銅套利比值追蹤——滬倫頭寸配比的數(shù)學(xué)推導(dǎo)

文 / 張 傲

綜述

不同的頭寸配比下，比價(jià)或者價(jià)格波動(dòng)將會(huì)給持倉損益帶來不同的影響。在交易層面上，滬倫正向跨市對(duì)沖操作存在多種雙邊數(shù)量配比方法，實(shí)際操作者得到的經(jīng)驗(yàn)包括：倘若按照1:1數(shù)量配比，則相當(dāng)于多配置了SHFE市場(chǎng)空頭；倘若按照0.85:1的數(shù)量配比，則相當(dāng)于考慮進(jìn)了增值稅因素。

本文通過數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)，以及數(shù)據(jù)演算的方式得到如下3個(gè)主要論斷：

（1）跨市對(duì)沖頭寸建立后影響總損益的變量除了比價(jià)，還可能包括比價(jià)變動(dòng)或者不變時(shí)的價(jià)格波動(dòng)，這取決于滬倫兩地頭寸的數(shù)量配比；

（2）當(dāng)按照1:1配比時(shí)，價(jià)格下跌是正向跨市對(duì)沖最有利的價(jià)格環(huán)境；而按照（匯率/開倉比價(jià)）進(jìn)行配比時(shí)，比價(jià)下跌伴隨價(jià)格上漲才是最有利的價(jià)格環(huán)境；

（3）在實(shí)際操作中，0.85:1的數(shù)量配比是對(duì)（匯率/開倉比價(jià)）配比的近似估計(jì)。

此外，上述結(jié)論都建立在持倉期間人民幣匯率不變的基礎(chǔ)之上，但這可能與未來匯率市場(chǎng)化的格局不相吻合。

頭寸配比有學(xué)問

跨市對(duì)沖交易可以將獲利方式和風(fēng)險(xiǎn)來源由垂直價(jià)格波動(dòng)轉(zhuǎn)化為兩地相對(duì)價(jià)格波動(dòng)，換句話說，我們可能想達(dá)到的，是兩地相對(duì)價(jià)格固定時(shí)的價(jià)格波動(dòng)將不應(yīng)該給跨市對(duì)沖交易帶來任何損益。

一手SHFE銅的交易單位是5噸，一手LME銅的交易單位是25噸，如果按照1:1數(shù)量配比做一套SHORT SHFE- LONG LME，則需要5手SHFE空頭，1手LME多頭。實(shí)際操作者得到的經(jīng)驗(yàn)告訴我們：倘若按照1:1數(shù)量配比，則相當(dāng)于多配置了SHFE市場(chǎng)空頭；倘若按照0.85:1的數(shù)量配比，則相當(dāng)于考慮進(jìn)了增值稅因素。

本文將通過數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)，以及數(shù)據(jù)演算的方式來將滬倫市場(chǎng)不同數(shù)量配比下的正向跨市對(duì)沖交易頭寸在多種情形下的損益進(jìn)行分類、全文做出的假設(shè)，以及使用的符號(hào)含義如右所示：

內(nèi)外盤賬戶的總損益為：Y=△LME×E×QLME-△SHFE×QSHFE③

（△LME與△SHFE自身不帶符號(hào)）

No1: 1:1數(shù)量配比并且保持比價(jià)不變

由于B=B'，則根據(jù)等比定理可得：

1:1數(shù)量配比意味著QSHFE=QLME，因此內(nèi)外盤賬戶總損益③可以簡化為：

將④帶入⑤可得：

或 =Q×△SHFE×

LME

結(jié)論

（1）由于實(shí)貨進(jìn)口報(bào)關(guān)需要繳納17%的增值稅，故滬倫比價(jià)B大于匯率E是正常情況，即(E-B)<0 ；

（2）正向跨市對(duì)沖頭寸按照1:1建倉后盡管保持比價(jià)不變，但價(jià)格上漲(△LME>或△SHFE>0)時(shí)仍將導(dǎo)致頭寸虧損、價(jià)格下跌(△LME<或△SHFE<0)時(shí)將導(dǎo)致頭寸盈利。

計(jì)算實(shí)例1：1:1建倉后盡管保值比價(jià)不變，但價(jià)格上漲仍將導(dǎo)致頭寸虧損、價(jià)格下跌將導(dǎo)致頭寸盈利

建倉價(jià)格SHFE=50978元/噸；

建倉價(jià)格LME=7000美元/噸；

匯率E=6.2；

計(jì)算結(jié)果顯示：若按1:1比例建倉：當(dāng)SHFE價(jià)格上漲1000元/噸抑或LME價(jià)格上漲137.31美元/噸后，整體頭寸虧損148.65元 /噸；當(dāng)SHFE價(jià)格下跌1000元/噸抑或LME價(jià)格下跌137.31美元/噸后，整體頭寸盈利148.65元 /噸。

