利用“1”巧解題

劉軍

我們知道，數(shù)字“1”是一個非常重要的數(shù)字。在小學里，學生最先學習的數(shù)字就 有1。在中學階段，涉及有關“1”的式子就比較多了，如a，b 互為倒數(shù)，則有ab=1；sin2 + con2 =1， 等等。如果我們在解題時巧妙地利用“1”，就會起到化難為易，化復雜為簡單的作用，順利地達到我們解決問題的目的。

下面略舉幾例，看看數(shù)字“1”在解題中的妙用。

一、各項巧加“1”

計算999999+99999+9999+999+99+9。

顯然，如果我們直接進行加法的計算，其正確結(jié)果也是不難算出的，但是，那樣顯得不簡單。如果我們在各項都加“1”，利用加法結(jié)合律，就湊成整10，整100，等，就非常好計算了。因為是恒等變換，各項都要減去“1”。

解：原式=999999+1+99999+1+9999+1+999+1+99+1+9+1-6

=（999999+1）+（99999+1）+（9999+1）+（999+1）+（99+1）+（9+1）-6

=1000000+100000+10000+1000+100+10-6

=1111100+（+10-6）

=1111104。

上面計算還不只一次運用了加法結(jié)合律，這樣計算起來，不僅簡單一些，而且還可以避免出錯。

二、各組式子巧加“1”

例2 已知x+y+z=0，x，y，z均不為零，求證： 。

證明：因為x+y+z=0 ，x，y，z均不為零，所以

以上證法的關鍵，是把每個括號中的式子看成一組，每組式子都加上“1”，還利用了 ，法在解題中經(jīng)常用到。

三、添項巧配“1”

例3 設a，b，c是正數(shù)，且abc=1，求證：a3+b3+c3 a+b+c.

我們看到，如果使用常規(guī)的方法，已知和要求證的結(jié)果看不到多少聯(lián)系。如果添項巧配“1”。則有如下的證法。

證明：因為a>0，所以a3+1+1 ，

同理 b3+1+1 3b，

c3+1+1 3c.

而 a+b+c 3 ，

所以 a3+b3+c3 3（a+b+c）-6

a+b+c+2（a+b+c-3）

a+b+c.

四、適當拆分“1”

例4 已知n N+（正整數(shù)集合），x>0，求證： 。

因欲證式與正整數(shù)n有關，可以考慮用數(shù)學歸納法，但是從n=k推證到n=k+1并不容易。我們換一個角度去看，若將n拆成n個“1”的和，其證法顯得相當簡單。

證明：因為 x>0，n N+ ，所以

五、恰當替換“1”

例5 求證 .

我們看到，如果直接從右邊證明到左邊，將出現(xiàn)一個比較復雜的式子，證明將比較困難.可是，因為 ，若將分子上面的“1”用 替換，則此題的證明將顯得非常簡單。

證明：因為 ，所以 ，

六、結(jié)果巧加“1”

例6 一個數(shù)，被3除余2，被4除余3，被7除余6，問這個數(shù)最小是幾？

我們可以分析，因為3，4，7這三個數(shù)互質(zhì)，它們的最小公倍數(shù)是84。根據(jù)題的條件，若將所求結(jié)果之數(shù)加上1，這個新的數(shù)就能被3，4，7這三個數(shù)整除，這就不難算出正

確答案。

解：設這個數(shù)這x，由題意，得

x+1=3×4×7，

解之，得x=83。

事實上，所得的數(shù)為83+84k（k 為自然數(shù)）都能滿足條件的要求，但最小的就是k=0時的數(shù)83了。

我們知道，在新課程改革中，培養(yǎng)學生的實踐能力和探索精神非常重要，但也離不開學生對事物的思考。培養(yǎng)學生的思維能力非常重要。在數(shù)學學習中，讓學生掌握一些數(shù)學思想和一些特殊的方法是必要的，如特殊與一般的數(shù)學思想，化歸思想等，這就要求學生在平時的訓練中，一個題可以從不同的角度去思考，一方面可以綜合地運用知識，另一方面也培養(yǎng)了學生的多動腦、多思考的良好習慣，提高了學生思維的靈活性。