基于GARCH模型的VaR方法在上證市場中的應用

林 博

(北京大學經濟學院，北京 100871)

VaR(Value at Risk)是一種評估金融市場風險的方法，能夠準確、快速和全面地量化市場風險。自從世界金融危機爆發(fā)到現(xiàn)在，國內外的金融市場對金融風險的控制有著越來越高的要求。VaR在國外已經進行了廣泛深入的研究以及大量的實證分析，已經被投資者、商業(yè)銀行、投資銀行及市場監(jiān)管機構廣泛使用。目前主流的分析方法是基于ARCH模型族的VaR計算。這主要是由于在描述金融市場資產收益的波動性方面，ARCH族模型有著十分出色的表現(xiàn)，能夠更好地模擬出收益率的波動性特征，由此計算出來的VaR值能更真實地反映出金融風險。常用的VaR方法有移動平均法、GARCH 模型和隱含波動率法。本文將采用GARCH模型來計算上證指數(shù)收益率的VaR 值。

一、模型概述

（一）GARCH概述

股票指數(shù)是一種金融時間序列，其分布一般不是正態(tài)分布的。Engle在1982年提出了自回歸條件異方差(ARCH)模型來研究股市波動的聚集性和持續(xù)性，它的持續(xù)方差和處理厚尾的能力，可以較好描述股票價格的波動特征。在擬合時為了達到更好效果，一般要求更大的誤差項的滯后階數(shù)，但是這會降低參數(shù)估計的效率，而且還會增加待估參數(shù)的個數(shù)。Bollerslev 在1986年提出了廣義自回歸條件異方差模型(GARCH)。GARCH模型相對于ARCH模型來說，在提高了準確性的同時減少了待估參數(shù)的數(shù)量。以后經過不斷發(fā)展，形成了GARCH 模型族，用以研究股票指數(shù)、期貨指數(shù)的波動性，且可對它們的運行規(guī)律進行預測。

（二）VaR概述

VaR(Value at Risk，在險價值)比較規(guī)范的定義是，在正常的市場條件給定了置信水平和持有期間，某一投資組合可能發(fā)生的最大的損失。公式可以表示為Prob(ΔP ≥VaR)=1!α，其中Prob是一個概率，表示資產價值的損失小于損失上限的可能性，ΔP表示資產組合在持有期Δt內的價值損失數(shù)量，VaR即在一定的置信水平下的在險價值，α代表給定的置信水平。

通常VaR的計算方法有三類：

1.歷史模擬法(Historieal Simulation Method)。歷史模擬法是一種非參數(shù)的方法，它利用歷史數(shù)據，在目前的投資或組合里使用過去的收益率分布，以此對以后的投資組合可能面臨的收益分布進行分析和預測。只要給定了置信水平和持有期，便可在不需要假設市場因子的統(tǒng)計分布來計算VAR。

2.蒙特卡洛模擬法(Monte Carlo Simulation，簡稱MC法)。蒙特卡洛模擬是一種隨機模擬方法，它是以概率和統(tǒng)計理論為基礎的，其將問題同某一個概率模型進行聯(lián)系，并通過統(tǒng)計抽樣以獲得近似解。當抽樣模擬的次數(shù)不斷增加時，再通過對每次的參數(shù)估計值求平均以得到穩(wěn)定的結果。

3.方差——協(xié)方差法。該方法是基于收益服從正態(tài)分布的假設。在此基礎之上用歷史數(shù)據來計量均值、標準差以及相關系數(shù)等主要參數(shù)。方差--協(xié)方差方法中最常用的是J.P.Morgan提出的RiskMetrics風險度量模型，它的重要假設是正態(tài)分布假設和線性假設。但由于實際收益率分布的厚尾現(xiàn)象的存在，會低估金融風險的VaR值。

（三）GARCH - VaR模型方法

本文將利用GARCH模型中的條件方差來估算上證指數(shù)的VaR。對不同的風險管理者，持有期和置信度的選擇則需要因地制宜。VaR 計算公式為將GARCH模型得出的條件標準差序列帶入上式中，計算得出VaR值。

二、實例分析

本文選取上證指數(shù)2004.01.02到2013.7.19一共2315個交易日的收盤價作為分析樣本，數(shù)據來源于大智慧軟件。利用Eviews軟件生成收益率的對數(shù)序列，公式如下：

price為t日的收盤價，price(-1)為t-1日的收盤價，經過計算得到對數(shù)收益序列r。對數(shù)收益率圖如圖1：

圖1

可初步看出樣本序列存在較大的波動，并存在明顯的波動集群性，與一般的ARCH模型族的特征吻合。在建立GARCH模型之前，仍需對樣本序列的特征進行進一步的研究，以確認是否滿足建立GARCH模型的條件。

