“經(jīng)驗之塔”與體驗性網(wǎng)絡(luò)課程——數(shù)學(xué)方法論課程的實踐研究

張映姜

（湛江師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣東 湛江 524048）

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓、靈魂.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅僅是知識的學(xué)習(xí)，更是數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法的學(xué)習(xí).思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本原則.湛江師范學(xué)院開設(shè)了《數(shù)學(xué)方法論》課程.期待增強高師學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的理解，增強思想方法對數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的組織，促進數(shù)學(xué)解題策略的形成，豐富師范生數(shù)學(xué)經(jīng)驗，有效地促進高師學(xué)生的教師專業(yè)成長.思想方法不同于數(shù)學(xué)知識，數(shù)學(xué)思想具有觀念性特點，數(shù)學(xué)方法具有程序特征，由于受傳統(tǒng)教學(xué)媒體的局限，課堂上很難展示經(jīng)典案例的生動性，較難展現(xiàn)方法的程序性、過程性，學(xué)生活動參與性較弱.如今，網(wǎng)絡(luò)媒體為《數(shù)學(xué)方法論》學(xué)習(xí)提供了較好條件，戴爾的經(jīng)驗理論為教師選擇合適的媒體資源、采用恰當(dāng)?shù)恼n堂學(xué)習(xí)方式提供了某些參考的理論依據(jù).多年的《數(shù)學(xué)方法論》教學(xué)實踐說明，交互式的動畫、可參與的網(wǎng)絡(luò)實驗等是課程《數(shù)學(xué)方法論》學(xué)習(xí)的重要資源，經(jīng)典的案例凝聚了歷史文化，創(chuàng)設(shè)了濃郁的數(shù)學(xué)文化情境，高師學(xué)生參與性增強了，學(xué)習(xí)體驗增加了.這些是傳統(tǒng)教學(xué)媒體無可比擬的.

1 戴爾的“經(jīng)驗之塔”理論

數(shù)學(xué)思想、方法是主觀對客觀規(guī)律的反映，是對客觀世界一般規(guī)律的概括和總結(jié)，但仍離不開人的主觀經(jīng)驗.對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識終究是人的認(rèn)識，離不開實踐活動.波利亞認(rèn)為，學(xué)生的學(xué)習(xí)從經(jīng)驗開始.“大多數(shù)最美妙的數(shù)學(xué)靈感來源于經(jīng)驗”（馮·諾依曼）.“我們真正的老師是經(jīng)驗和感覺”（盧梭）.這充分說明經(jīng)驗在學(xué)習(xí)中的重要性.許多專家相當(dāng)重視數(shù)學(xué)經(jīng)驗，尤其是數(shù)學(xué)思想方法方面的創(chuàng)新活動經(jīng)驗.只有當(dāng)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)知識作為一個環(huán)節(jié)歸入個人經(jīng)驗時，才能被理解和掌握.所獲得的數(shù)學(xué)方法的經(jīng)驗影響數(shù)學(xué)知識的組織、策略的運用以及對數(shù)學(xué)的認(rèn)識，也將影響高師學(xué)生的教師專業(yè)成長[1].

“經(jīng)驗之塔”理論認(rèn)為，學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗可分為做的經(jīng)驗、觀察的經(jīng)驗、抽象的經(jīng)驗.如圖1，學(xué)生“做的經(jīng)驗”處于“塔”的底部，是最直接、最具體的經(jīng)驗；其次是觀察的經(jīng)驗，位于“塔”的中部；立于“塔”頂是最抽象的經(jīng)驗，

