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    基于K-SVD字典學(xué)習(xí)的核磁共振圖像重建方法

    2013-11-03 05:16:49劉平劉曉曼朱永貴
    關(guān)鍵詞:傅立葉字典矩陣

    劉平,劉曉曼,朱永貴

    (中國(guó)傳媒大學(xué) 理學(xué)院,北京 100024)

    基于K-SVD字典學(xué)習(xí)的核磁共振圖像重建方法

    劉平,劉曉曼,朱永貴

    (中國(guó)傳媒大學(xué) 理學(xué)院,北京 100024)

    基于超完備字典的圖像稀疏表示因其具有稀疏性、特征保持性、可分性等特點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用于圖像處理。本文利用K-SVD字典學(xué)習(xí)算法并應(yīng)用于MR圖像重建。將字典學(xué)習(xí)等價(jià)于一個(gè)二次規(guī)劃問(wèn)題,學(xué)習(xí)得到的字典能有效描述圖像特征?;趯W(xué)習(xí)所得的字典,獲得圖像的稀疏表示,并重建原始圖像。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,與Zero-filling方法相比,本文的重建結(jié)果能更好地保留圖像細(xì)節(jié)信息,獲得更高的SNR值。

    壓縮感知;核磁共振成像;重構(gòu)算法;K-SVD字典學(xué)習(xí)方法

    1 引言

    壓縮感知理論[1]是一種充分利用信號(hào)稀疏性或者可壓縮性的全新信號(hào)采樣理論。該理論表明,通過(guò)采集少量的信號(hào)值就可實(shí)現(xiàn)稀疏或可壓縮信號(hào)的精確重建。該理論在信號(hào)的獲取方式上突破了傳統(tǒng)的奈奎斯特采樣定理的限制,革命性地實(shí)現(xiàn)了對(duì)數(shù)據(jù)獲取的同時(shí)進(jìn)行適當(dāng)?shù)膲嚎s,成功克服了采樣數(shù)據(jù)量巨大、采樣時(shí)間以及數(shù)據(jù)存儲(chǔ)和傳輸?shù)任锢碣Y源浪費(fèi)嚴(yán)重的問(wèn)題。該理論包含三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):稀疏表示、觀測(cè)采樣和信號(hào)重建。信號(hào)重建是其中關(guān)鍵的一部分,它對(duì)于觀測(cè)采樣后信號(hào)的精確重建以及采樣過(guò)程中的準(zhǔn)確性驗(yàn)證均有著重要的意義。

    目前壓縮感知理論已廣泛應(yīng)用到圖像處理的各個(gè)領(lǐng)域,其中在醫(yī)學(xué)影像的核磁共振成像(MRI)取得了顯著的成果。MRI(magnetic resonance imaging)的臨床應(yīng)用開(kāi)創(chuàng)了影像診斷的新紀(jì)元。核磁共振成像是當(dāng)今最重要的影像學(xué)手段之一,它具有組織分辨率高、可任意方向斷層、空間分辨率高、對(duì)人體無(wú)放射性損害等優(yōu)點(diǎn)。作為一種重要的臨床成像方式,MRI的主要不足是它的數(shù)據(jù)采集時(shí)間較長(zhǎng)從而導(dǎo)致成像速度較慢。所以此項(xiàng)技術(shù)需要解決的問(wèn)題是:縮短采集時(shí)間[2]。通過(guò)重建算法研究降低成像所需的數(shù)據(jù)量,即在僅獲得部分成像數(shù)據(jù)的情況下,通過(guò)優(yōu)化重建算法仍然獲得滿足臨床診斷質(zhì)量需求的圖像[3]。

    我們將K-SVD字典學(xué)習(xí)算法[4]應(yīng)用到重建算法中,將傳統(tǒng)的稀疏表示方法改變?yōu)槔米值鋵?duì)圖像進(jìn)行稀疏表示,然后通過(guò)數(shù)值試驗(yàn)證明,在相同采樣率下,本文的重建結(jié)果比Zero-filling的重建結(jié)果能更好地保留圖像細(xì)節(jié)信息,獲得更高的SNR值。

    2 基于K-SVD字典學(xué)習(xí)的MR圖像重建

    (1)

    其中,T0為稀疏表示系數(shù)中非零分量的數(shù)目上限,即系數(shù)向量中的最大差異度。

    從誤差逼近角度看,K-SVD訓(xùn)練算法的目標(biāo)方程還可表示為

    (2)

    本質(zhì)上,式(1)和式(2)是相同的,只是考慮問(wèn)題的角度不同。論文中采用目標(biāo)函數(shù)為式(1)。

    式(1)求解是一個(gè)迭代過(guò)程。首先,假設(shè)字典D是固定的,用MP、OMP或BP等算法可以得到字典D上,Y的稀疏表示的系數(shù)矩陣X;然后根據(jù)稀疏矩陣X,找到更好的字典D。

