多項式響應(yīng)面回歸時，采用完全二次多項式函數(shù)模型。

表1 顯著性檢驗結(jié)果

采用完全二次多項式對該樣本值進行響應(yīng)面回歸即可獲得各層層間位移及各阻尼器阻尼力與各參數(shù)之間的響應(yīng)面函數(shù)模型，通過對各響應(yīng)面模型進行多重擬合系數(shù)R2判定，多重擬合系數(shù)R2分別為0.9843、0.9756、0.9867、0.9621、0.9513 和0.9769，均大于0.95，能夠滿足參數(shù)優(yōu)化的精度要求。圖2所示R1殘差正態(tài)分布概率圖，各殘差點主體部分呈直線，說明誤差呈正態(tài)分布。以上分析說明模型擬合度好，利用響應(yīng)面函數(shù)模型精確能夠反映各層層間位移、粘滯阻尼器阻尼力之和與各阻尼器的阻尼系數(shù)、速度指數(shù)之間的關(guān)系，從而能夠保證后續(xù)粘滯阻尼器參數(shù)優(yōu)化的精度。

圖2 R1殘差正態(tài)分布概率圖

3.3 粘滯阻尼器參數(shù)影響分析

限于篇幅，僅以R1為例利用響應(yīng)面函數(shù)分析粘滯阻尼器參數(shù)對結(jié)構(gòu)的影響。圖3和圖4分別為1號阻尼器和3號阻尼器對R1的影響曲線圖，即參數(shù)x1和x2、x5和x6對因變量R1的影響曲線圖，對于1號阻尼器對R1的影響，從圖3可以看出，R1是隨著阻尼系數(shù)的增大而減小，隨著速度指數(shù)的減小而減小。但是，從圖4可以看出3號阻尼器對的R1影響關(guān)系復(fù)雜，在速度指數(shù)等于0.2時，R1隨著阻尼系數(shù)的增大而減??；在速度指數(shù)等于0.8時，R1隨著阻尼系數(shù)的增大而增大，反之，在阻尼系數(shù)等于30kN·s／m時，R1隨著阻尼系數(shù)的增大而增大；在阻尼系數(shù)等于150kN·s／m時，R1隨著速度指數(shù)的增大而減小。說明如果3號阻尼器參數(shù)選擇不合適，有可能使其對R1有放大作用。

圖3 x1和x2對R1的交互影響

圖4 x5和x6對R1的交互影響

由以上分析可知，各阻尼器之間、阻尼器與結(jié)構(gòu)之間的影響關(guān)系比較復(fù)雜。阻尼器阻尼系數(shù)與速度指數(shù)的不同取值組合，對減震結(jié)構(gòu)的減震效果有個最優(yōu)解的問題，需對阻尼器的參數(shù)進行優(yōu)化設(shè)計，即能保證結(jié)構(gòu)安全，又使得建造成本最低。

3.4 粘滯阻尼器參數(shù)優(yōu)化

當確定了響應(yīng)面模型函數(shù)后，以各阻尼力之和最小為目標函數(shù)，各層間位移和各參數(shù)的取值范圍作為約束條件，建立參數(shù)優(yōu)化模型，運用非線性規(guī)劃優(yōu)化方法進行參數(shù)優(yōu)化，即可得到非線性粘滯阻尼器的優(yōu)化參數(shù)，優(yōu)化后的非線性粘滯阻尼器的參數(shù)如表2所示。

通過有限元分析和上文所得的響應(yīng)面函數(shù)可得1～5層層間位移和各粘滯阻尼器阻尼力之和，如表3所示。響應(yīng)面函數(shù)預(yù)測所得的層間位移和各阻尼器阻尼力之和與有限元分析所得的相差較小，能夠滿足工程精度要求。

表2 非線性粘滯阻尼器參數(shù)優(yōu)化值

表3 響應(yīng)面函數(shù)預(yù)測和有限元分析比較

圖5、6為無控結(jié)構(gòu)和減震結(jié)構(gòu)節(jié)點6的位移時程曲線圖和加速度時程曲線圖，從圖中可以看出，結(jié)構(gòu)由于設(shè)置了粘滯阻尼器，取得了較好的減震效果。