即視覺、言語符號的經(jīng)驗.學(xué)習(xí)從直接經(jīng)驗開始，并由具體經(jīng)驗到抽象經(jīng)驗.但學(xué)習(xí)并不總是遵循從直接經(jīng)驗到間接經(jīng)驗.戴爾的經(jīng)驗理論也不能解決技能的訓(xùn)練問題，智慧技能和動作技能需要親自操作、反復(fù)訓(xùn)練才能形成經(jīng)驗、熟練掌握；電子的虛擬操作替代不了黑板、白紙上的推演，電腦演示替代不了真實的科學(xué)實驗[2].多媒體技術(shù)、網(wǎng)絡(luò)信息技術(shù)在20世紀(jì)末才得到廣泛運用，戴爾《視聽教學(xué)法》中的“經(jīng)驗之塔”理論不可能預(yù)見動畫圖片、網(wǎng)絡(luò)實驗等媒體對學(xué)生知識經(jīng)驗的促進作用.現(xiàn)代媒體畢竟是高師學(xué)生獲得知識經(jīng)驗的重要方式之一.尤其是，當(dāng)不能獲得思想方法的直接經(jīng)驗又不能較好地形成思想方法抽象經(jīng)驗時，可參與交互的網(wǎng)絡(luò)實驗、互動的動畫、表現(xiàn)力強的媒體模型等能讓學(xué)生獲得具體的、間接的替代經(jīng)驗.網(wǎng)絡(luò)信息資源遠(yuǎn)遠(yuǎn)不只是提供形成“觀察”經(jīng)驗的學(xué)習(xí)媒體，在很大程度上還提供形成“做”的經(jīng)驗以及“抽象符號”經(jīng)驗的學(xué)習(xí)媒體.

圖1 經(jīng)驗之塔[3]

2 豐富數(shù)學(xué)方法經(jīng)驗的網(wǎng)絡(luò)資源

戴爾的經(jīng)驗理論對于課程《數(shù)學(xué)方法論》學(xué)習(xí)資源的選擇具有指導(dǎo)作用.經(jīng)驗來源于實踐、源于體驗.教育是經(jīng)驗的改選重組.數(shù)學(xué)的思想方法以數(shù)學(xué)經(jīng)典案例為載體，通過網(wǎng)絡(luò)資源進行傳遞.網(wǎng)絡(luò)媒體資源實現(xiàn)數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法可視化、操作化，使高師學(xué)生有了直觀生動的認(rèn)知體驗，更深入地理解數(shù)學(xué)思想方法的涵義，更好地獲得思想方法的經(jīng)驗，并使經(jīng)驗具體化.數(shù)學(xué)變換借助七巧板幾何圖形的變換、函數(shù)圖象的變換等進行學(xué)習(xí)，理解數(shù)學(xué)變換方法；迭代法的學(xué)習(xí)借助河內(nèi)塔實驗、勾股樹等經(jīng)典案例進行.類比法通過三角形與圓等圖形的類比、棱錐與球等圖形類比進行學(xué)習(xí).數(shù)學(xué)歸納法的理解、掌握需要通過多米諾骨牌的（網(wǎng)絡(luò)）視頻，生動再現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法的初始條件及遞推關(guān)系.現(xiàn)代媒體往往能提供數(shù)學(xué)經(jīng)典案例，形式多樣的、生動直觀的網(wǎng)絡(luò)素材，能供參與的網(wǎng)絡(luò)資源，虛擬參與得到“直接經(jīng)驗”，通過觀察獲得“間接經(jīng)驗”.具體地，主要有3種網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)資源.

