一類奇異攝動(dòng)對(duì)流擴(kuò)散方程組的自適應(yīng)移動(dòng)網(wǎng)格方法

陳艷萍， 劉利斌

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東廣州 510631)

一類奇異攝動(dòng)對(duì)流擴(kuò)散方程組的自適應(yīng)移動(dòng)網(wǎng)格方法

陳艷萍*， 劉利斌

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東廣州 510631)

針對(duì)一類奇異攝動(dòng)對(duì)流擴(kuò)散方程組問題，利用有限差分方法，提出了求解這類問題的自適應(yīng)移動(dòng)網(wǎng)格方法，并給出了移動(dòng)網(wǎng)格的迭代算法和一階后驗(yàn)誤差估計(jì)．?dāng)?shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所得的理論估計(jì)．

對(duì)流擴(kuò)散方程組； 移動(dòng)網(wǎng)格； 奇異攝動(dòng)

奇異攝動(dòng)問題起源于工程和應(yīng)用數(shù)學(xué)的多個(gè)分支，包括流體力學(xué)、量子力學(xué)、彈性力學(xué)、化學(xué)反應(yīng)器和最優(yōu)控制等.這類問題的特點(diǎn)是在討論的微分方程中含有擾動(dòng)參數(shù)，該參數(shù)可以反映一定的物理性質(zhì)，也可以人為地改進(jìn).這類問題的解在求解區(qū)域的局部范圍內(nèi)變化非常劇烈.對(duì)于這類問題的數(shù)值方法，在均勻網(wǎng)格上很難得到理想的數(shù)值解.這就要求尋找一種非均勻網(wǎng)格，在解發(fā)生劇烈變化的局部范圍內(nèi)加密剖分，以適應(yīng)問題的奇異擾動(dòng)特性.目前主要有2種非均勻網(wǎng)格方法：層適應(yīng)網(wǎng)格和自適應(yīng)移動(dòng)網(wǎng)格方法. 近年來，這2類方法被廣泛用于數(shù)值求解單個(gè)奇異攝動(dòng)問題[1-6]. 對(duì)于含有多個(gè)參數(shù)的奇異攝動(dòng)方程組，層適應(yīng)網(wǎng)格方法的研究成果相對(duì)比較多[7-9]，而自適應(yīng)網(wǎng)格方法的研究成果很少.

本文將考慮如下奇異攝動(dòng)對(duì)流擴(kuò)散方程組

(1)

1 連續(xù)解的穩(wěn)定性分析

將問題(1)寫成如下矩陣形式

(2)

其中

假設(shè)β1≥a11(x)，β2≥a22(x)，且在后面的誤差估計(jì)中，定義最大值范數(shù)和非負(fù)范數(shù):

定理1 如果f(x)=-F′(x)，則問題(1)存在一個(gè)唯一的弱解u(x)=(u1(x),u2(x))T,且有如下的估計(jì)

其中C為某個(gè)確定的常數(shù)．

定理1的證明類似文獻(xiàn)[6]的定理3.1.

ui(0)=wi(0)，ui(1)=wi(1)，Tu(x)-Tw(x)=f(x)，

2 離散差分格式與網(wǎng)格等分布

考慮任意網(wǎng)格ΩN={x0,x1,…,xN}，其中0=x0

于是，對(duì)于問題(1)，可構(gòu)造如下的有限差分格式

(3)

對(duì)于單個(gè)奇異攝動(dòng)對(duì)流擴(kuò)散問題，大部分學(xué)者采用基于等分布原理的移動(dòng)網(wǎng)格方法，即選擇控制函數(shù)M(x),使得

(4)

目前，在實(shí)際計(jì)算過程當(dāng)中，通常選擇弧長控制函數(shù)

其中uN(x)為解的分段連續(xù)的線性插值函數(shù)．

類似地，對(duì)于奇異攝動(dòng)對(duì)流擴(kuò)散方程組，本文在構(gòu)造自適應(yīng)移動(dòng)網(wǎng)格方法時(shí)，選擇如下控制函數(shù)

(5)

其中j=1,2,…,N-1．

3 移動(dòng)網(wǎng)格方法

為了數(shù)值求解問題(1)和等分布問題(5),我們構(gòu)造了如下的迭代算法:

第1步：設(shè)定初始網(wǎng)格{0,1/N,…,1}為均勻網(wǎng)格．

第3步：網(wǎng)格測試.設(shè)C0>1為事先設(shè)定的常數(shù)．如果

則執(zhí)行第5步，否則執(zhí)行第4步．

4 后驗(yàn)誤差估計(jì)

UN(xi-1)=Ui-1，UN(xi)=Ui，(UN(x))″=DD-Ui，

(UN(x))′=DD-Ui(x-xi-1/2)+D-Ui，

其中xi-1/2=(xi+xi-1)/2，則

(6)

于是可得:

推論2 令u(x)為問題(1)的精確解，Ui為差分格式(3)的解， 則

定理2 令u(x)為問題(1)的精確解，Ui為差分格式(3)的解，則

定理2的證明類似文獻(xiàn)[6]的定理4.1.

