美國數(shù)學教師學科知識評價方法的述評

黃興豐，馬云鵬

（1.東北師范大學 教育科學學院，吉林 長春 130024；2.常熟理工學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，江蘇 常熟 215500）

1986年，美國著名學者舒爾曼（Shulman）把學科知識（subject matter knowledge）定義為：“學科知識是指在特殊學科中的概念、原則與技能以及這些知識在教師頭腦中的結(jié)構(gòu)和數(shù)量.”[1]與此同時，美國開始出現(xiàn)研究，關(guān)注數(shù)學教師的學科知識對學生數(shù)學成績的影響.這種趨勢完全和逐漸興起的一種觀點相一致，即教師對學生學習的影響主要取決于學科知識，而不是一般知識或教學法知識[2～3].于是，有些研究者不再像原來一樣使用教師的學歷或選修的課程代表他們的學科知識水平[4]，而是直接采用數(shù)學考試來評價數(shù)學教師的學科知識.比如，馬倫斯（Mullens）等曾做過一項研究，一共有72名小學教師和1 034名三年級學生參與其中.他們用這些教師當年畢業(yè)考試的數(shù)學成績作為他們學科知識水平的依據(jù).研究發(fā)現(xiàn)數(shù)學教師的學科知識對學生學習高級數(shù)學概念（除法與文字題、長度與體積、分數(shù)加法等）十分重要.馬倫斯等解釋說這種關(guān)系看起來應(yīng)該是合乎邏輯的，因為只有當教師深刻理解之后，他們才有可能深入淺出地講解[5].今天看來，這種評價的局限也是十分顯然的.因為利用考試成績，只能反映教師的計算能力和解決問題的能力.數(shù)學教師的學科知識是否僅僅局限于此？數(shù)學教師的學科知識究竟應(yīng)當包括哪些關(guān)鍵性的要素？這些直至今日都尚未得到統(tǒng)一的認識.不過有一點是毋庸置疑的，教師至少應(yīng)該掌握他們所教課程中的數(shù)學知識.

值得慶幸的是，近二十多年的研究已經(jīng)得到一個共識，即教師擁有的學科知識，應(yīng)當有別于學生或非教師職業(yè)人士的知識.自1986年舒爾曼（Shulman）提出并強調(diào)了學科知識在教學中的核心地位之后，他的觀點引起了美國數(shù)學教育研究者的極大關(guān)注，同時也推進了美國數(shù)學教師學科知識評價方法的多元發(fā)展.

1 數(shù)學課堂觀察

盡管，從表面上看來，課堂或教學錄像的觀察研究的是教師的課堂教學行為，而不是評價教師的知識.但是，通過對數(shù)學課堂或者錄像的細致觀察和深入分析，研究者可以洞察教師對學科知識的理解和認識，可以了解課堂教學實踐與教師學科知識之間的重要關(guān)聯(lián).因此，課堂觀察可以被認為是評價教師學科知識的方法之一.

一個經(jīng)典的案例是雷哈特（Leinhardt）和史密斯（Smith）對專家教師課堂教學的研究[6].具體研究的對象包括4名專家教師和4名實習教師.在經(jīng)歷了3年時間的課堂觀察之后，研究者確定了8名教師的學科知識水平：4名專家教師中的兩個被評定為高水平，其余兩個分別是中等水平和低水平，4名實習教師都處于中等以下的水平.為了進一步探索課堂教學行為和學科知識之間的相互關(guān)系，他們又從以下途徑收集數(shù)據(jù)：（1）對8名教師進行了3個月的課堂觀察，記錄了大量的田野筆記，拍攝了10個小時的課堂錄像；（2）要求教師對40個與分數(shù)有關(guān)的數(shù)學問題進行分類；（3）對教師進行訪談，訪談內(nèi)容涉及分數(shù)的概念、分數(shù)的表征以及分數(shù)的恒等變化；（4）對3名專家教師（兩個高水平，一個中等水平）關(guān)于分數(shù)化簡的一節(jié)課進行了細致的分析.研究發(fā)現(xiàn)：專家教師比實習教師具備結(jié)構(gòu)更精致的學科知識，而且隨著教師對數(shù)學內(nèi)容的深入理解，他們越來越能夠連貫地把知識和課堂教學聯(lián)系起來，更有利于促進學生的發(fā)展.這樣的研究在之前的文獻中是鮮見的.