2.1 能形成“做的經(jīng)驗”網(wǎng)絡(luò)交互資源

通過網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的虛擬場景增強教學(xué)媒體的真實，為高師學(xué)生構(gòu)建可視化的“真實場景”.這種可視化的“真實場景”能讓高師學(xué)生獲得與真實生活中相似甚至相同的認(rèn)知體驗，獲得“做的經(jīng)驗”.網(wǎng)絡(luò)上共享的七巧板的拼圖、拋硬幣的實驗、函數(shù)圖象的變換等資源可人機交互，動手操作，參與活動，進行觀摩示范，以及數(shù)學(xué)設(shè)計.通過這些可參與的網(wǎng)絡(luò)資源，親手點擊鼠標(biāo)，親自拼一拼，試一試，體驗思想方法.讓學(xué)生擺一擺，拼一拼，探索數(shù)學(xué)方法的規(guī)律.讓學(xué)生“做中學(xué)”、“玩中學(xué)”，改變“聽中學(xué)”、“看中學(xué)”的學(xué)習(xí)形式，讓學(xué)生獲得“直接經(jīng)驗”；特別是可交互的網(wǎng)絡(luò)資源，給學(xué)生提供動手實踐的機會，增加做的環(huán)節(jié)，容易產(chǎn)生最直接的、難以忘記的學(xué)習(xí)經(jīng)驗.交互的學(xué)習(xí)資源能促進學(xué)習(xí)過程中高師學(xué)生的深度參與.

2.2 能形成“觀察的經(jīng)驗”的圖形資源

觀察是重要的學(xué)習(xí)活動.戴爾認(rèn)為，經(jīng)驗源于觀察.實踐表明，許多經(jīng)驗來自于觀察，觀察依賴于情境，即經(jīng)驗源于情境中的觀察.特瑞赤拉曾證實：83%的信息通過視覺獲得.視覺獲得的經(jīng)驗信息最多.“一切知識都從感官開始的”（夸美紐斯）.人類獲得更多的是間接經(jīng)驗.高師學(xué)生通過幾種感官交互，獲得思想方法的“觀察經(jīng)驗”，有了身臨其境的認(rèn)知體驗.觀察活動有助于對數(shù)學(xué)思想方法經(jīng)驗的獲得.網(wǎng)絡(luò)能提供許多便于觀察的資源.生動活潑、形象直觀的網(wǎng)絡(luò)圖片展示或簡潔明快的網(wǎng)絡(luò)視頻，提供學(xué)生觀察的機會，獲得觀察的經(jīng)驗；如圖解、模型、圖表、示意圖，這些視覺符號有助于學(xué)生的觀察，利于抽象經(jīng)驗的進一步形成，圖片、動畫等形象生動具體，便于觀察，豐富學(xué)生的觀察經(jīng)驗.利用圖解、模型、圖表、示意圖等直觀圖形，構(gòu)建知識學(xué)習(xí)的直觀情境，把抽象的知識化為具體、形象的、可感知的東西，把學(xué)習(xí)內(nèi)容、對象展現(xiàn)在學(xué)生面前，讓學(xué)生幫助學(xué)生理解概念，通過多種外部刺激迅速感知知識，形成形象性知識，使抽象知識具體化、過程化，深奧的知識形象化、趣味化，讓學(xué)生通過多種刺激迅速感知知識，把握知識的意義，形成生動的知識，促進學(xué)習(xí)遷移.

2.3 歷史悠久的經(jīng)典案例能形成數(shù)學(xué)方法符號經(jīng)驗

數(shù)學(xué)的歷史文化影響學(xué)習(xí)經(jīng)驗的獲得.文化是通過教育進行傳承.文化的教育歸根結(jié)底是關(guān)注人的發(fā)展，重視人的因素.社會文化因素影響觀察的視野.愛因斯坦說，“正是理論決定什么是可以觀察的.”歷史的沉淀形成了人類豐富多彩的文化.知識的歷史文化性無疑促進學(xué)生觀察、體驗及經(jīng)驗的獲得.所以，歷史文化體驗是數(shù)學(xué)思想方法經(jīng)驗的又一個特色.拋硬幣的實驗、七巧板拼圖等，都是數(shù)學(xué)上的經(jīng)典案例，它們浸潤著數(shù)學(xué)悠久的歷史與純美的文化，成為數(shù)學(xué)方法論的學(xué)習(xí)資源，引導(dǎo)學(xué)生活動思考，欣賞數(shù)學(xué)文化，品味悠久歷史，獲得數(shù)學(xué)經(jīng)驗，豐富方法內(nèi)涵.學(xué)生通過體驗性學(xué)習(xí)活動，增強學(xué)習(xí)體驗，形成并強化數(shù)學(xué)知識經(jīng)驗.