圖5 節(jié)點6位移時程比較

圖6 節(jié)點6加速度時程比較

對于非線性粘滯阻尼器阻尼系數(shù)和速度指數(shù)的取值，選擇如表4所示的5種不同方案進行減震效果比較。第1種方案是基于響應(yīng)面法優(yōu)化結(jié)果；第2種方案是阻尼系數(shù)取值150kN·s／m，速度指數(shù)為0.2；第3種方案是阻尼系數(shù)取值150kN·s／m，速度指數(shù)為0.8；第4種方案是阻尼系數(shù)取值90kN·s／m，速度指數(shù)為0.5；第5種方案是阻尼系數(shù)取值30kN·s／m，速度指數(shù)為0.2。

表5為5種不同方案下的參數(shù)取值所得的層間位移和各粘滯阻尼器阻尼力之和?？梢钥闯觯桨?雖然能夠滿足層間位移限值的要求，但是各阻尼器之和太大，建造成本高；方案3、4、5雖然各阻尼器阻尼力之和較小，但是不能滿足層間位移限值的要求。

4 結(jié) 語

1）以一榀鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)為例，進行了基于響應(yīng)面法的非線性粘滯阻尼器參數(shù)優(yōu)化設(shè)計。結(jié)果表明采用簡單的代數(shù)公式能夠精確擬合設(shè)計變量和響應(yīng)量之間的復(fù)雜關(guān)系，把復(fù)雜問題顯式化，并且響應(yīng)面函數(shù)精度檢驗表明，響應(yīng)面函數(shù)精度高，能夠滿足優(yōu)化精度要求。

表4 不同粘滯阻尼器參數(shù)取值方案

表5 不同粘滯阻尼器參數(shù)取值時的減震效果比較

2）選擇阻尼系數(shù)和速度指數(shù)作為自變量，結(jié)構(gòu)層間位移、阻尼力之和作為響應(yīng)值，進行響應(yīng)面函數(shù)擬合。研究表明層間位移和粘滯阻尼力之和與非線性粘滯阻尼器參數(shù)取值呈現(xiàn)復(fù)雜的非線性關(guān)系。

3）結(jié)合響應(yīng)面函數(shù)模型，建立目標函數(shù)和約束條件，進行非線性粘滯阻尼器參數(shù)優(yōu)化，得到了粘滯阻尼器的參數(shù)優(yōu)化值。該方法精度高、計算量小，過程思路清晰，簡單易行，避免了憑經(jīng)驗進行參數(shù)調(diào)整過程中的反復(fù)迭代試算。

［1］陳瑜，劉偉慶，陸偉東.線性與非線性黏滯阻尼支撐減震效果的比較［J］.南京工業(yè)大學學報：自然科學版，2009，31（6）：45－50.Chen Y，Liu W Q，Lu W D.Comparison of seismicreduced effect between linear and nonlinear viscous damper bracings ［J］.Journal of Nanjing University of Technology：Natural Science Edition，2009，31（6）：45－50.

［2］李正良，李疏影，孫毅.基于遺傳算法的阻尼支撐優(yōu)化分析［J］.重慶建筑大學學報，2007，29（3）：57－60.Li Z L，Li S Y，Sun Y.Optimum analysis of damper braces based on genetic algorithm ［J］.Journal of Chongqing Jianzhu University，2007，29（3）：57－60.

［3］涂青，徐趙東，彭軍.隔減震結(jié)構(gòu)中黏彈性阻尼裝置的遺傳算法優(yōu)化分析［J］.東南大學學報：自然科學版，2009，39（1）：73－77.Tu Q，Xu Z D，Peng J.Parametric optimization of viscoelastic device in earthquake isolation and mitigation of structures ［J］.Journal of Southeast University：Natural Science Edition，2009，39（1）：73－77.

［4］Xu Z D，Shen Y P，Zhao H T.A synthetic optimization analysis method on structures with viscoelastic dampers［J］.Soil Dynamics and Earthquake Engineering，2003，23：683－689.