博爾科（Borko）等也提供了一個評價數(shù)學教師學科知識的范例[7]，即從個人知識和信念，以及大學學習經(jīng)歷兩個角度分析一名數(shù)學實習教師教學失敗的原因.他們首先通過一周的課堂觀察和訪談了解實習教師在課堂教學中的思考和行為.為了進一步掌握實習教師在大學的學習經(jīng)歷，他們特地去觀察了數(shù)學教學法課堂，并采訪了教學法教師以及教師培訓項目的負責人.博爾科等還采用開放式的訪談，深入了解實習教師關(guān)于數(shù)學、教學、數(shù)學教學、數(shù)學學習等諸多方面的知識和信念，訪談中的所有問題都帶有課堂教學情境的色彩，這樣更有利于展現(xiàn)受訪者的知識和信念.比如，當學生在計算分數(shù)除法遇到困難時——“我知道兩個分數(shù)相除，應(yīng)該把其中的一個分數(shù)顛倒，然后相乘.不過我不知道為什么除法一下子會變成了乘法，我也忘記了到底應(yīng)該顛倒哪個分數(shù)”，教師應(yīng)該如何幫助他們.研究發(fā)現(xiàn)，盡管實習教師對數(shù)學教學持有良好的信念，但是由于缺乏數(shù)學學科知識的深刻理解，因此難以實現(xiàn)教學目的.

最近，斯皮爾（Speer）和瓦格納（Wagner）對大學微分方程的課堂進行了研究，試圖探究教師的學科知識與學科教學知識（pedagogical content knowledge）對引導學生課堂討論（小組或班級）的影響.他們認為，為了達到預定的教學目標，教師在引導學生展開討論的過程中，必然會涉及如下的認知活動：第一，認識和理解學生正確或者錯誤的數(shù)學推理；第二，認識和理解學生的觀點是否有利于推動課堂教學目標的完成；第三，認識和理解如何在學生已有觀念的基礎(chǔ)上發(fā)展他們對數(shù)學的理解.為了完成上述認知活動，教師必須依賴于他們自身的學科知識和學科教學知識.斯皮爾和瓦格納對某數(shù)學家進行了個案研究，共收集了30個小時的課堂錄像和18個小時的課后訪談.研究者最后根據(jù)錄像和訪談確定教師未能成功引導學生開展討論的4課錄像，并對此進行5個步驟的精細分析.研究發(fā)現(xiàn)，即使擁有豐富教學經(jīng)驗和數(shù)學知識的教師，由于缺乏數(shù)學教學專門的學科知識（specialized content knowledge）與教學知識，在引導學生開展數(shù)學討論的時候，還是會面臨嚴峻的挑戰(zhàn)[8].

從上面的研究范例可知，這些以個案為載體的課堂觀察，確實揭示了數(shù)學教師學科知識對教學實踐的重要意義.

21世紀初以來，美國許多教育研究機構(gòu)開始著力于標準化課堂觀察的研究，與前面課堂觀察相比，其主要目的是試圖全面掌握教師個體的教學狀況.RTOP[9]（Reformed Teaching Observation Protocol）、ITC-COP[10]（Inside the Classroom Observation and Analytic Protocol）、QMI/MKT[11]（Quality of Mathematics in Instruction/ Mathematics Knowledge for Teaching）是美國當前具有代表性的3個課堂觀察評價方案，從多個角度關(guān)注課堂教學的特點，不僅關(guān)注了課堂的教學特征，同時也強調(diào)了教學中學科知識的重要價值.比如，教師數(shù)學內(nèi)容的講解是否準確，教師傳授的知識是否具有數(shù)學價值，教師是否突出了課堂的數(shù)學特征（數(shù)學表征、數(shù)學解釋、數(shù)學抽象等），教師是否強調(diào)了數(shù)學知識和現(xiàn)實世界或者其它學科的聯(lián)系（見表1）.

表1 標準化課堂評價方案對數(shù)學教師學科知識的觀察點

盡管正如前面提到的那樣，有學者質(zhì)疑這些評價方案評定的不是教師學科知識本身，而是由學科知識形成的結(jié)果.但是，如果不否認教師的學科知識是課堂教學的基本要素之一，那么通過在課堂上觀察教師如何使用學科知識，間接地評價他們的學科知識也是可行的.