3 經(jīng)驗理論下數(shù)學(xué)方法的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)方式

網(wǎng)絡(luò)信息、多媒體技術(shù)為數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)活動給予了充分的支持.經(jīng)驗理論是數(shù)學(xué)思想方法網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)遵循的主要依據(jù).通過網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)資源，讓高師學(xué)生既可獲得“觀察的經(jīng)驗”又可獲得“做的經(jīng)驗”，并進一步促進“抽象的經(jīng)驗”的形成，實現(xiàn)了思想方法在“做、觀察、抽象”3種層次經(jīng)驗的交融，實現(xiàn)高強度的認(rèn)知刺激和最大限度的體驗，拓展數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維，達(dá)到了更有效的學(xué)習(xí)效果.利用網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)資源，學(xué)生直接參與，獲得具體經(jīng)驗，豐富做的經(jīng)驗，或通過圖象觀察獲得替代經(jīng)驗；或通過符號的學(xué)習(xí)，獲得符號表示的經(jīng)驗.操作探究、設(shè)計學(xué)習(xí)，學(xué)生獲得直接經(jīng)驗；示范觀摩、案例學(xué)習(xí)，學(xué)生獲得間接經(jīng)驗.通過體驗性學(xué)習(xí)活動，進行概括總結(jié)獲得數(shù)學(xué)方法，豐富學(xué)生個體知識的內(nèi)涵，完善知識的涵意，掌握數(shù)學(xué)方法，實現(xiàn)學(xué)習(xí)目標(biāo).

3.1 探究學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)研究、學(xué)習(xí)需要探究、探索，“在人的心靈深處都有一種根深蒂固的需要.這就是希望自己是一個探索者、發(fā)現(xiàn)者、研究者，而在兒童的精神世界中這種需要特別強烈”（蘇霍姆林斯基）.實驗法、歸納法、類比法等數(shù)學(xué)方法的運用是探究學(xué)習(xí)的有效方式，是在活動中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)方法.探究學(xué)習(xí)既可以滿足學(xué)生對探究的需要，同時又可以幫助學(xué)生對數(shù)學(xué)方法的運用和理解.網(wǎng)絡(luò)上有許多共享的數(shù)學(xué)實驗是課程《數(shù)學(xué)方法論》探究學(xué)習(xí)的經(jīng)典案例.如圖2，這是拋硬幣實驗.通過拋硬幣的實驗，學(xué)生能認(rèn)識隨機實驗的特點，并能解決日常中難以處理的大樣本隨機實驗研究問題，也有助于學(xué)生理解隨機觀念.通過實驗探究，學(xué)生能發(fā)現(xiàn)隨機現(xiàn)象中固有的數(shù)學(xué)規(guī)律，掌握概率思想.利用網(wǎng)上實驗資源，可以讓學(xué)生進行實驗、歸納、類比等活動，學(xué)會探究學(xué)習(xí)，有了探究的經(jīng)歷，滿足探究的欲望，獲得做的經(jīng)驗，在活動中進行體驗性學(xué)習(xí)，掌握了數(shù)學(xué)方法，有了創(chuàng)造性數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗，提高數(shù)學(xué)能力.