［5］郭勇，孫炳楠，葉尹.多目標優(yōu)化方法在輸電塔阻尼器布置中的應(yīng)用［J］.浙江大學學報：工學版，2006，40（10）：1755－1760.Guo Y，Sun B N，Ye Y.Multi－objective optimization approach for damper distribution of transmission towers［J］.Journal of Zhejiang University： Engineering Science，2006，40（10）：1755－1760.

［6］Tandjiria V，Teh C I，Low B K.Reliability analysis of laterally loaded piles using response surface methods［J］.Structural Safety，2000，22：335－355.

［7］Box G E P，Wilson K B.On the experimental attainment of optimum conditions［J］.Journal of the Royal Statistical Society，1951，13（1）：1－34.

［8］Lee S Y，Haldar A.Reliability of frame and shear wall structural systems II：Dynamic loading［J］.Journal of Structural Engineering，2003，129（2）：233－240.

［9］Deng L，Cai C S.Bridge model updating using response surface method and genetic algorithm ［J］.Journal of Bridge Engineering，2010，15（5）：553－564.

［10］ Bayramov F， Tasdemir C， Tasdemir M A.Optimisation of steel fiber reinforced concretes by means of statistical response surface method ［J］.Cement ＆Concrete Composites，2004，26：665－675.

［11］費慶國，韓曉林，蘇鶴玲.響應(yīng)面有限元模型修正的實現(xiàn)與應(yīng)用［J］.振動、測試與診斷，2010，30（2）：132－134.Fei Q G，Han X L，Su H L.Response surface based finite element model updating and its application ［J］.Journal of Vibration， Measurement and Diagnosis，2010，30（2）：132－134.

［12］武和全，楊家興，辛勇.基于響應(yīng)面法的S型薄壁梁抗撞性優(yōu)化設(shè)計［J］.機械科學與技術(shù)，2010，29（9）：1132－1136.Wu H Q，Yang J X，Xin Y.Optimal design of S－shaped rail for crashworthiness analysis based on response surface method ［J］.Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering，2010，29（9）：1132－1136.

［13］Makris N，Constantinou M C.Fractional－derivative Maxwell model for viscous dampers ［J］.Journal of Structural Engineering，1991，117（9）：2708－2724.

［14］葉正強，李愛群，程文瀼，等.采用粘滯流體阻尼器的工程結(jié)構(gòu)減振設(shè)計研究［J］.建筑結(jié)構(gòu)學報，2001，22（4）：61－66.Ye Z Q，Li A Q，Cheng W R，et al.Study on vibration energy dissipation design of structures with fluid viscous dampers ［J］.Journal of Building Structures，2001，22（4）：61－66.

［15］葉正強，李愛群，徐幼麟.工程結(jié)構(gòu)粘滯流體阻尼器減振新技術(shù)及其應(yīng)用［J］.東南大學學報：自然科學版，2002，32（3）：466－473.Ye Z Q，Li A Q，Xu Y L.Fluid viscous damper technology and its engineering application for structural vibration energy dissipation ［J］.Journal of Southeast University：Natural Science Edition，2002，32 （3）：466－473.

［16］Housner G W，Bergrnan L A.Structural control：past，present and future ［J］.Journal of Engineering Mechanics，1997，123（9）：73－79

［17］陳學偉，韓小雷，毛貴牛，等.粘滯阻尼器在連體高層結(jié)構(gòu)中的抗風減振效果［J］.土木建筑與環(huán)境工程，2009，31（5）：74－80.Chen X W，Han X L，Mao G N，et al.Fluid viscous damper technology and its engineering application for structural vibration energy dissipation［J］.Journal of Civil，Architectural ＆ Environmental Engineering，2009，31（5）：74－80.

［18］Wilson E L.Three dimensional dynamic analysis for structures with emphasis on earthquake engineering［M］.Berkeley：Computers and Structures，Inc.，1997.

［19］彭俊生，羅永坤，彭地.結(jié)構(gòu)動力學、抗震計算與SAP2000應(yīng)用［M］.成都：西南交通大學出版社，2007.

［20］呂棟雷，曹志耀，鄧寶，等.利用方差分析法進行模型驗證［J］.計算機仿真，2006，23（8）：46－48.Lyu D L，Cao Z Y，Deng B，et al.Model verification using variance analysis method ［J］. Computer Simulation，2006，23（8）：46－48.