事實上，課堂是教師展現(xiàn)學科知識的主要場所.因此，對于教師學科知識的評價而言，課堂觀察無疑具有很高的效度.但是，無法避免的是觀察者對學科知識的理解也會影響他們對教師評價的客觀性.比如，教師課堂講授的知識是否具有重要的數(shù)學價值？對于這個問題的理解，往往是因人而異的，依賴于觀察者對數(shù)學的認識.再如，判斷教師的數(shù)學解釋是否合理準確，也依賴于觀察者的數(shù)學知識，以及對評價方案的理解.也正是考慮到了這一點，ITC-COP項目組在觀察者進入課堂之前，通常會花兩天的時間進行培訓.QMI/MKT研究小組則是花了將近兩年的時間來討論評價方案的適用性.RTOP課題組還提供了網(wǎng)上在線培訓.值得提醒的是，為了評價教師的學科知識水平，往往需要評價者進行多次的課堂觀察，否則很可能得到片面的結(jié)論.然而，實施大樣本的課堂觀察研究，需要大量的人力和物力，對任何研究者來說都是一個沉重的負擔.

2 數(shù)學任務(wù)的訪談（以除法為例）

數(shù)學任務(wù)的訪談，也是評價教師知識常見的方法之一.用于評價教師學科知識的數(shù)學任務(wù)可以是書面的問題，也可以是口頭訪談的一部分.下面，以除法為例，來說明這種研究方法的進展.

美國早期研究者采用的數(shù)學任務(wù)和用于考查學生的數(shù)學問題并無差別.比如，格雷伯（Graeber）、費希拜因（Fischbein）等設(shè)計的數(shù)學任務(wù)，乘法問題有12個，如：高速公路，汽車行駛的速度是2公里/分鐘，假設(shè)車速不變，該車15分鐘行駛多少路程？1公斤的洗滌劑可以生產(chǎn)15公斤的肥皂，0.75公斤的洗滌劑可以生產(chǎn)多少肥皂？除法問題有14個，如：5個朋友一共買了0.75千克的巧克力，平均每人多少？5個瓶子一共裝了1.25升的啤酒，平均每瓶裝多少[12]？格雷伯等一共對129名職前教師做了書面測試，接著訪談了其中的33人.在訪談中，首先研究者要求受訪者回答類似于他們在書面測試中出錯的問題.如果他們的回答還是錯的，那么要求做出解釋.一直到他們能夠正確認識（或被告知）回答錯誤為止.然后，再要求受訪者解釋錯誤的原因[13].這種書面測試和臨床訪談相結(jié)合的方法，可以幫助研究者深入了解教師理解數(shù)學知識的程度.但是，眾所周知，“要給學生一杯水，教師得有一桶水”，教師從事數(shù)學教學所需要的學科知識的知識，遠遠不止學生掌握的數(shù)學知識.

迪羅西（Tirosh）等[14]在此基礎(chǔ)上，對數(shù)學任務(wù)做了補充.在研究中，他們采用了兩種不同的數(shù)學任務(wù)：第一，可用于考查學生的問題.除了前面提到的乘除法文字問題之外，他們還增加了兩道計算題：0.38×5.15，3.75÷0.75；第二，6個命題的判斷、解釋或舉出反例.這6個命題是：（1）在乘法中，積總是大于乘數(shù)；（2）0.45×90的積大于90；（3）在除法中，商一定小于被除數(shù)；（4）在除法中，除數(shù)一定是整數(shù)；（5）60÷0.65的商一定大于60；（6）70÷的商一定小于70.顯然，第二種數(shù)學任務(wù)涉及數(shù)學證明和推理，需要教師深刻理解乘除法的意義.盡管教師通常不要求學生掌握這種知識，但是對于教師而言，這又是十分必需和特殊的數(shù)學知識.

鮑爾（Ball）繼續(xù)深入探討這種特殊的數(shù)學知識.她設(shè)計了如下的情境問題：（1）你能用哪些不同的方法計算1÷？（2）你能為1÷編寫一個具有現(xiàn)實情境的問題嗎？（3）假設(shè)學生問7除以0的商是多少，你該如何回答？（4）假設(shè)學生請你幫他解方程=5，如何教他[15]？諸如此類的問題，是教師在教學中經(jīng)常會遇到的，為了幫助學生理解數(shù)學概念算法，糾正錯誤，教師需要這些不同于學生、數(shù)學家、以及其它行業(yè)人員的數(shù)學知識.