3.2 動手操作

動手操作是形成思想方法間接“做的經(jīng)驗”的重要方式，這也恰好發(fā)揮了增強虛擬情境真實性的網(wǎng)絡(luò)優(yōu)勢.如數(shù)學(xué)變換方法包括幾何圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、對稱，以及函數(shù)圖象對稱、位移、伸縮等變換.利用網(wǎng)絡(luò)中共享資源參與交互，動手操作，在進行幾何變換、圖象變換操作中掌握、理解數(shù)學(xué)方法，獲得“直接”經(jīng)驗，驗證數(shù)學(xué)結(jié)論，提高學(xué)習(xí)興趣，強化學(xué)習(xí)動機.為了理解變換思想，可利用函數(shù)圖象的對稱變換進行認(rèn)識，研究函數(shù)y=f(x)與y=?f(x)，y=f(x)與y=f(?x)，y=f(x)與y=?f(?x)圖象變換情況，學(xué)生親自參與，人機交互，如圖3.y=f(x)與y=?f(x)，y=f(x)與y=f(?x)圖象分別關(guān)于x軸、y軸對稱，y=f(x)與y=?f(?x)圖象關(guān)于原點對稱.學(xué)生分析思考后，發(fā)現(xiàn)，這3種函數(shù)圖象的對稱變換對于點的坐標(biāo)的影響只是橫、縱坐標(biāo)符號的變化，最終概括為關(guān)于軸對稱或點對稱兩類.學(xué)生思考函數(shù)圖象或幾何圖形變換，就能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)變換方法的規(guī)律.特別是參與操作、動手交互.聽過的可能會忘記，看過的可能會明白，但動手操作過的肯定不會忘，并能深刻地理解、準(zhǔn)確地掌握，獲得生動的經(jīng)驗.對照幾何圖形變換、函數(shù)形式的變化，就能獲得幾何變換的經(jīng)驗，增強幾何圖形經(jīng)驗的直觀性、生動性，豐富學(xué)生的幾何聯(lián)想，體驗數(shù)學(xué)活動，也獲得數(shù)學(xué)變換的“替代”經(jīng)驗.

圖2 拋硬幣試驗

圖3 函數(shù)圖像

3.3 觀摩示范

依戴爾的“經(jīng)驗之塔”理論，示范觀摩是高師學(xué)生獲得數(shù)學(xué)思想方法間接經(jīng)驗的重要方式.對課程中的尺規(guī)作圖、對稱、化歸等方法，觀摩示范也是一個有效的體驗學(xué)習(xí)方式.利用網(wǎng)絡(luò)資源中動畫、圖片、圖表、掛圖、幻燈、錄音、錄像、電影、圖解、模型、示意圖等進行示范，展示操作過程，讓學(xué)生進行仔細(xì)觀察，反復(fù)模仿，使學(xué)生掌握方法運用的程序，領(lǐng)會數(shù)學(xué)方法的規(guī)律，獲得操作的替代經(jīng)驗.觀摩示范，既能使學(xué)生獲得豐富的感性經(jīng)驗，加深對事物的印象，又可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展學(xué)生的觀察力，加強技能的掌握、理解，增強記憶效果.

如圖4，網(wǎng)絡(luò)資源中的圖案設(shè)計（www.diyifanwen.com/kejian/chuzhongyinianjishuxuekejian）.賞心悅目的圖案如何制作？圖案的制作展現(xiàn)了尺規(guī)作圖的方法，用形象、直觀的、交互式的動畫方式，用圖案制作示范尺規(guī)作圖的程序和方法，展示圖案制作過程，如圖5.通過操作示范，讓學(xué)生親眼看一看，親自做一做，觀摩圖案的設(shè)計思路，觀察圖形制作方式，發(fā)現(xiàn)圖形制作奧秘，掌握幾何尺規(guī)作圖的方法，獲得替代經(jīng)驗.

