數(shù)學(xué)課堂教學(xué)立意的“層次”“關(guān)系”及“提升”——由“完全平方公式”同課異構(gòu)引發(fā)的思考

石樹偉

（揚(yáng)州市廣陵區(qū)教育局 教研室，江蘇 揚(yáng)州 225001）

王國維在《人間詞話》中指出：“詞以境界為最上.有境界則自成高格，自有名句.”[1]同樣，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)以立意為最上，立意高遠(yuǎn)則自會育人，自成經(jīng)典.教學(xué)立意即教師教學(xué)的主觀意旨，包括教學(xué)原則、方法、目標(biāo)設(shè)置、程式選擇等，它是教師踐行其教學(xué)理念，實現(xiàn)其教學(xué)價值追求的核心.

研究者曾參加了一次以“完全平方公式”為課題的同課異構(gòu)教研活動，聽了3節(jié)研討課并參與評議，引發(fā)許多對教學(xué)立意的思考.

1 教學(xué)立意的3種層次

3節(jié)課體現(xiàn)3種層次的教學(xué)立意，下面結(jié)合課例作簡要分析.

1.1 授之以魚——知識立意

【教學(xué)流程】甲老師“完全平方公式”一課教學(xué)流程如下：

1.探索活動：

（1）如何計算圖1中大正方形的面積？你有什么發(fā)現(xiàn)？

（2）你能用多項式乘法運(yùn)算法則推導(dǎo)出(a+b)2=a2+2ab+b2嗎？

（3）嘗試運(yùn)用公式(a+b)2=a2+2ab+b2計算(a-b)2嗎？（引導(dǎo)學(xué)生感受轉(zhuǎn)化的思想以及知識之間的內(nèi)在聯(lián)系）

（4）觀察完全平方公式，你能說出這兩個公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)嗎？

2.公式應(yīng)用：

（1）例1.用完全平方公式計算：①(5+3p)2；②(2x-7y)2；③(-2a-5)2.（第③小題引導(dǎo)學(xué)生用不同方法計算，深刻理解、靈活應(yīng)用兩個公式）

圖1

（2）練習(xí)1：與例1類似的模仿性練習(xí).

（3）例2.簡便計算：①982；②(1002.

（4）練習(xí)2：與例2類似的模仿性練習(xí).

3.課堂小結(jié)：完全平方公式的特征及語言描述.

4.課堂檢測：當(dāng)堂訓(xùn)練，當(dāng)堂反饋.

甲課安排有“探究”活動，教師通過引導(dǎo)學(xué)生計算正方形的面積“探究發(fā)現(xiàn)”完全平方公式，但學(xué)生會有疑問：這樣的正方形哪里來的？為什么只計算它的面積而不計算其它幾何量？老師是怎么知道計算這樣的正方形面積就能得到完全平方公式的？從教學(xué)設(shè)計實施情況看，通過計算正方形面積能快速引導(dǎo)學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”完全平方公式，但這樣的探究僅是名義上的探究，學(xué)生沒有豐富的探究空間，而是一步一步鉆進(jìn)教師預(yù)設(shè)的“圈套”，被教師牽著鼻子去快速發(fā)現(xiàn)“新知識”，其實是一種“假探究”[2].

教學(xué)中公式應(yīng)用按題型分類，及時鞏固反饋，有利于學(xué)生模仿應(yīng)用并熟練掌握完全平方公式，形成相應(yīng)的計算技能.

通過以上分析，研究者認(rèn)為甲課學(xué)生基礎(chǔ)知識、基本技能掌握較好，達(dá)到了授之以漁的教學(xué)效果，課堂教學(xué)立意是知識立意的層次.

1.2 授之以漁——能力立意

【教學(xué)流程】乙老師“完全平方公式”一課教學(xué)流程如下：

1.探索活動：

（1）計算下列各式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

（2）推廣到一般，你能歸納得到什么運(yùn)算公式？你能推導(dǎo)它嗎？

（3）完全平方公式有什么特征？如何用語言描述？

2.公式應(yīng)用：與甲課例1和練習(xí)1類似，略.

3.幾何解釋：你能根據(jù)圖1和圖2兩個正方形的面積分別說明兩個完全平方公式嗎？

4.應(yīng)用拓展：嘗試計算(a+b+c)2.

5.課堂小結(jié)：完全平方公式的特征及語言描述.

6.課堂檢測：當(dāng)堂訓(xùn)練，當(dāng)堂反饋.

