保序部分單變換半群的自同態(tài)

高京南，楊秀良

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院,浙江 杭州 310036)

保序部分單變換半群的自同態(tài)

高京南，楊秀良

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院,浙江 杭州 310036)

設(shè)n為正整數(shù)，令I(lǐng)On表示Xn= {1,2，…,n}上所有保序部分單變換在復(fù)合運(yùn)算下而成的半群，刻畫(huà)了IOn上的所有自同態(tài).

保序部分單變換;自同態(tài);同余

1 引言和預(yù)備知識(shí)

令Xn={1,2,…,n}, 其中n≥1. 設(shè)ISn是由Xn上所有部分單變換組成的集合, 則ISn關(guān)于變換的復(fù)合運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)半群, 稱這個(gè)半群為Xn上的對(duì)稱逆半群.本文的映射是右映射. 設(shè)α是ISn中的一個(gè)元素, 若對(duì)所有的i,j∈dom(α), 如果ilt;j, 就有(i)αlt;(j)α, 則稱α為保序部分單變換.ISn中的所有保序部分單變換構(gòu)成一個(gè)半群, 稱為保序部分單變換半群, 記為IOn.IOn中的所有冪等元構(gòu)成的集合記為E(IOn). 顯然IOn中冪等元與冪等元的復(fù)合仍是冪等元. 保序部分單變換半群是半群理論中很重要的一個(gè)部分, 它的許多性質(zhì)已經(jīng)被前人研究[1-4].

S為半群,φ:S→S為映射. 若對(duì)任意的x,y∈S, 都有 (x)φ(y)φ=(xy)φ, 則稱φ為半群S的自同態(tài).S的所有自同態(tài)構(gòu)成的半群記為End(S). 雙射自同態(tài)稱為自同構(gòu).特別的, O. Ganyushkin等于2003年在[4]中已經(jīng)證出IOn的自同構(gòu)只有兩個(gè), 即恒等映射和*:a→a*,其中

i1lt;i2lt;…lt;ik且j1lt;j2lt;…lt;jk. 本文將這一結(jié)果推廣到自同態(tài).

首先介紹一些符號(hào). 記α的定義域?yàn)閐om(α),α的像集記為im(α). im(α) 中元素的個(gè)數(shù)稱為α的秩, 記為r(α).LA表示IOn中定義域?yàn)锳的冪等元, 其中A?Xn. 記空變換為0, 恒等變換為1n, 即

2 主要結(jié)果

定理1 令φ:IOn→IOn為任一映射,φ是IOn的自同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)φ是下面之一:

(1)φ為自同構(gòu), 則φ為恒等映射或*:a→a*,其中

(2)存在冪等元e,f∈E(IOn), 其中e≠f且ef=fe=f, 有(1n)φ=e, (IOn{1n})φ=f;

(3)(α)φ=e, 對(duì)任意的α∈IOn均成立, 其中e∈E(IOn).并記這樣的φ為φe;

3 定理1的證明

為證明此定理, 首先引入下面兩個(gè)引理.

引理1 任取e1≠e2∈Gt, 則e1e2=e2e1∈It-1.

同理可得e2e1=LA. 從而e1e2=e2e1∈It-1.

任取α≠β∈(Gk+1)φ, 則存在γ≠δ∈Gk+1,使得α=(γ)φ,β=(δ)φ. 由引理1可知,γδ=δγ∈Ik, 故αβ=(γ)φ(δ)φ=(γδ)φ=η,βα=(δ)φ(γ)φ=(δγ)φ=η. 從而αβ=βα=η.

容易驗(yàn)證定理1給出的映射均是IOn的自同態(tài), 故只需證明IOn的所有自同態(tài)均可表示成定理1給出的其中某種形式.

令φ為IOn的自同態(tài). 若φ為自同構(gòu), 由[4]知φ滿足形式(1).假設(shè)φ不是IOn的自同構(gòu), 則Kerφ={(a,b)∈IOn×IOn: (a)φ=(b)φ} 為IOn上的一個(gè)同余, 由[2]知,Kerφ為Rees同余,且IOn的所有理想均為Ik={α∈IOn:r(α)≤k}, 0≤k≤n.故存在0≤k≤n, 使

Kerφ=ρIk=(Ik×Ik)∪{(a,a):a∈IOnIk}.