然而，數(shù)學任務(wù)的訪談，如同課堂觀察一樣，評價的過程同樣依賴研究者的個人經(jīng)歷和知識，所謂“仁者見仁，智者見智”，很難形成統(tǒng)一的判斷標準.其次，由于受到開放式訪談，以及數(shù)學任務(wù)數(shù)量的限制，很難控制研究的信度和效度，獲得的結(jié)論難以推廣.再者，盡管現(xiàn)在使用的數(shù)學任務(wù)都具有教學情境的特征，但是這畢竟不是真實的課堂，教師在任務(wù)上的表現(xiàn)是否和課堂教學的表現(xiàn)相一致，還值得進一步探討.

即便這樣，從發(fā)展的角度來看，這種研究方法已經(jīng)揭示了數(shù)學教學究竟需要什么樣的學科知識？數(shù)學教師，不僅應(yīng)當掌握學生應(yīng)該掌握的數(shù)學知識，而且還要深刻理解數(shù)學知識背后的原理，掌握解決問題的思想和方法，并能在不同的情境中靈活應(yīng)用.

3 標準化的測量

近來，美國的研究者一致認為數(shù)學教學需要一種特殊而復雜的知識，他們把它概括為數(shù)學教學知識（mathematics knowledge for teaching，簡稱MKT），并各自發(fā)展了不同的概念框架.與此同時，美國的研究者又產(chǎn)生了一個新的研究渴望，試圖發(fā)展有效的測量工具來評價數(shù)學教師的MKT水平.于是，標準化的測量問卷立刻受到了眾多研究機構(gòu)的青睞.

如今，在美國具有較大影響力的評價工具有SII/LMT[16]（Study of Instructional Improvement/Learning Mathematics for Teaching）、DTAMS[17]（Diagnostic Teacher Assessments in Mathematics and Science）、KAT[18]（Knowing for Algebra Teaching）與Scaling Up SimCalc[19].在這4種評價工具中，除了DTAMS和KAT中含有部分簡短的問答題之外，其余測試題都是標準化的選擇題，并且每個問題的答案只作正確和錯誤之分，因此使用起來十分方便，很容易獲得大樣本的數(shù)據(jù)，計算評價工具的信度和效度.

值得提醒的是，在上述4種評價工具中，有一點是一致的，即學科知識始終是數(shù)學教學知識不可或缺的重要部分.不過，他們對學科知識的認識還是不盡相同的.

3.1 SII/LMT中的學科知識

SII/LMT把MKT分成學科知識和學科教學知識兩大部分（如圖1）.其中學科知識又包含3類：一般的學科知識（common content knowledge）、專門的學科知識（specialized content knowledge）和橫向的數(shù)學知識（knowledge at the mathematical horizon）[20].

首先，一般的學科知識是指數(shù)學教師和學生同樣具有的數(shù)學知識.例如，李老師發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學教科書比原來的教科書更加強調(diào)“0”這個數(shù).于是他設(shè)計了一些和“0”有關(guān)的命題，打算讓學生判斷正誤.你認為下列哪些命題是正確的？（請選擇“正確”、“錯誤”或者“我不確定”作為你的判斷）（1）0是一個偶數(shù)；（2）0不是一個數(shù)，但是可以作為數(shù)字的占位符；（3）8可以寫成008.

圖1 SII/LMT的概念框架

第二，專門的學科知識是指教師教學所需要的數(shù)學知識，應(yīng)當區(qū)別于其它職業(yè)人士（比如會計、工程師）的數(shù)學知識.比如，學生在做兩位數(shù)乘法的時候，一共出現(xiàn)了如下3種方法（如圖2）.請問其中哪些方法可以用來計算任何兩位數(shù)的乘法？