數(shù)學(xué)思維中，演繹推理在于驗證結(jié)論，歸納推理在于發(fā)現(xiàn)結(jié)論，歸納能力是創(chuàng)新能力的重要基礎(chǔ)[3].中國過去的數(shù)學(xué)雙基教學(xué)缺少對學(xué)生歸納能力的培養(yǎng)，而概念、定理、公式、法則教學(xué)的核心就是“歸納”.學(xué)生在學(xué)習(xí)乘法公式前已經(jīng)學(xué)習(xí)了多項式的乘法運(yùn)算，兩個完全相同的多項式相乘在計算和實際應(yīng)用中較為常見.乙課先讓學(xué)生自己進(jìn)行兩個完全相同的多項式相乘的運(yùn)算，從而總結(jié)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，最后推廣歸納一般結(jié)論——完全平方公式，公式的來龍去脈清楚，學(xué)生真正經(jīng)歷了“由特殊到一般”這一公式的發(fā)現(xiàn)和歸納過程，有利于學(xué)生創(chuàng)新意識和能力的培養(yǎng).

應(yīng)用拓展中讓學(xué)生嘗試計算(a+b+c)2.有的學(xué)生先畫一個正方形，然后將邊長分成a、b、c三段，再通過計算面積得出結(jié)果；有的學(xué)生將(a+b)或(b+c)看成一個數(shù)從而利用完全平方公式得出結(jié)果，較好地滲透應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、整體思想等數(shù)學(xué)思想，有利于培養(yǎng)學(xué)生在新情境下應(yīng)用所學(xué)知識分析和解決問題的能力.

圖2

通過以上分析可以得到：乙課重視在掌握雙基的基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生的各種數(shù)學(xué)能力，達(dá)到了授之以漁的教學(xué)效果，課堂教學(xué)立意是能力立意的層次.

1.3 授之以育——生本立意

【教學(xué)流程】丙老師“完全平方公式”一課教學(xué)流程如下：

1.探索活動：

（1）前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了多項式的乘法，你能說說運(yùn)算法則嗎？運(yùn)算的依據(jù)是什么？

（2）(x+b)(x+d)可以利用公式直接寫出結(jié)果，它是(a+b)(c+d)在a=c=x時的特例（先行組織者）.在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，你認(rèn)為還有哪些特殊情形？你能得到什么？（完全放手讓學(xué)生探究，學(xué)生的結(jié)論多種多樣，包括完全平方公式和平方差公式）

（3）完全平方公式有哪些特征？請你用自己的語言表述公式.

2.公式應(yīng)用：與甲課例1和練習(xí)1類似，略.

3.幾何解釋：如果a、b表示線段的長，則a2、b2分別表示正方形的面積，你能根據(jù)公式形式，自己構(gòu)造圖形表示完全平方公式嗎？

4.課堂小結(jié)：

（1）請你說說公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及應(yīng)用時應(yīng)注意的問題.

（2）請你總結(jié)一下這節(jié)課討論問題的基本過程.（從一般到特殊，考察特例）

（3）能否循著上述思路，再提出一些值得研究的問題？

完全平方公式是多項式乘法(a+b)(c+d)在c=a，d=b時的特例，多項式乘法是完全平方公式的知識生長點(diǎn).丙課充分發(fā)揮“先行組織者”的作用，引導(dǎo)學(xué)生在多項式乘法基礎(chǔ)上探究特例，切合知識的發(fā)生發(fā)展過程和內(nèi)在的邏輯線索，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.課堂小結(jié)時引導(dǎo)學(xué)生反思該課公式的探索過程，有利于學(xué)生積累基本活動經(jīng)驗；鼓勵學(xué)生繼續(xù)探究特例，有的學(xué)生提出推廣次數(shù)，研究(a+b)3，(a+b)4……，有的學(xué)生提出推廣字母個數(shù)，研究(a+b+c)2，有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力.這些教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)置很好地向?qū)W生滲透了從一般到特殊、歸納的思想，教給學(xué)生數(shù)學(xué)研究的一個重要的“基本套路”——考察特例.

探索公式時學(xué)生自己尋找特例，對公式進(jìn)行幾何解釋時自己構(gòu)造圖形，課堂小結(jié)時自己提出研究的問題.雖然探究教學(xué)耗時多，學(xué)生練習(xí)的量有所減少，但學(xué)生探究的空間大，是真探究，學(xué)生靠自己探究出公式，學(xué)生自己提出好的問題和研究思路.下課了學(xué)生還沉浸在濃厚的研究氛圍之中，學(xué)生的成就感得到了充分的滿足，學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣得到了充分的激發(fā).

通過以上分析，研究者認(rèn)為丙課充分挖掘知識內(nèi)容所蘊(yùn)含的發(fā)展價值，成功實現(xiàn)了課堂教學(xué)的育人價值，充分體現(xiàn)了以學(xué)生發(fā)展為本的教學(xué)理念，達(dá)到了授之以“育”的教學(xué)效果，課堂教學(xué)立意是生本立意的層次.

