個(gè)體集和強(qiáng)個(gè)體集的范疇性質(zhì)

李生剛，楊文華，伏文清

（陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 西安710062）

1961年，美國數(shù)理邏輯學(xué)家Abraham Robinson用模型論方法創(chuàng)立了非標(biāo)準(zhǔn)分析［1］．人們發(fā)現(xiàn)一些用標(biāo)準(zhǔn)方法已經(jīng)證明了的數(shù)學(xué)定理可以用非標(biāo)準(zhǔn)分析方法給出自然、直觀并富有啟發(fā)性的證明；實(shí)例（例如Bernstein－Robinson關(guān)于不變子空間的存在定理）表明用非標(biāo)準(zhǔn)分析方法可以解決長(zhǎng)期未解決的數(shù)學(xué)問題．提出猜想（或更一般的合情推理）在科學(xué)研究中至關(guān)重要，人們已將計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)方法用于合情推理之中［2－3］，實(shí)際上由以上事實(shí)不難預(yù)料非標(biāo)準(zhǔn)分析方法也可以和計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)方法協(xié)同用于合情推理之中解決數(shù)學(xué)問題和物理問題［4－7］．從宏觀看，非標(biāo)準(zhǔn)分析的思想與方法目前已經(jīng)應(yīng)用或滲透到分析、微分方程、拓?fù)洹⒎汉?、概率論、組合數(shù)學(xué)、理論計(jì)算機(jī)科學(xué)、近代物理、數(shù)理經(jīng)濟(jì)、金融等研究領(lǐng)域［8－10］．個(gè)體集（特別是強(qiáng)個(gè)體集）是非標(biāo)準(zhǔn)分析的最基本的概念，以下問題值得關(guān)注：

（1）個(gè)體集和強(qiáng)個(gè)體集是不是足夠多？實(shí)際問題（包括計(jì)算機(jī)研制、軟件開發(fā)、數(shù)據(jù)處理）中用到的數(shù)學(xué)一般被認(rèn)為只涉及有限集合，然而當(dāng)考慮抽象數(shù)據(jù)、變化趨勢(shì)、過程、極限時(shí)涉及無限集合是不可避免的．對(duì)于每一個(gè)基數(shù)α，一定存在集合X使得｜Xα｜＝α（這里｜Xα｜表示Xα的基數(shù)或勢(shì)），所以集合是多的足夠使用的．為了非標(biāo)準(zhǔn)分析方法的可靠使用，我們希望這個(gè)結(jié)論對(duì)個(gè)體集和強(qiáng)個(gè)體集也成立．

（2）個(gè)體集范疇或強(qiáng)個(gè)體集范疇是完備范疇嗎？如果是，那么就可以在其中定義乘積、余積、極限、一般余極限等運(yùn)算．這對(duì)于非標(biāo)準(zhǔn)分析方法的可靠使用和方便使用是有益的．

（3）個(gè)體集范疇或強(qiáng)個(gè)體集范疇是topos嗎？一個(gè)笛卡兒閉的、有有限極限和子對(duì)象分類器的范疇叫topos．Topos在理論計(jì)算機(jī)科學(xué)、范疇邏輯中具有基本重要性并且已經(jīng)被用于建立物理理論［4－7，11］．

（4）個(gè)體集范疇或強(qiáng)個(gè)體集范疇是monoidal范疇嗎？Monoidal范疇是幺半群的范疇論推廣，它在理論計(jì)算機(jī)科學(xué)、范疇邏輯、理論物理中有重要應(yīng)用［4－7，11－12］．

基于上述考慮，同時(shí)也考慮非標(biāo)準(zhǔn)分析的思想與方法在模糊數(shù)學(xué)、粗糙集理論中的可能應(yīng)用，本文研究個(gè)體集和強(qiáng)個(gè)體集的范疇性質(zhì)．我們證明個(gè)體集范疇、強(qiáng)個(gè)體集范疇與集合范疇在諸多方面的相似性，特別地，給出上面4個(gè)問題的肯定回答（見注1、定理1、定理2）．