    (3)

    上式中,乘積DX被分解為K個(gè)秩為1的矩陣的和。按照假設(shè)其中K-1項(xiàng)是固定的,所剩的一個(gè),也就是要處理的第k個(gè)。矩陣Ek代表的是去掉原子dk的成分在所有N個(gè)樣本中造成的誤差。

    (4)

    K-SVD算法非常靈活,可以和常見(jiàn)的稀疏分解的最優(yōu)原子搜索法(如匹配追蹤(MP)、正交匹配追蹤(OMP)、基追蹤(BP)、FOCUSS等)結(jié)合使用。本文選用的最優(yōu)原子搜索算法是正交匹配追蹤(OMP)算法。

    基于壓縮感知以及字典學(xué)習(xí)的MR圖像重建需要具備兩個(gè)特性:

    (1)稀疏性:重建模型需要保證采樣數(shù)據(jù)在字典下被稀疏表示;

    (2)特征保持性:重建模型應(yīng)當(dāng)盡量避免偽影在重建結(jié)果中出現(xiàn),例如直接對(duì)采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行零填充后傅立葉逆變換所出現(xiàn)的現(xiàn)象;一般來(lái)說(shuō),偽影的出現(xiàn)主要是由于較低的低采樣率,以及采樣過(guò)程中所含帶的噪聲所引起的。

    基于以上因素的考慮,我們給出以下重建模型:

    (5)

    模型中的第一項(xiàng)是用來(lái)保證采樣數(shù)據(jù)在稀疏字典D下有著最佳逼近于原始數(shù)據(jù);模型中的第二項(xiàng)保證了重建數(shù)據(jù)在欠采樣下的精確度。系數(shù)v的大小取決于噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差σ,即v=(λ/σ),此處,λ是一個(gè)正常數(shù)。這使得模型對(duì)噪聲有著更好的魯棒性。這種利用先驗(yàn)信息來(lái)確定系數(shù)的方法已經(jīng)在圖像去噪中取得很好的應(yīng)用[5]。本文提出的基于超完備字典學(xué)習(xí)的重建算法,將字典訓(xùn)練問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)帶邊界約束的二次規(guī)劃問(wèn)題,并研究適合于大規(guī)模運(yùn)算的解法,使其適用于具有高維特性的圖像處理問(wèn)題。訓(xùn)練得到的字典具有非負(fù)性的特征,與采樣數(shù)據(jù)相適應(yīng)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,基于K-SVD算法訓(xùn)練得到的字典具有很好的去噪能力,能夠更好地重建出原始MR圖像的特征,重建后具有較高的峰值信噪比。

    基于上述模型的MR重建算法包含兩個(gè)過(guò)程:

    (1)字典更新:這里,x初始假設(shè)是已知固定的,字典和采樣數(shù)據(jù)的稀疏表示交互學(xué)習(xí)進(jìn)行更新。

    (2)重建過(guò)程:此過(guò)程中與上一步相反,字典和采樣數(shù)據(jù)的稀疏表示已經(jīng)得到更新結(jié)果,所以此時(shí)是已知固定的,而x就是我們要得到的重建結(jié)果。

    接下來(lái)將詳細(xì)描述這兩個(gè)步驟。

    首先是字典更新,在此步驟中,問(wèn)題(5)在x固定的前提下進(jìn)行求解。此時(shí)對(duì)應(yīng)的子問(wèn)題為:

    (6)

    (6)中已經(jīng)把稀疏表示的系數(shù)進(jìn)行了誤差約束,同樣的方法在基于字典學(xué)習(xí)的去噪算法中也是一樣的。我們用采樣數(shù)據(jù)來(lái)訓(xùn)練字典,對(duì)應(yīng)的字典中的每一列為規(guī)范化的向量。字典學(xué)習(xí)的過(guò)程應(yīng)用K-SVD算法來(lái)進(jìn)行學(xué)習(xí),一旦得到新的字典,對(duì)應(yīng)的稀疏表示系數(shù)αij就可確定。

    接下來(lái),在重建過(guò)程中字典和稀疏表示系數(shù)均是固定已知的,對(duì)應(yīng)的重建模型(5)將變化為:

    (7)

    此時(shí)(7)是一個(gè)普通的最小二乘問(wèn)題,接下來(lái)對(duì)其進(jìn)行求解。首先對(duì)(7)一階求導(dǎo)后得到的結(jié)果如下:

    (8)

    式中,上標(biāo)H和T分別代表復(fù)數(shù)下的共軛轉(zhuǎn)置以及實(shí)數(shù)下的轉(zhuǎn)置運(yùn)算。直接對(duì)(8)進(jìn)行求解的計(jì)算量是相當(dāng)大的,因?yàn)橐獙?duì)一個(gè)P*P的矩陣進(jìn)行求逆才可得到重建結(jié)果,而此處的P=256×256,這使得求解此問(wèn)題的時(shí)間復(fù)雜度達(dá)到O(P3)。但是對(duì)問(wèn)題中的各項(xiàng)進(jìn)行仔細(xì)的分析,我們可以利用其結(jié)構(gòu)的特殊性對(duì)其計(jì)算量進(jìn)行簡(jiǎn)化。