圖2 計算兩位數(shù)的乘法

從上面所舉例子中可以看到，教師在分析學生的錯誤，或在判斷非標準的算法是否可以推廣的時候，需要一種特殊的數(shù)學知識.這樣的知識在許多教學情境中，都是不可或缺的.譬如：（1）講解數(shù)學概念；（2）回答學生提出的“為什么”；（3）運用例子，使得數(shù)學知識具體化；（4）識別具體表征中的要素；（5）把表征和潛在的概念相聯(lián)系，而且在不同表征之間建立關(guān)系；（6）把所教的知識與前后的知識相聯(lián)系；（7）向家長解釋數(shù)學教學的目的和意義；（8）評價和改編教科書中的數(shù)學內(nèi)容；（9）簡化和加深數(shù)學任務(wù)的難度；（10）評價學生論斷的合理性；（11）提供數(shù)學解釋；（12）選擇便于使用的數(shù)學定義；（13）反思數(shù)學符號語言使用的合理性；（14）提出有意義的數(shù)學問題；（15）按照具體的目標選擇表征；（16）檢驗數(shù)學的等價性.上述任何一項任務(wù)都是教師常規(guī)性工作的組成部分，這些工作需要特殊的數(shù)學理解和推理[21].

第三，橫向的數(shù)學知識，類似于克萊因（Klein）所說的“高觀點下的初等數(shù)學”知識.比如，冉司克斯（Zazkis）曾經(jīng)舉過一個例子：老師請三年級的學生數(shù)如圖3中有多少個三角形，有一組學生數(shù)到32個，還有一組卻數(shù)到27個.盡管老師事先沒有數(shù)過，但是她卻可以根據(jù)旋轉(zhuǎn)對稱的知識，判斷這些回答都是錯誤的，因為三角形的個數(shù)一定是5的倍數(shù)[22].

比如，9年級的學生問：“為什么隨著|x|的增大，拋物線y=x2和y=x2+1看起來是無限靠攏的？”這就需要教師具備極限、導數(shù)等高等數(shù)學知識，否則很難做出合理的解釋.不妨在坐標軸的右側(cè)作直線x=x0，交兩拋物線于A、B兩點.并過A、B作拋物線的切線，同時過B點作拋物線y=x2+1的法線，與拋物線y=x2在A點的切線相交于點C（如圖4）.顯然，無論x0如何變化，|AB|=1.事實上，圖像的靠攏實際上是由拋物線法線方向的距離引起的.如在B點可以用|BC|來近似表示.此時，兩條切線的斜率為k=2x0，tan∠ABC=k=2x0，于是有：

圖3 正五邊形中三角形個數(shù)

圖4 平移的拋物線

正如鮑爾等指出的那樣，橫向的數(shù)學知識實質(zhì)上就是數(shù)學教師對高等數(shù)學知識的初步理解和認識，它有利于教師從更廣闊、更特殊的視角理解數(shù)學教學.具體而言，這種知識有利于教師：（1）判斷數(shù)學知識的重要意義；（2）傾聽學生回答的數(shù)學價值；（3）突出數(shù)學知識的重點；（4）在不同的數(shù)學知識之間形成聯(lián)系；（5）評價數(shù)學知識的地位；（6）抓住數(shù)學錯誤的本質(zhì).盡管橫向的數(shù)學知識在概念上有所論述，但是SII/LMT如今還尚未形成一套比較成熟的測試題.最后值得指出的是，鮑爾等人關(guān)于MKT的研究也已經(jīng)引起了其它國家研究者的高度重視[23].

3.2 DTAMS中的學科知識

DTAMS也把MKT分成兩部分，即學科知識和教學教學知識.其中有四分之三的測試題評價的是教師的學科知識，而且DTAMS中所界定的學科知識就是教師所教的數(shù)學知識，也就是前面SII/LMT中一般的學科知識.這些數(shù)學知識在DTAMS的測試題中被分成了3類：

第二，概念性的理解.例如，哪兩個數(shù)在1.35和1.36之間？（A 1.3和1.；B 0.351和0.352；C 1.345和1.354；D 這兩個數(shù)之間沒有其它數(shù)）

第三，高水平的思維.例如，矮先生身長3枚回形針，高先生身高5顆紐扣.如果2顆紐扣和3枚回形針一樣長，請問高先生身高多少枚回形針？請寫出解答過程.

