對(duì)“運(yùn)算律”單元教學(xué)的思考與建構(gòu)

石榮生

摘 要：四年級(jí)學(xué)生在一、二年級(jí)，對(duì)加法和乘法的意義以及幾個(gè)運(yùn)算律已經(jīng)積累了一定經(jīng)驗(yàn)，僅需要教師提供回顧、梳理、歸納和概括的平臺(tái)。讓學(xué)生借助加法和乘法的意義，從本源上來(lái)說(shuō)清道理，從“運(yùn)算律”生長(zhǎng)的“根”上來(lái)理性的分析。

關(guān)鍵詞：運(yùn)算律 交換律 結(jié)合律

蘇教版版教材在四年級(jí)下冊(cè)把“運(yùn)算律”單設(shè)單元，來(lái)完成加法和乘法的5個(gè)定律，單設(shè)單元集中教學(xué)幾個(gè)“運(yùn)算律”，其目的是便于學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)，集中體現(xiàn)用字母表示幾個(gè)運(yùn)算規(guī)律的概括性和簡(jiǎn)潔性。但，筆者以為，此時(shí)，沒(méi)有必要再花時(shí)間和創(chuàng)設(shè)情境來(lái)讓學(xué)生經(jīng)歷幾個(gè)運(yùn)算律的發(fā)現(xiàn)、猜想和驗(yàn)證的過(guò)程。因?yàn)椋瑢W(xué)生在一、二年級(jí)，對(duì)加法和乘法的意義以及幾個(gè)運(yùn)算律已經(jīng)積累了一定經(jīng)驗(yàn)，只不過(guò)，這時(shí)的經(jīng)驗(yàn)是感性的、模糊的、零碎的，僅需要教師提供回顧、梳理、歸納和概括的平臺(tái)。讓學(xué)生借助加法和乘法的意義，從本源上來(lái)說(shuō)清道理，從“運(yùn)算律”生長(zhǎng)的“根”上來(lái)理性的分析。

一、基于學(xué)生對(duì)“運(yùn)算律”已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的分析

筆者以為，在學(xué)習(xí)交換律之前，學(xué)生對(duì)加法和乘法的交換律的認(rèn)知并不是一張空白紙，如，在一年級(jí)加法單元教學(xué)，不同版本教材都創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的生活情境，讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中來(lái)建構(gòu)加法意義和各部分名稱。

以蘇教版教材為例：

教材創(chuàng)設(shè)了小朋友澆花的情境，學(xué)生在回答“澆花的一共有多少個(gè)小朋友？”的問(wèn)題時(shí)，由于還沒(méi)有正式學(xué)過(guò)用一個(gè)加法算式來(lái)表示，因而，大部分同學(xué)是用“數(shù)數(shù)”累加的方法的。如先數(shù)正在澆花的有3個(gè)小朋友，再數(shù)又來(lái)的2個(gè)小朋友，也就是從3往后累加數(shù)2個(gè)，既澆花的一共有5個(gè)小朋友。當(dāng)然，也有部分同學(xué)是從2往3來(lái)累加數(shù)的。然后，教師會(huì)引導(dǎo)學(xué)生想：“怎樣把剛才數(shù)的過(guò)程，用一個(gè)算式來(lái)表示呢？”教師在適時(shí)介紹3+2=5或2+3=5這兩個(gè)加法算式。從這里可以看出，從一年級(jí)“加法認(rèn)識(shí)”單元教學(xué)開(kāi)始，學(xué)生就已經(jīng)接觸了加法的交換律。先數(shù)左邊3個(gè)同學(xué)再接著數(shù)右邊2個(gè)同學(xué)與先數(shù)右邊2個(gè)同學(xué)再接著數(shù)左邊3個(gè)同學(xué)，其結(jié)果是不變的，這就是加法交換律的“雛形”，是“具體”的、“情景化”的。隨著經(jīng)驗(yàn)的積累，這種“雛形”將日益完善，這個(gè)“規(guī)律”將被學(xué)生逐步內(nèi)化成：把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)用加法來(lái)計(jì)算，合并是不考慮先后的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。

同樣，學(xué)生對(duì)乘法交換律的“雛形”，早在二年級(jí)就已經(jīng)有了初步地感知。如二年級(jí)上冊(cè)第一單元“乘法認(rèn)識(shí)”。教學(xué)時(shí)教材創(chuàng)設(shè)了這樣的情景：