    接下來(lái),可以利用傅立葉變換的性質(zhì)對(duì)(8)做進(jìn)一步計(jì)算量的簡(jiǎn)化。首先定義F∈CP×P為一個(gè)傅立葉變換編碼矩陣,從而有FHF=βIP。將全空間的數(shù)據(jù)x的傅立葉變換Fx代入到(8)中我們可以得到:

    (9)

    (9)中的每一小塊的求解結(jié)果的傅立葉變換域的值我們可以這樣來(lái)表示:

    基于以上分析,可以得到(9)的求解結(jié)果如下:

    3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

    為了分析本章提出算法的性能,將本章的算法和Zero-filling方法進(jìn)行比較,其中Zero-filling方法采用逆傅里葉變換的思想求解MR圖像重建問(wèn)題。

    實(shí)驗(yàn)用圖如圖1所示的三幅標(biāo)準(zhǔn)MR測(cè)試圖像,采用上述算法和本文方法對(duì)三幅標(biāo)準(zhǔn)MR圖像進(jìn)行重建,用射線性型采樣模式進(jìn)行采樣(圖2),采樣率取35%。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下所示:

    我們知道,評(píng)價(jià)圖像處理效果最常用的技術(shù)指標(biāo)是峰值信噪比(SNR值,式10),峰值信噪比越大,表明重建的圖像和原圖像的差異越小,從而圖像的重建效果就越好。針對(duì)上述三幅測(cè)試圖像,對(duì)Zero-filling方法和本章方法進(jìn)行比較。

    (10)

    表1 未添加噪聲SNR結(jié)果:

    表2 添加σ=10的高斯噪聲后的SNR結(jié)果

    (a)原始圖像 (b)Zero-filling方法 (c)本文方法

    (d)原始圖像細(xì)節(jié) (e)Zero-filling重建細(xì)節(jié) (f)本文方法重建細(xì)節(jié)

    (g)訓(xùn)練得到的字典

    (a)原始圖像 (b)Zero-filling方法 (c)本文方法

    (a)原始圖像 (b)Zero-filling方法 (c)本文方法

    4 結(jié)論

    本文基于已有的字典稀疏表示方法以及K-SVD字典學(xué)習(xí)方法,討論了新的MR重建模型。并與Zero-filling方法進(jìn)行了重建結(jié)果對(duì)比,實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:在相同采樣率下,本章討論的方法能有效地使重建出的效果好于Zero-filling方法。

    [1]D Donoho.Compressed sensing[J].IEEE Trans Inf Theory,vol 52,no 4:1289-1306,Apr.2006.

    [2]M Lustig,D Donoho,J Pauly.Sparse MRI:The application of compressed sensing for rapid MR imaging[J].Magn Reson Med,vol 58,no 6:1182-1195,2007.

    [3]X Qu,D Guo,Z Chen,C Cai.Compressed sensing MRI based on nonsubsampled contourlet transform[J].in Proc IEEE Int Symp IT Med Edu,2008:693-696.

    [4]M Aharon,M Elad,A Bruckstein.K-SVD:An algorithm for designing overcomplete dictionaries for sparse representation[J].IEEE Trans Signal Process,vol 54,no 11:4311-4322,Nov 2006.

    [5]M Elad,M Aharon.Image denoising via sparse and redundant representations over learned dictionaries[J].IEEE Trans Image Process,vol 15,no 12:3736-3745,Dec 2006.

    MRImageReconstructionBasedonK-SVDDictionaryLearning

    LIU Ping,LIU Xiao-man,ZHU Yong-gui

    (Department of Applied Mathematics,School of Sciences,Communication University of China,Beijing 100024 China)

    Images’ sparse representation using over-complete dictionaries have a wide application in image processing due to the properties of sparsity,integrity and separability.This paper proposes a dictionary learning algorithm which is applied to MR image reconstruction.The dictionary learning problem can be expressed as a box-constrained quadratic problem.The learned dictionary describes the image content effectively.Based on dictionary learning,we propose a model of MR image reconstruction,and compare with the Zero-filling method.The results of numerical experiments show that,under a same sampling rate,the reconstruction by proposed method can keep better reconstructed effect and higher SNRs.

    compressed sensing; Magnetic Resonance Imaging; reconstruction algorithm; K-SVD dictionary learning method

    2013-06-27

    劉平(1988-),男(漢族),陜西榆林人,中國(guó)傳媒大學(xué)碩士研究生.E-mail:liupingcuc@163.com

    TP391

    A

    1673-4793(2013)04-0034-06

    (責(zé)任編輯:宋金寶)

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