No2: 1:1數(shù)量配比并且比價(jià)下跌

B>B'，并將①②代入③可得：

或

結(jié)論

（1）⑦的正負(fù)取決于△LME(E-B')+SHFE(1-

（3）(E-B')<0；

（4）當(dāng)價(jià)格下跌時(shí)(△LME<0或△SHFE<0)，⑦大于 0恒成立；當(dāng)價(jià)格上漲時(shí)(△LME>0或△SHFE>0)，⑦既有可能大于0也有可能小于0；

（5）可歸納為：當(dāng)比價(jià)與價(jià)格同時(shí)下跌時(shí)，正向跨市對(duì)沖頭寸必然盈利；而當(dāng)比價(jià)下跌、價(jià)格上漲時(shí)，正向跨市頭寸是否盈利將取決于價(jià)格上漲幅度。

計(jì)算實(shí)例2：1:1建倉并且比價(jià)下跌，如果價(jià)格同時(shí)下跌則必然盈利，但價(jià)格上漲則最終未必盈利。

建倉價(jià)格SHFE=50978元 /噸；

建倉價(jià)格LME=7000美元/噸；

匯率E=6.2；

變化比值B'=7.254。

計(jì)算結(jié)果顯示：若按1:1比例建倉：當(dāng)SHFE價(jià)格下跌100元/噸以及2000元/噸時(shí)（對(duì)應(yīng)LME價(jià)格上漲13.79美元 /噸、下跌248.14美元 /噸），總頭寸盈虧分別上漲185.47元/噸以及上漲461.54元 /噸；但是當(dāng)SHFE價(jià)格上漲1000元/噸以及2000元/噸時(shí)（對(duì)應(yīng)LME價(jià)格上漲165.43美元/噸、303.28美元/噸），總頭寸盈虧分別為上漲25.64元 /噸和下跌119.66元 /噸，并未體現(xiàn)出都為盈利的情形。

No3: 1:1數(shù)量配比并且比價(jià)上漲

B

或=Q[△SHFE(

LME-1)+SHFE(1-

)]

結(jié)論

（1）⑧的正負(fù)取決于△LME(E-B')+SHFE(1-

)；

)<0恒成立；

（3）(E-B')<0；

（4）當(dāng)價(jià)格上漲時(shí)(△LME>0或△SHFE>0)，⑧小于 0恒成立；當(dāng)價(jià)格下跌時(shí)(△LME<0或△SHFE<0)，⑦既有可能大于0也有可能小于0；

（5）可歸納為：當(dāng)比價(jià)與價(jià)格同時(shí)上漲時(shí)，正向跨市對(duì)沖頭寸必然虧損；而當(dāng)比價(jià)上漲、價(jià)格下跌時(shí)，正向跨市頭寸是否盈利將取決于價(jià)格下跌幅度。

計(jì)算實(shí)例3：1:1建倉并且比價(jià)上漲，如果價(jià)格同時(shí)上漲則必然虧損，但價(jià)格下跌則最終未必虧損。

建倉價(jià)格SHFE=50668元/噸；

建倉價(jià)格LME=7000美元/噸；

匯率E=6.2；

變化比值B'=7.254。

計(jì)算結(jié)果顯示：若按1:1比例建倉：SHFE價(jià)格下跌100元/噸，以及2000元/噸時(shí)（對(duì)應(yīng)LME價(jià)格下跌28.95美元 /噸、下跌153.02美元 /噸），總頭寸盈虧分別虧損79.49元/噸，以及盈利51.28元/噸，并未體現(xiàn)出都為虧損的情形；但是當(dāng)SHFE價(jià)格上漲1000元/噸，以及2000元/噸時(shí)（對(duì)應(yīng)LME價(jià)格上漲122.69美元/噸、260.55美元 /噸），總頭寸盈虧都為虧損，數(shù)值分別為：下跌239.32元 /噸和下跌384.62元 /噸。

No4: 如何做到比價(jià)不變時(shí)，頭寸損益不受價(jià)格波動(dòng)影響

在比價(jià)不變時(shí)，頭寸損益始終不受價(jià)格波動(dòng)影響，這意味著在B=B'條件下，

③：Y=△LME×E×QLME-△SHFE×QSHFE需要恒成立。

結(jié)論

計(jì)算實(shí)例4：當(dāng)SHFE與LME頭寸比例為E/B時(shí)，價(jià)格波動(dòng)不會(huì)對(duì)跨市對(duì)沖頭寸損益帶來影響。