下面給出一些基本概念和定義．若F是（2X，?）的非空的、下定向的、不含空集?的上集（其中2X是由X的所有子集組成的集合），則稱F是X上的濾子，X上的濾子的全體記作F（X）．（F（X），?）的極大元叫極大濾子或超濾子，（F（X），?）的滿足∩F＝∩F∈FF＝?的元F叫自由濾子．設(shè)X是集合，F(xiàn)是無限集I上的自由極大濾子．在XI（即從I到X的映射的全體）上定義關(guān)系～F如下：a～Fb?｛n∈I｜a（n）＝b（n）｝∈F，那么～F是XI上的等價(jià)關(guān)系．令XF＝XI／～F并且用［a］XF表示a所在的等價(jià)類（a∈XI），稱集合XF為X的超冪，且稱集合V（X（X）為X上的超結(jié)構(gòu)［9］，其中V（0）（X）＝X，V（n＋1）（X）∪｛0｝，N為自然數(shù)集．其他未說明的概念參見文獻(xiàn)［1，8－9，11，13］．

1 個(gè)體集范疇和強(qiáng)個(gè)體集范疇的性質(zhì)

定義1 設(shè)X是一個(gè)集合．若對(duì)每個(gè)x∈X都有x≠?且y∈x不成立（?y∈X），則稱（X，∈）為個(gè)體集或原子集；若（X，∈）為個(gè)體集（X∩V（n）（X）＝?（?n∈N），則稱（X，∈）為強(qiáng)個(gè)體集或強(qiáng)原子集．所有非空個(gè)體集（resp．，所有個(gè)體集，所有非空強(qiáng)個(gè)體集，所有強(qiáng)個(gè)體集）以及它們之間的所有映射構(gòu)成的范疇記作

ⅰ）設(shè)A、B∈Ob（Set），f、h：A→B且f≠h．下面證明f?h且h?f（從而BA這里將Gf＝｛〈a，f（a）〉｜a∈A｝（resp．，Gh＝｛〈a，h（a）〉｜a∈A｝）與f（resp．，h）同一化．

情形1 ｜A｜＝1．不妨設(shè)A＝｛a｝，則f＝｛〈a，f（a）〉｝且h＝ ｛〈a，h（a）〉｝．假 設(shè)f∈h，即｛〈a，f（a）〉｝＝〈a，h（a）〉＝｛｛a｝，｛a，h（a）｝｝．矛盾，因?yàn)椋碼，f（a）〉｝｜＝1≠2＝｜｛｛a｝，｛a，h（a）｝｝｜．因此f?h．同理h?f．

情形2 ｜A｜＝2．不妨設(shè)A＝｛a，b｝（a≠b），則f＝ ｛〈a，f（a）〉，〈b，f（b）〉｝，h＝ ｛〈a，h（a）〉，〈b，h（b）〉｝．假設(shè)f∈h，則｛〈a，f（a）〉，〈b，f（b）〉｝＝〈a，h（a）〉或者｛〈a，f（a）〉，〈b，f（b）〉｝＝〈b，h（b）〉．不妨設(shè)｛〈a，f（a）〉，〈b，f（b）〉｝＝ 〈a，h（a）〉，即｛〈a，f（a）〉，〈b，f（b）〉｝＝｛｛a｝，｛a，h（a）｝｝．由〈a，f（a）〉≠｛a｝知〈a，f（a）〉＝｛a，h（a）｝且〈b，f（b）〉＝｛a｝，而 由 〈b，f（b）〉＝ ｛｛b｝，｛b，f（b）｝｝及A∈）知〈b，f（b）〉＝｛a｝不可能成立．因此f?h．同理h?f．

情形3 ｜A｜＞2．這時(shí)｜f｜＞2且｜h｜＞2．假設(shè)f∈h，則存在a∈A使得f＝〈a，h（a）〉，這與｜f｜＞2和｜〈a，h（a）〉｜＝2矛盾，因此f?h．同理h?f．