當(dāng)k=0時(shí),Kerφ的每個(gè)同余類(lèi)皆為單元素集, 此時(shí)φ為恒等映射, 滿足形式(1);當(dāng)k=n時(shí), Kerφ只有一個(gè)同余類(lèi), 為In, 此時(shí)φ滿足形式(3) ; 當(dāng)k=n-1時(shí), Kerφ共有兩個(gè)同余類(lèi), 分別為In-1,1n, 此時(shí)滿足形式(2).故只需討論1≤k≤n-2時(shí)的情況.

當(dāng)1≤k≤n-2時(shí), 由 Kerφ=ρIk=(Ik×Ik)∪{(a,a):a∈IOnIk} 知Ik為Kerφ的一個(gè)同余類(lèi). 故可設(shè)(Ik)φ=τ, 其中τ∈IOn為冪等元. 不失一般性, 令r(τ)=i, 其中0≤i≤n.

任取α∈(Gk+1)φ, 則存在β∈Gk+1, 使α=(β)φ. 任取γ∈Ik, 有τ=(γ)φ, 且βγ,γβ∈Ik,故可得ατ=(β)φ(γ)φ=(βγ)φ=τ,τα=(γ)φ(β)φ=(γβ)φ=τ, 因此ατ=τα=τ.

因同態(tài)保持D類(lèi), 故Dk+1在φ下的像應(yīng)包含在IOn的某個(gè)D類(lèi)中,不妨設(shè)為Dx, 其中0≤x≤n. 對(duì)任意的α∈(Gk+1)φ,由τα=τ可知,im(τ)?im(α), 故x≥i. 假設(shè)x=i, 則有im(τ)=im(α). 由引理2可知,α是冪等元, 故α=τ.從而(Gk+1)φ=τ, 也即Gk+1與Ik包含于Kerφ的同一個(gè)同余類(lèi)中,這是不可能的. 故假設(shè)不成立, 有xgt;i, 即(Dk+1)φ?Dx,其中ilt;x≤n.

下面又分3種子情形:

情況2.1 設(shè)(In-2)φ=e0, 顯然e0為冪等元, 假設(shè)0≠e0=LA.令δ1,δ2, …,δn∈Gn-1, 其中dom(δi)=Xn{i} . 則δiδj∈In-2,i≠j. 設(shè)(δi)φ=LAi,i=1, 2, …,n.

情況2.3 任取e∈Dn-1, 且e為冪等元. 不妨設(shè)e=L{ie}′, 其中 {ie}=Xdom(e). 因(Dn-1)φ?D1, 故可設(shè)(e)φ=aje.現(xiàn)定義π:Xn→Xn如下:(?i∈Xn)(ie)π=je.則π是Xn上的雙射, 且對(duì)任意的i∈Xn, 都有(L{i}′)φ=a(i)π.

故k=n-2時(shí), 具有形式(4).

綜上所述, 定理得證.

[1]Cowan D F, Reilly N R. Partial cross-sections of symmetric inverse semigroups[J]. Int J Algebra Comput,1995,5(3):259-287.

[2]Fernandes V H. The monoid of all injective order preserving partial transformations on a finite chain[J]. Semigroup Forum,2001,62(2):178-204.

[3]Garba G U. Nilpotents in semigroups of partial one-to-one order-preserving mappings[J]. Semigroup Forum,1994,48(1):37-49.

[4]Ganyushkin O, Mazorchuk V. On the structure ofIOn[J]. Semigroup Forum,2003,66(3):455-483.

EndomorphismoftheOrder-preservingPartialSingularTransformationSemigroups

GAO Jingnan, YANG Xiuliang

(College of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

Letnbe a positive integer. LetIOndenote the semigroup generated by the compound operation of order-preserving partial injective transformation onXn={1,2，…,n}. This paper described all endomorphisms onIOn.

order-preserving partial injective transformation; endomorphism; congruence

2012-12-14

楊秀良(1963—)，男，教授，主要從事半群代數(shù)研究.E-mail：yxl@hznu.edu.cn

10.3969/j.issn.1674-232X.2013.03.006

O152.7MSC2010: 43A22

A

1674-232X(2013)03-0220-03