依托情境圖讓學(xué)生分別列出求各有多少只小動(dòng)物？然后讓學(xué)生觀察這些算式的特點(diǎn)都是求幾個(gè)相同加數(shù)和的運(yùn)算（這就是乘法的意義）。這種特出的加法算式還可以用一道乘法算式來(lái)表示，由此，引出乘法算式。如2+2+2可以寫成2×3或3×2。老教材突出2+2+2表示3個(gè)2相加，寫成乘法算式是2×3，3+3表示2個(gè)3相加，寫成乘法算式是3×2；其實(shí)，若避開(kāi)具體的情景來(lái)看2+2+2這個(gè)算式，若把這三個(gè)相同的加數(shù)寫成兩個(gè)相同加數(shù)的形式就是3+3，同樣，3+3若寫成三個(gè)相同加數(shù)的形式就是2+2+2。從一點(diǎn)來(lái)說(shuō)，兩個(gè)乘法算式的計(jì)算結(jié)果雖然是一樣的，所體現(xiàn)的過(guò)程（實(shí)際上也是意義）是不一樣的。新教材不再讓學(xué)生來(lái)區(qū)分2×3和3×2過(guò)程上的不同，是基于教師易教，學(xué)生易理解的角度上考慮的。因而，在后面的解決問(wèn)題以及“乘法口訣”教學(xué)時(shí)，只要是涉及用乘法列式的，學(xué)生就不會(huì)考慮兩個(gè)乘數(shù)的前后位置關(guān)系了。

加法和乘法的結(jié)合律，是交換律的拓展，可以把它看作一種“特殊”交換律來(lái)教學(xué)。因?yàn)橛辛藘蓚€(gè)加數(shù)交換位置和不變的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生便可類推出三個(gè)加數(shù)甚至更多個(gè)加數(shù)相加，任意交換它們的位置和也會(huì)不變的。之所以可以這樣說(shuō)，其一，是學(xué)生已有的加法和乘法意義的支撐。如口算2+3+4=？表示三個(gè)數(shù)合并在一起，既然是合并（累加）就不分先后。同樣，在口算3×2×4=？時(shí)，學(xué)生能體會(huì)到先算3×2得6，6×4與4×6結(jié)果又是一樣的，因此，3、2、4這三個(gè)乘數(shù)可以先任意兩個(gè)數(shù)相乘。這就是加法結(jié)合律構(gòu)建的“萌芽”時(shí)期，這是學(xué)生在“做”中積累的經(jīng)驗(yàn)。教學(xué)結(jié)合律時(shí)，需要讓學(xué)生進(jìn)一步明白的是：三個(gè)數(shù)在一起計(jì)算，是有一定順序的，不像兩個(gè)數(shù)相加（乘），只存在位置上的變化，不存在順序上的改變。為了體現(xiàn)這種運(yùn)算順序的改變，在計(jì)算時(shí)，我們一般要用“（）”來(lái)表示，這樣，便于讓學(xué)生感知加結(jié)合律就是交換律的拓展和延伸，體會(huì)結(jié)合律產(chǎn)生的必要性和價(jià)值，更突出了兩個(gè)運(yùn)算律的聯(lián)系和區(qū)別。

同樣，乘法的分配律，學(xué)生在二年級(jí)計(jì)算一位數(shù)乘法時(shí)，也初步體會(huì)到這種規(guī)律的存在，如，對(duì)于12×4=？學(xué)生都知道它表示12+12+12+12相加的結(jié)果，在用加法計(jì)算時(shí)，需要4個(gè)2相加和4個(gè)10相加，再把兩次相加的結(jié)果和在一起。因此，用4乘12時(shí)，自然需要把12分成10和2的和與4相乘，也就是（10+2）×4=10×4+2×4。這個(gè)等式從右往左看，是和中的每一個(gè)加數(shù)都要與4相乘一次，這是基于對(duì)12×4豎式計(jì)算運(yùn)算合理性的一種表示，若從左往右看，是10個(gè)4又加2個(gè)4，結(jié)果是12個(gè)4，左右恒等道理一清二白。從乘法計(jì)算的內(nèi)部結(jié)構(gòu)來(lái)建構(gòu)乘法的分配律，這是尋“根”的過(guò)程

二、意義框架下幾個(gè)運(yùn)算律教學(xué)的路勁

1.加法的交換律和結(jié)合律

第一層次：可出示教材情境圖

在學(xué)生得出28+17=17+28之后，教師可喚起學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，不讓學(xué)生舉例，引導(dǎo)學(xué)生回顧加法意義，讓學(xué)生運(yùn)用已有的生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)來(lái)解釋交換兩個(gè)加數(shù)和不變的原因，并概括出這一運(yùn)算律。