定義h：A→A具體為h（x）＝f－1?g（x）（?x∈A）．對(duì)于每個(gè)x∈A，由于f′?1A＝χf?g，χf（g（x））＝χf?g（x）＝f′?1A（x）＝1，故g（x）∈f（A）．又因?yàn)閒為單態(tài)射，f－1?g（x）∈A，所以h：A→A的定義是合理的．對(duì)于任意x∈A，由（4）知f?h（x）＝f（h（x））＝f（f－1?g（x））＝g（x），即f?h＝g．又1A?h（x）＝1A（h（x））＝1＝1A（x）（?x∈A），即1A?h＝1A．所以h使下圖中的兩個(gè)三角形交換．

最后證明h的唯一性．假設(shè)h：A→A也滿足f?h＝g和1A?h＝1A，則f?h＝f?h，由f為單態(tài)射知h＝h．

2 相關(guān)的函子V和HF的性質(zhì)

定理3 對(duì)于每個(gè)X∈Ob（Set），令V（X）是X上的超結(jié)構(gòu)．對(duì)于每個(gè)y∈V（X），定義ny＝min｛n∈N0｜y∈V（n）（X）｝．對(duì)于每個(gè)映射g：X→Y，歸納地定義V（g）：V（X）→V（Y）如下：當(dāng)nx＝0時(shí)V（g）（x）＝g（x）（?x∈V（X）），當(dāng)nx＞0時(shí)V（g）（x）＝｛V（g）（y）｜y∈x｝（?x∈V（X））．由此得到一個(gè)嵌入函子（叫超結(jié)構(gòu)函子）V：Set→Set．

證明 給定集合X，令Xi＝｛x∈V（X）｜nx＝i｝（i∈N0），則易見X0＝X．設(shè)1X：X→X是集合X上的單位映射，用歸納法可以證明對(duì)任意n∈N0，V（1X）｜Xn是單位映射．由V（X）＝可知V（1X）：V（X）→V（X）是單位映射．所以V保單位映射．其次設(shè)f：X→Y和g：Y→Z是Set－態(tài)射，用歸納法可以證明對(duì)于任意n∈N0，V（g?f）｜Xn＝（V（g）?V（f））｜Xn．由V（X）知V（g?f）＝V（g）?V（f）．所以V保映射的復(fù)合運(yùn)算（從而V是函子）．顯然當(dāng)f和g是不同的映射時(shí)V（f）≠V（g），因此V是嵌入函子．

證明 （1）設(shè)g：X→Y是單射，則用歸納法可以證明，對(duì)任意n∈N，V（g）｜（V（0）（X）∪V（n）（X））是單射．由V（X）（X）以及V（n）（X）?V（n＋1）（X）（n≥1）知V（g）：V（X）→V（Y）是單射．反過來，設(shè)g：X→Y不是單射，則V（g）｜V（0）（X）不是單射，從而V（g）：V（X）→V（Y）也不是單射．

（2）設(shè)g：X→Y為滿射，則用歸納法可以證明，對(duì)任意n∈N0，V（g）｜V（n）（X）是 從V（n）（X）到V（n）（Y）的滿 射．由V（Y（Y）知V（g）：V（X）→V（Y）是滿射．反過來，設(shè)g：X→Y不是滿射，則存在y∈Y，使得對(duì)任意x∈X，g（x）≠y，因此對(duì)任意x∈V（0）（X）＝X，V（g）（x）＝g（x）≠y．對(duì)任意x∈V（k）（X）（k≥1），V（g）（x）＝｛V（g）（x1）｜x1∈x｝?Y，所以V（g）：V（X）→V（Y）不是滿射．

注2 （1）f：A→B是單射時(shí)V（f）：V（A）→V（B）未必是單射．定義f：｛1，2｝→｛1，｛1｝｝具體為f（1）＝1和f（2）＝ ｛1｝，則V（f）（2）＝ ｛1｝＝V（f）（｛1｝）．

（2）V（f）：V（A）→V（B）是單射時(shí)f：A→B是單射．事實(shí)上，若f：A→B不是單射，則V（f）｜V（0）（A）不是單射，從而V（f）：V（A）→V（B）不是單射．