（一）正態(tài)性檢驗

利用Eviews軟件得到對數(shù)收益率的直方圖以及有關統(tǒng)計數(shù)據，如圖2。

圖2

可以看到，樣本期內收益率均值為0.0118%，標準差為1.7165%，偏度為-0.272023，左偏峰度為6.263223，高于正態(tài)分布的峰度值3，說明收益率r具有尖峰和后尾特征。JB正態(tài)檢驗統(tǒng)計量為1055.243，收益率r顯著異于正態(tài)分布。

（二）平穩(wěn)性檢驗

由于非平穩(wěn)序列不利于進一步的統(tǒng)計分析，因此應對該序列進行平穩(wěn)性，本文采用ADF單位根檢驗，由Eviews得出檢驗結果如下：

表1 含截距項

表2 含時間趨勢和截距項

表3 不含截距項和時間趨勢項

由上表可以看出，對數(shù)收益率序列的ADF值均小于臨界值，落在顯著性水平的臨界值外，數(shù)據序列拒絕隨機游走的假設，說明是平穩(wěn)的時間序列數(shù)據。國外學者Pagan(1996)和Bollerslev(1994)指出，金融資產的價格一般是非平穩(wěn)的，經常有一個單位根，而收益率序列通常是平穩(wěn)的。因此可以采用改對數(shù)收益率序列進行建模。

（三）自相關檢驗

通過對數(shù)收益率的自相關檢驗，可以觀察到股票的收益率與其滯后4階存在自相關。收益率rt的均值方程：rt=c+α*rt-4+εt。

表4 對收益率做自回歸

得到均值方程為：

用Ljung-Box Q統(tǒng)計量對均值方程擬合后的殘差及殘差平方做自相關檢驗，結果表明殘差不存在顯著的自相關，而殘差平方有顯著的自相關。對殘差平方做線形圖，如圖3：

圖3

可以看到，殘差平方的波動具有明顯的時間可變性和集簇性，因此將使用GARCH類模型來進行建模。

表5 對殘差進行ARCH-LM Test

結果表明ARCH效應是很顯著的，因此接下來將對上證指數(shù)的對數(shù)收益率序列建立GARCH模型。

（四）GARCH類模型建模

利用Eviews軟件，對樣本數(shù)據進行GARCH建模，可得下表6：

表6

可以看到，條件方差中ARCH和GARCH項都屬于高度顯著的，因此收益率序列具有明顯的波動集簇性。其中ARCH和GARCH項系數(shù)之和為0.99，小于1。GARCH(1，1)過程是平穩(wěn)的。經過ARCH-LM檢驗，主模型不存在ARCH效應(p值為0.7115， 大于顯著性水平)。

GARCH(1，1)估計結果如下：

（五）基于GARCH模型的VaR計算

采用樣本內預測，將建立的模型對2009.06.08到2013.07.19共1000個交易日進行預測。將預測的條件標準差代入VaR公式得到分別在95%和99%的置信水平下上證指數(shù)t日的VaR。再將每日收盤價減去VaR，得出t+1日的風險值，并統(tǒng)計測試樣本中低于風險值的失敗天數(shù)。結果見下表7:

表7

通過上面的分析，可以發(fā)現(xiàn)利用GARCH模型計算VaR的方法能較好的擬合上證指數(shù)的在險值，我們可以考慮將其作為控制風險的管理手段之一，并參照其建立對應的風險預警體系。

三、結論及展望

本文對上證指數(shù)的對數(shù)收益率進行了GARCH建模并計算VaR值，結果表明能夠較好的反映了市場風險。本文所用的模型是假設收益率分布為正態(tài)分布的情形下，從正態(tài)分析中可知，數(shù)據分布存在尖峰厚尾現(xiàn)象，與正態(tài)分布存在一定的差距，可嘗試在不同的分布下進行計算，例如t分布或GED分布。另外，還可進一步將GARCH模型與其他模型進行比較，如TGARCH、EGARCH模型等，以便更好的擬合數(shù)據，從而預測并控制風險。

還有，VaR 是當前金融機構度量金融風險的標準方法，但是VaR 不滿足次可加性，沒有考慮尾部風險，缺乏對極端事件的控制。2000年Rockafeller和Uryasev在對VaR修正的基礎上正式提出了條件在險價值(CVaR)的概念，它有效彌補了VaR不滿足次可加性、沒有考慮尾部風險等缺陷。CVaR表示的是損失超過VaR的條件均值，代表了投資失敗損益的平均水平，有效反應了當損失超過VaR時平均的潛在損失的大小。因此，還可對CVaR進行進一步的探討。

[1]鄒平.金融計量學[M].上海:上海財經大學出版社，2010.

[2]田益祥.金融市場計量經濟分析[M].北京:中國市場出版社，2011.

[3]楊翔，劉志偉.基于GARCH-VaR模型的股指期貨風險度量實證研究[J].中國證券期貨，2011(05).

[4]朱新玲，黎鵬.基于GARCH-CVaR與GARCH-VaR的人民幣匯率風險測度及效果對比研究[J].中南民族大學學報，2011(06).