2 三種教學(xué)立意的關(guān)系

2.1 遞進(jìn)關(guān)系

從知識立意到能力立意，再到生本立意，教學(xué)立意的層次越來越高，呈現(xiàn)出一個遞進(jìn)的關(guān)系.教學(xué)立意的高低直接影響著數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性，特別是對過程與方法、情感態(tài)度與價值觀兩個維度的目標(biāo)達(dá)成與否有重要影響.教學(xué)立意由低到高，對應(yīng)著課堂教學(xué)的思想性由膚淺到深刻，對應(yīng)著課堂教學(xué)的關(guān)注點(diǎn)由關(guān)注學(xué)生的眼前利益到關(guān)注學(xué)生的長遠(yuǎn)利益.

2.2 包含關(guān)系

認(rèn)知心理學(xué)的研究清楚地表明，一個人不能“數(shù)學(xué)地”思考和解決問題的主要原因是缺乏必要的數(shù)學(xué)知識，掌握基礎(chǔ)知識是培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力、個性品質(zhì)等的重要基礎(chǔ).知識技能既是學(xué)生發(fā)展的基礎(chǔ)性目標(biāo)，又是落實“數(shù)學(xué)思考”、“問題解決”、“情感態(tài)度”目標(biāo)的載體[4].“情感態(tài)度”不會憑空形成，“數(shù)學(xué)思考”的魅力、“問題解決”的成功是“情感態(tài)度”形成的催化劑.因此，知識立意、能力立意、生本立意3者之間不是對立排斥的關(guān)系，而應(yīng)該是一種包含關(guān)系：能力立意包含知識立意，是知識立意的升華，生本立意又包含能力立意，是能力立意的再升華.

3 教學(xué)立意的提升

3.1 教學(xué)立意提升的前提

教師一般每一節(jié)課都有自己的教學(xué)立意，或明確或模糊，有意識或下意識，模糊或下意識的教學(xué)立意一般難以至高遠(yuǎn).教學(xué)立意提升的前提是教師應(yīng)有明確的追求高遠(yuǎn)立意的意識.古人云“取法乎上，僅得其中；取法乎中，僅得其下”，教師在教學(xué)設(shè)計時應(yīng)有追求高立意的意識，只有這樣，在教學(xué)實施時才有可能有高質(zhì)量、高效益的課堂.沒有教學(xué)設(shè)計時高立意的教學(xué)追求而奢望教學(xué)實施時精彩的生成，那是教學(xué)中的“機(jī)會主義”，教學(xué)實施中的“靈機(jī)一動”是教學(xué)設(shè)計中精心謀劃的頓悟而已[5].

3.2 教學(xué)立意提升的關(guān)鍵

數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)立意提升的關(guān)鍵在于教師“理解數(shù)學(xué)”的能力，即教師的“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”：了解數(shù)學(xué)知識的背景，能準(zhǔn)確地把握數(shù)學(xué)概念、定理、法則、公式等的邏輯意義，能深刻領(lǐng)悟內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法，具有挖掘知識所蘊(yùn)含的科學(xué)方法、理性思維過程和價值觀資源的能力和技術(shù)，善于區(qū)分核心知識和非核心知識等[6].教師只有切實提高自己“理解數(shù)學(xué)”的能力，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步“理解學(xué)生”、“理解教學(xué)”，教學(xué)立意的提升才有可能.

3.3 教學(xué)立意提升的策略

許多數(shù)學(xué)課堂教學(xué)立意不高，主要表現(xiàn)在教師“匠氣”太濃，“功利主義”盛行，缺少思想和精神的追求.提升教學(xué)立意就需要加強(qiáng)“先行組織者”的使用，充分挖掘數(shù)學(xué)知識蘊(yùn)含的價值觀資源，在教學(xué)中將知識教學(xué)與價值觀影響融為一體，提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的思想性[6].通過數(shù)學(xué)這一知識載體不斷地、自覺地提高人的素質(zhì)，培養(yǎng)人的優(yōu)良品質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的“育人”功能[7].

[1]王國維.人間詞話[M].南京：江蘇文藝出版社，2007.

[2]景敏.關(guān)注核心概念，讓思想自然流淌[J].中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2009，（9）：2-3.

[3]史寧中.《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的若干思考[J].數(shù)學(xué)通報，2007，（5）：1-5.

[4]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[5]陳士文.板塊、獨(dú)立、反饋[J].遼寧教育，2007，（10）：41-42.

[6]章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個論題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬刊），2010，（5）：2-5.

[7]胡典順.人為什么要學(xué)數(shù)學(xué)——數(shù)學(xué)意義的哲學(xué)思考[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2010，19（4）：54-57.