一個(gè)不定方程及其他的整數(shù)解

周 梅

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

一個(gè)不定方程及其他的整數(shù)解

周 梅

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

不定方程；初等方法；整數(shù)解

不定方程的研究歷來(lái)受到人們的重視，大部分的不定方程看似簡(jiǎn)單，求解起來(lái)卻是相當(dāng)?shù)睦щy.方程的未知數(shù)增多，從而難度增大，解的個(gè)數(shù)也增加.劉燕妮、郭曉燕[1]研究了不定方程xy+yz+zx=0的可解性，得到了它的全部整數(shù)解；霍夢(mèng)圓[2]研究了不定方程xy+yz+zw+wx=0的可解性，得到了它的若干整數(shù)解.此處將xy+yz+zw+wr+rx=0的研究結(jié)果整理了出來(lái).

1 引 理

2 關(guān)于不定方程xy+yz+zw+wr+rx=0的整數(shù)解

不定方程

xy+yz+zw+wr+rx=0

(1)

的解的情況比較復(fù)雜，將分以下情況進(jìn)行討論.

2.1 關(guān)于不定方程xyzwr=0的情況

(1)x，y，z，w，r中有一個(gè)為0.令x=0，y>0，z≠0，w≠0，r≠0，方程(1)變?yōu)閥z+zw+wr=-1，yz>0，因此zw，wr中至少有一個(gè)為負(fù).此時(shí)分3種情況進(jìn)行討論：①zw>0，wr<0；②zw<0，wr>0；③zw<0，wr<0.

① 當(dāng)zw>0，wr<0時(shí)，w<0，r為奇數(shù)，00，yz為整數(shù)，zw+wr=-1-yz也為整數(shù).若r<0，則-10，則wr>0為整數(shù)，zw=-1-yz-wr也為整數(shù)，即zw=1，z=1，y=-2-wr.令w=k1(k1<-1且為奇數(shù))，r=k2(k2>0且為奇數(shù))，方程(1)的解為(0，-2-k1k2，1，k1，k2)，(k2，0，-2-k1k2，1，k1)，(k1，k2，0，-2-k1k2，1)，(1，k1，k2，0，-2-k1k2)，(-2-k1k2，1，k1，k2，0).如果w為偶數(shù)，若z>0，r>0，則yz，wr為整數(shù)，zw=-1-yz-wr也為整數(shù)，即zw=1，z=1，y=-2-wr.令w=k3(k3<0且為偶數(shù))，r=k4(k4>0且為奇數(shù))，方程(1)的解為(0，-2-k3k4，1，k3，k4)，(k4，0，-2-k3k4，1，k3)，(k3，k4，0，-2-k3k4，1)， (1，k3k4，0，-2-k3k4)，(-2-k3k4，1，k3，k4，0)，當(dāng)k3=-2時(shí)，k4為大于1的奇數(shù).若z>0，r<0，則-1

③ 當(dāng)zw<0，wr<0時(shí)，w<0，z<0，w，r為奇數(shù)，-1≤zw<0.若r<0，zw+wr=-1-yz，則zw，wr有一個(gè)為-1·zw=-1時(shí)，z=r=-1，y=-w，令w=k6(k6<0且為奇數(shù))，方程(1)的解為(0，-k6，-1，k6，-1)，(-1，0，-k6，-1，k6)，(k6，-1，0，-k6，-1)，(-1，k6，-1，0，-k6)，(-k6，-1，k6，-1，0).wr=-1時(shí)，y=1，z=w=-1，r=k7(k7<0且為奇數(shù))，方程(1)的解為(0，1，-1，-1，k7)，(k7，0，1，-1，-1)，(-1，k7，0，1，-1)，(-1，-1，k7，0，1)，(1，-1，-1，k7，0).若r>0，wr為整數(shù)，zw+yz=-1-wr必為整數(shù)，于是zw+yz=0，wr=-1，則y=1，z=w=-1，r=k8(k8>0且為奇數(shù))，方程(1)的解為(0，1，-1，-1，k8)，(k8，0，1，-1，-1)，(-1，k8，0，1，-1)，(-1，-1，k8，0，1)，(1，-1，-1，k8，0).

(2)x，y，z，w，r中有兩個(gè)為0，令x=0，z=0，y>0，w>0，r≠0，方程(1)為wr+2=0.即wr=-2與wr>0矛盾. 由于00沒(méi)意義，所以x，y，z，w，r中不可能含有3個(gè)或3個(gè)以上的0.

2.2 關(guān)于不定方程xyzwr≠0的情況

因?yàn)椴欢ǚ匠蘹y+yz+zw+wr+rx=0，所以其中至少有一個(gè)為負(fù).

④ 當(dāng)zw+wr=0時(shí)，z=-w，w=r，則yrr-x+x-yr-x=-x-yyr.如果x，y為奇數(shù)，等式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，矛盾；如果x，y為偶數(shù)，需進(jìn)一步討論. 如果x，y為一奇一偶，等式兩端的奇偶性不同，矛盾.

⑤ 當(dāng)zw+wr=1時(shí)，z=-2，w=3，r=2，從而xy+y-2+2x=-1.如果y偶數(shù)，-1=xy+y-2+2x>0，矛盾；如果y為奇數(shù)，-1=xy+y-2+2x>-1，矛盾.

⑦ 當(dāng)zw+wr=3時(shí)，由于w為奇數(shù)，則z為偶數(shù)，無(wú)解.

若r為奇數(shù)，易知wr=-1，-2，-3，-4這4種情況.

① 當(dāng)wr=-4時(shí)，w=-4，r=1，xy+yz+z-4=3，于是xy=yz=z-4=1，則x=y=1，z=-1，與假設(shè)矛盾.

[1] 劉燕妮，郭曉艷.一個(gè)丟番圖方程及其他的整數(shù)解[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，53(5)：853-855

[2] 霍夢(mèng)圓.一個(gè)不定方程及其他整數(shù)解[J].四川理工學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，24(2)：165-167

[3] 趙才，李正學(xué).關(guān)于不定方程xy=yx的整數(shù)解 [J].大慶高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2004，24(2)：3- 4

A Diophantine Equation and Its Integer Solutions

ZHOUMei

(School of Mathematics，Chongqing Normal University，Chongqing 401331，China)

Diophantine equation；elementary method；integer solution

1672-058X(2013)09-0010-04

2013-03-25；

2013-05-06.

周梅(1988-),女,重慶銅梁人,碩士研究生,從事數(shù)論方向研究.

O156.4

A

責(zé)任編輯：李翠薇