建倉價(jià)格SHFE=50978元/噸；

建倉價(jià)格LME=7000美元/噸；

匯率E=6.2；

計(jì)算結(jié)果顯示：若按E/B:1比例建倉并且保持比價(jià)不變：SHFE價(jià)格下跌1000元/噸時(shí)（對(duì)應(yīng)LME價(jià)格下跌137.31美元/噸），總頭寸不發(fā)生任何損益；當(dāng)SHFE價(jià)格上漲1000元 /噸時(shí)（對(duì)應(yīng)LME價(jià)格上漲137.31美元/噸），總頭寸同樣不發(fā)生任何損益。

No5: 按E/B的比例開倉并且比價(jià)波動(dòng)時(shí)

或 =Q×SHFE×

SHFE2

結(jié)論

（1）當(dāng)B>B'，即比價(jià)下跌時(shí)跨市對(duì)沖頭寸盈利，并且價(jià)格上漲越多，盈利越多。

（2）當(dāng)B>B'，即比價(jià)上漲時(shí)跨市對(duì)沖頭寸虧損，并且價(jià)格上漲越多，虧損越多。

計(jì)算實(shí)例5：當(dāng)SHFE與LME頭寸比例為E/B時(shí)，后續(xù)比價(jià)下跌時(shí)頭寸盈利，并且價(jià)格上漲越多盈利越多。

建倉價(jià)格SHFE=50978元/噸；

建倉價(jià)格LME=7000美元/噸；

匯率E=6.2；

變化后比值B'=7.254；

計(jì)算結(jié)果顯示：若按E/B：1比例建倉：當(dāng)SHFE價(jià)格下跌100元/噸，以及下跌1000元/噸時(shí)（對(duì)應(yīng)LME價(jià)格上漲13.79美元 /噸、下跌110.28美元 /噸），總頭寸盈虧分別為盈利170.6元/噸以及盈利167.59元 /噸；當(dāng)SHFE價(jià)格上漲1000元 /噸，以及1000元 /噸時(shí)（對(duì)應(yīng)LME價(jià)格上漲41.36美元 /噸、165.43美元/噸），總頭寸盈虧分別為盈利171.28元/噸和174.29元/噸?？梢姡瑑r(jià)格上漲時(shí)的盈利要高于價(jià)格下跌時(shí)的盈利，并且價(jià)格上漲越多，盈利越多。

數(shù)據(jù)測(cè)算表6：當(dāng)SHFE與LME頭寸比例為E/B時(shí)，后續(xù)比價(jià)上漲時(shí)頭寸虧損，并且價(jià)格上漲越多，虧損越多。

建倉價(jià)格SHFE=50668元/噸；

建倉價(jià)格LME=7000美元/噸；

匯率E=6.2；

;

變化后比值B'=7.254；

計(jì)算結(jié)果顯示：若按E/B：1比例建倉：當(dāng)SHFE價(jià)格下跌100元 /噸以及1000元 /噸時(shí)（對(duì)應(yīng)LME價(jià)格下跌28.95美元 /噸、下跌153.02美元 /噸），總頭寸盈虧分別為虧損93.83元 /噸以及虧損92.16元 /噸；當(dāng)SHFE價(jià)格上漲100元/噸以及1000元 /噸時(shí)（對(duì)應(yīng)LME價(jià)格下跌1.38美元 /噸、上漲122.69美元/噸），總頭寸盈虧分別為虧損94.2元/噸和虧損95.87元 /噸?？梢?，價(jià)格上漲時(shí)的虧損要高于價(jià)格下跌時(shí)的虧損，并且價(jià)格上漲越多,虧損越多。

總結(jié)

在上述5個(gè)實(shí)例中，我們通過數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)，以及數(shù)據(jù)演算得到了如下3個(gè)主要論斷：

（1）跨市對(duì)沖頭寸建立后影響總損益的變量除了比價(jià)，還可能包括比價(jià)變動(dòng)或者不變時(shí)的價(jià)格波動(dòng)，這取決于滬倫兩地頭寸的數(shù)量配比；

（2）當(dāng)按照1:1配比時(shí)，價(jià)格下跌是正向跨市對(duì)沖最有利的價(jià)格環(huán)境；而按照（匯率/開倉比價(jià)）進(jìn)行配比時(shí)，比價(jià)下跌伴隨價(jià)格上漲才是最有利的價(jià)格環(huán)境；

（3）實(shí)際操作中0.85:1的數(shù)量配比是對(duì)（匯率/開倉比價(jià)）配比的近似估計(jì)。

此外，上述結(jié)論都建立在持倉期間人民幣匯率不變的基礎(chǔ)之上，但這可能與未來匯率市場(chǎng)化的格局不相吻合。