圖4 圖案設(shè)計

圖5 圖案制作過程

3.4 數(shù)學(xué)設(shè)計

數(shù)學(xué)設(shè)計也是高師學(xué)生獲得數(shù)學(xué)思想方法替代經(jīng)驗的重要方式，能有效地提高創(chuàng)造能力.李約瑟說，七巧板是“東方最古老的消遣品”，“其變化之式多至千余.體物肖形，隨手變幻，蓋游戲之具，足以排悶破寂，故世俗皆喜為之”.拿破侖流放時利用七巧板打發(fā)時光.七巧板的拼圖游戲能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的平移、旋轉(zhuǎn)等變換方法.如通過七巧板的數(shù)學(xué)設(shè)計活動，不僅吸引注意力，激發(fā)學(xué)習(xí)動機，增強參與、創(chuàng)造的意識，而且還在拼圖過程中理解其中所運用的幾何變換方法.利用網(wǎng)絡(luò)資源中七巧板設(shè)計的平臺，進行七巧板的創(chuàng)作，用七巧板拼成吉祥圖案，慶賀節(jié)日，游戲娛樂.變化豐富，巧妙搭配，千姿百態(tài).通過7塊板的平移、旋轉(zhuǎn)等幾何變換，進行數(shù)學(xué)設(shè)計，拼出袋鼠圖案，如圖6.通過七巧板中5塊三角形、一塊正方形以及一塊平行四邊形的平移、旋轉(zhuǎn)等幾何變換，進行精巧的數(shù)學(xué)設(shè)計，既能體驗幾何變換的思想，獲得變換方法運用的經(jīng)驗，也能動手設(shè)計，培養(yǎng)創(chuàng)新意識，拼出精美的幾何圖案，感悟數(shù)學(xué)創(chuàng)新.當(dāng)然，也體驗七巧板的歷史文化.

圖6 七巧板

3.5 案例學(xué)習(xí)

案例學(xué)習(xí)是根據(jù)特定的要求，對數(shù)學(xué)中經(jīng)典的實例進行研究，達(dá)到理解知識、掌握方法、獲得體驗的一種方式.針對數(shù)學(xué)的無窮小方法、類比方法，通過數(shù)學(xué)中一些經(jīng)典案例的研究、學(xué)習(xí)，展示巧妙的技巧，突出鮮明的主題，欣賞解決策略，體驗創(chuàng)新的經(jīng)歷，獲得替代經(jīng)驗，從而理解數(shù)學(xué)思想的精髓，掌握數(shù)學(xué)方法.案例越經(jīng)典越好，經(jīng)典案例有醍醐灌頂?shù)男Ч?利用經(jīng)典的案例把學(xué)生的學(xué)習(xí)注意力集中在有趣的論題上，通過生動事例的再現(xiàn)，突出中心論題，反映現(xiàn)實生活場景.這樣，案例就成為傳遞數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)家情感的重要方式.通過網(wǎng)上經(jīng)典的歷史文化案例，如把圓等分割成全足夠多個小扇形，近似于三角形，再拼成一個近似矩形，如圖7，猜測出圓的面積公式，從而展示人類思考的方向，欣賞、體驗人類高超的智慧.或利用三角形與圓的類比，如數(shù)學(xué)家開普勒一樣思考，如圖8，把長為2πr的圓周n等分，每份長Δ，周長ΣΔ=2πr，當(dāng)n取相當(dāng)大的整數(shù)時，得到n個高約等于半徑r的近似于三角形，每個近似的小三角形面積為S=Δr；再對所有近似i小三角形進行面積求和∑S=Δr.i

圖7 圓的公面式積推公導(dǎo)式推導(dǎo)

圖8 圖圓與8 三 圓角形類比

于是，得到圓的面積公式

并由此體驗微積分的思想：無限分割—三角形面積—求和—極限[5].類比上述方法，還可類比錐體體積公式，求得球的體積.類比錐體求得球的體積的經(jīng)典案例學(xué)習(xí)，能讓人們充分體驗到無窮小方法用于求面積、體積的積分學(xué)的思想，展示數(shù)學(xué)家求旋轉(zhuǎn)體體積的精巧的思路和方法.通過典型案例進行研究學(xué)習(xí)，學(xué)生在經(jīng)典案例的文化情景中，掌握思想方法，領(lǐng)悟問題解決的策略，增強想像力，拓寬數(shù)學(xué)視野，激發(fā)或強化學(xué)習(xí)動機，保持濃厚興趣，形成獨到的見解.

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