（3）f：A→B是滿射時(shí)V（f）：V（A）→V（B）未必是滿射．事實(shí)上，對(duì)于任一滿射f：｛0，2｝→｛1，｛1｝｝，不存在x∈V（｛0，2｝）使得V（f）（x）＝?（它是V（｛1，｛1｝｝）的成員）．

（4）V（f）：V（A）→V（B）是滿射時(shí)f：A→B未必是滿射．事實(shí)上，雖然包含映射f：｛1｝→｛1，｛1｝｝不是滿射，但由V（｛1｝）＝V（｛1，｛1｝｝）知V（f）＝idV（｛1｝）是滿射．

定理5 設(shè)F是任一給定的無限集I上的自由極大濾子．對(duì)于每個(gè)X∈Ob（Set），令HF（X）＝XF；對(duì)于每個(gè)映射g：X→Y，定義HF（g）：XF→YF具體為HF（g）（［a］XF）＝［｛g（a（n））｝n∈I］YF（?a∈XI）（由｛n∈I｜g（a（n））＝g（a1（n））｝?｛n∈I｜a（n）＝a1（n）｝知HF的定義是合理的）．由此得到一個(gè)函子（叫超冪函子）HF：Set→Set．

證明 設(shè)1X：X→X是單位映射，則對(duì)任意∈HF（X）有HF（1X）（［a］XF）＝［｛1X（a（n））｝n∈I］XF＝［｛a（n）｝n∈I］XF，因此HF（1X）＝1HF（X）．這說明HF保單位映射．其次設(shè)f：X→Y和g：Y→Z是兩個(gè)映射，則對(duì)任意［a］XF∈HF（X）有HF（g?f）（［a］XF）＝ ［｛（g?f）（a（n））｝n∈I］ZF＝［｛g（f（a（n）））｝n∈I］ZF＝HF（g）?HF（f）（［a］XF）．這說明HF保持映射的復(fù)合運(yùn)算，因此HF是函子．

定理6 g：X→Y是單射（resp．，滿射）當(dāng)且僅當(dāng)HF（g）：HF（X）→HF（Y）是單射（resp．，滿射）．

證明 （1）設(shè)g：X→Y是單射，［a］XF、［b］XF∈HF（X）且HF（g）（［a］XF）＝HF（g）（［b］XF），則由HF的定義有［｛g（a（n））｝n∈I］YF＝［｛g（b（n））｝n∈I］YF，因此｛n∈I｜g（a（n））＝g（b（n））｝∈F．由g是單射可知｛n∈I｜a（n）＝b（n）｝＝｛n∈I｜g（a（n））＝g（b（n））｝∈F，從而有［a］XF＝［b］XF．反過來，設(shè)HF（g）：HF（X）→HF（Y）是單射，以下證明g：X→Y也是單射．假設(shè)g：X→Y不是單射，那么存在x、z∈X（x≠z）使得g（x）＝g（z）．這 時(shí)HF（g）（［｛x｝n∈I］XF）＝［｛g（x）｝n∈I］YF＝ ［｛g（z）｝n∈I］YF＝HF（g）（［｛z｝n∈I］XF）．再由HF（g）：HF（x）→HF（Y）是單射知［｛x｝n∈I］XF＝［｛z｝n∈I］XF，矛盾（因?yàn)閤≠z）．

（2）設(shè)g：X→Y是滿射，則對(duì)每個(gè)［b］YF＝［｛b（n）｝n∈I］YF∈HF（Y）， 存在a（n）∈X使得g（a（n））＝b（n）（?n∈I）．易見∈HF（X）且HF（g）（［a］XF）＝ ［b］YF．反 過來，設(shè)HF（g）：HF（X）→HF（Y）是滿射，以下證明g：X→Y滿射．設(shè)b∈Y，則由HF（g）：HF（X）→HF（Y）是滿射知存 在 ［a］XF＝ ［｛a（n）｝n∈I］XF∈HF（X）使 得HF（g）（［a］XF）＝［｛g（a（n））｝n∈I］YF＝［｛b｝n∈I］YF，即｛n∈I｜g（a（n））＝b｝∈F．由于??F，因此存在m∈I使g（a（m））＝b．這說明g：X→Y為滿射．

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