5 數(shù)值試驗(yàn)

考慮如下常系數(shù)奇異攝動(dòng)對(duì)流擴(kuò)散方程組

(7)

為了計(jì)算最大誤差和收斂階，首先使用雙重網(wǎng)

格原理來估計(jì)其誤差，具體定義如下

其中UN和U2N分別表示用N和2N個(gè)網(wǎng)格區(qū)間計(jì)算得到的數(shù)值結(jié)果．然后利用下式來計(jì)算收斂階:

表1～表4列出了取不同的ε1、ε2和N時(shí)，利用移動(dòng)網(wǎng)格方法計(jì)算得到的離散最大模誤差，同時(shí)也給出了相對(duì)應(yīng)的收斂率以及網(wǎng)格迭代次數(shù)．從表1～表4的數(shù)據(jù)可以看出，在最大模誤差估計(jì)下，這些收斂率隨著N的增大而逐步接近1．表明用移動(dòng)網(wǎng)格方法計(jì)算得到的數(shù)值解是一致一階收斂的，且與參數(shù)ε1，ε2和N無關(guān)．總的來說，我們的數(shù)值結(jié)果符合前面的理論分析．

另外，在利用本文給出的自適應(yīng)移動(dòng)網(wǎng)格方法數(shù)值求解奇異攝動(dòng)對(duì)流擴(kuò)散方程組時(shí)，不必事先給出各個(gè)攝動(dòng)參數(shù)的大小，而利用層適應(yīng)網(wǎng)格方法求解這類問題時(shí)，必須首先給出攝動(dòng)參數(shù)的大小，具體可見文獻(xiàn)[10]．

圖1給出了利用移動(dòng)網(wǎng)格算法求解問題(5)時(shí)網(wǎng)格的迭代過程，從底部往上觀察，可得到每次迭代后網(wǎng)格點(diǎn)的移動(dòng)過程．另外，隨著迭代次數(shù)的增加，C0的值逐漸趨近于1．在本文的計(jì)算過程中，取C0=2．最后，由圖1可得出結(jié)論：在實(shí)際計(jì)算過程中，C0的值越小，移動(dòng)網(wǎng)格算法的迭代次數(shù)就越多．

表1 最大誤差估計(jì)和收斂階(ε2=1)Table 1 Maximum error estimate and convergence order (ε2=1)

表2 最大誤差估計(jì)和收斂階(ε2=10-3)Table 2 Maximum error estimate and convergence order (ε2=10-3)

表3 最大誤差估計(jì)和收斂階(ε2=10-5)Table 3 Maximum error estimate and convergence order (ε2=10-5)

表4 最大誤差估計(jì)和收斂階(ε2=10-7)Table 4 Maximum error estimate and convergence order (ε2=10-7)

圖1 網(wǎng)格的移動(dòng)過程(N=128,ε1=10-8,ε2=10-6)

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Keywords： a system of convection diffusion; moving grid; singularly perturbed

AnAdaptiveMovingGridMethodfortheSingularlyPerturbedConvection-DiffusionProblem

CHEN Yanping*, LIU Libin

(School of Mathematical Sciences, South China Normal University, Guangzhou 510631, China)

A singularly of two singularly perturbed convection-diffusion problem is considered. Based on finite difference scheme, an adaptive moving grid approach to solve this problem is presented, and an iteration algorithm to generated meshes and a first-order a posteriori error estimate are given. Numerical results are presented that support our theoretical estimates.

2013-07-08

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11271145,11301044)；國家教育部高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金課題(20114407110009)；廣東省高等學(xué)校高層次人才項(xiàng)目；廣東省高等院校學(xué)科建設(shè)專項(xiàng)資金(第一批)科技創(chuàng)新項(xiàng)目(2012KJCX0036)；華南師范大學(xué)研究生創(chuàng)新基金(2012kyjj118)

*通訊作者:陳艷萍，教授，珠江學(xué)者，Email：yanpingchen@scnu.edu.cn.

1000-5463(2013)06-0001-05

J653

A

10.6054/j.jscnun.2013.09.001

【中文責(zé)編：莊曉瓊 英文責(zé)編：肖菁】