3.3 KAT中的學科知識

在KAT的概念框架中一共有3個維度（如圖5），分別是：代數(shù)內(nèi)容（algebra content）、數(shù)學知識域（domain of mathematical knowledge）和代數(shù)教學知識（algebra knowledge for teaching）.其中學科知識可以分成兩類：

圖5 KAT的框架

第一，中學代數(shù)知識，即教師所教的數(shù)學知識，也就是一般的學科知識.例如，下面哪個情境可以用指數(shù)型函數(shù)來表示？（A小球自由下落t秒后的高度h；B假設(shè)某社區(qū)平均每年增長人數(shù)n，t年后社區(qū)的人口數(shù)p；C某種品牌轎車，平均每年降價d%，t年后轎車價格V）

第二，高于中學數(shù)學課程的高等數(shù)學知識（advanced knowledge），類似于前面所說的橫向的數(shù)學知識.例如，在下列哪個集合中，命題“若ab=0，則a=0或b=0”總成立？（A 實數(shù)集；B 復數(shù)集；C [6]；D [5]；E 2×2實矩陣）

3.4 Scaling Up SimCalc中的學科知識

Scaling Up SimCalc把MKT分成6類，包括：（1）解釋非常規(guī)的數(shù)學表征；（2）選擇能反映課程核心觀念的問題和例子；（3）區(qū)分日常語言和數(shù)學語言的使用；（4）在不同的表征之間形成聯(lián)系；（5）理解模型和表征的意義；（6）評價數(shù)學命題的合理性.盡管Scaling Up SimCalc沒有對數(shù)學教師的學科知識進行明確的劃分，但是測試題還是可以分成以下3類：

第一，要求教師分析學生的特殊解法，這相當于SII/LMT中專門的學科知識.例如，張老師要求學生根據(jù)表格中的x和y的比列關(guān)系（如圖6所示），在空格中填上相應(yīng)的數(shù)據(jù).有一個學生是這樣計算的：x=6，y==24.請問這個方法在什么條件下總是可行的？（A 只有當x和y都是整數(shù)時；B 只有當表中最后兩行的數(shù)據(jù)都是偶數(shù)時；C 只有當表中最后一行的數(shù)據(jù)是它前一行數(shù)據(jù)的兩倍時；D 只要x和y滿足比列關(guān)系；E 只要y是x的一次函數(shù)）

圖6 分析學生特殊解法

第二，要求教師對數(shù)學關(guān)系或圖像做出解釋.這些問題評價的教師學科知識往往介于一般的學科知識和專門的學科知識之間，很難做出區(qū)分.比如，黃老師要求學生解釋為什么圖7中路程與時間的函數(shù)圖像（橫軸表示時間，縱軸表示路程）表示的不是比例關(guān)系.學生的下列解釋哪些是正確的？（A 圖像不可能是曲線；B 路程和時間之間的關(guān)系不可能總是不變的；C 圖像畫得不好；D 曲線上不同點處路程與時間的比值不同；E 曲線上路程與時間的比不總是一個常數(shù)）

圖7 解釋函數(shù)圖像

第三，要求教師解答和和學生一樣的數(shù)學題，也就是一般的學科知識.在此不再贅述.

以上的分析表明，研究者對于數(shù)學教師學科知識的認識，盡管已經(jīng)有了長足的發(fā)展，但尚未形成統(tǒng)一的認識，仍然缺乏明確的理論指導.因此，很難讓人信服它們所評價的范疇就是數(shù)學教師學科知識的所有方面.而且，教育現(xiàn)象是復雜多變的，比如就判斷學生的錯誤而言，學生在課堂上誤解知識可能是由自身的學習經(jīng)驗，以及所學知識的復雜性引起的.因此，簡單對錯的判斷很難如實反映教師的學科知識水平.評價工具中標準化的選擇以及簡短的反饋，在美國已經(jīng)受到了不少教師的抵制.他們認為教師的知識既是內(nèi)隱緘默，又是情境化、實踐性的，許多重要的方面不是僅靠標準化的選擇或簡短的問答所能評價的.他們毫不留情地批評道：采用標準化的評價工具，事實上就是對教師知識的藐視和踐踏.

4 結(jié) 語

美國關(guān)于數(shù)學教師學科知識的評價已經(jīng)經(jīng)歷了比較長的歷史發(fā)展，發(fā)展了多種評價的方法，對數(shù)學教師學科知識的認識也發(fā)生了深刻的變化.不過，各種方法的利弊也是顯然的，尚缺乏強有力的理論指導，因此多種方法的綜合使用可能是目前數(shù)學教師學科知識評價的最佳選擇.

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