第二層次：在學(xué)生得出28+17+23=？之后，引導(dǎo)學(xué)生想一想：兩個(gè)數(shù)相加可以交換兩個(gè)加數(shù)位置和不變，三個(gè)數(shù)相加也可以這樣交換嗎？為什么？進(jìn)而得出三個(gè)數(shù)相加與兩個(gè)數(shù)相加不同點(diǎn)是三個(gè)數(shù)相加有先后順序，交換位置，意味著運(yùn)算順序改變了，為了體現(xiàn)順序的改變，需要要“（）”來(lái)表示，并相機(jī)用字母概括出這一運(yùn)算律。

2.乘法的交換律和結(jié)合律

第一層次：?jiǎn)拘褜W(xué)生已有的乘法意義的認(rèn)知。如3+3和2+2+2可以寫成什么樣的乘法形式？既然乘法是特殊加法算式的一種簡(jiǎn)便運(yùn)算，由加法兩個(gè)運(yùn)算律，能類推出乘法是否也有這樣的運(yùn)算律呢？讓學(xué)生運(yùn)用乘法的意義和已有的生活經(jīng)驗(yàn)加以解釋和說(shuō)明。在此環(huán)節(jié)，也可配合使用“以形解數(shù)”的方法。如，讓學(xué)生數(shù)數(shù)這堆石子有多少顆？

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最后得出不管豎著數(shù)還是橫著數(shù)，結(jié)果都是6。所以2×3=3×2。

第二層次：引導(dǎo)學(xué)生想一想：兩個(gè)數(shù)相乘可以交換兩個(gè)乘數(shù)的位置積不變，三個(gè)數(shù)相乘加也可以這樣交換嗎？為什么？同樣得出三個(gè)數(shù)相乘，有運(yùn)算的先后順序，任意交換兩個(gè)乘數(shù)的位置，其運(yùn)算順序改變了，需要用“（）”來(lái)表示的道理，并相機(jī)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷用字母概括的過(guò)程

3.乘法的分配律

第一層次：師生交流，乘法的交換律和結(jié)合律，在乘法計(jì)算時(shí)，有普遍的運(yùn)用，教師適時(shí)出示12×4的豎式計(jì)算題。引導(dǎo)學(xué)生回憶每一步計(jì)算的過(guò)程，以及為什么可以這樣計(jì)算？教師可適時(shí)出示下圖來(lái)“以形解數(shù)”。 如，下圖長(zhǎng)方形面積可以怎樣計(jì)算？

第二層次：引導(dǎo)學(xué)生想一想，由乘法豎式計(jì)算還可以概括出一種什么樣的運(yùn)算律？并用字母概括這一規(guī)律。

三、基于意義框架下，運(yùn)算律單元教學(xué)整體思路的調(diào)整

教學(xué)思路由原來(lái)借助具體情景下解決實(shí)際問(wèn)題，依托列出的算式，基于在發(fā)現(xiàn)、列舉、驗(yàn)證和歸納中得出運(yùn)算律的感性認(rèn)知，走向喚醒學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，依托算式內(nèi)部的意義，進(jìn)行理性分析的過(guò)程。然后再把這一運(yùn)算律進(jìn)行抽象概括并在解決實(shí)際問(wèn)題中加以運(yùn)用。教學(xué)思路是：感悟、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的存在——經(jīng)歷規(guī)律的尋根過(guò)程——規(guī)律的運(yùn)用過(guò)程。“運(yùn)算律”的存在，是蘊(yùn)含在算式的意義和計(jì)算的算理之中，是“固有”的，而不是依靠在解決同一問(wèn)題時(shí)，出現(xiàn)了幾種不同的算式，然后再進(jìn)行驗(yàn)證、歸納、總結(jié)的過(guò)程，這勢(shì)必也有點(diǎn)“本末顛倒”之感。

把運(yùn)算律單元教學(xué)變成一節(jié)知識(shí)的回顧、梳理、提升的總結(jié)課。這樣簡(jiǎn)化了教學(xué)過(guò)程，幾個(gè)規(guī)律的概括由原來(lái)三、四節(jié)課的課時(shí)變成了一節(jié)課的課時(shí)量，留取更多的時(shí)間，讓學(xué)生經(jīng)歷體會(huì)幾個(gè)運(yùn)算律之間的聯(lián)系和區(qū)別上，體會(huì)運(yùn)用運(yùn)算律來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)和價(jià)值上，這樣的探索經(jīng)歷的過(guò)程更具有數(shù)學(xué)味。