數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)數(shù)學(xué)不等式證明中的應(yīng)用

王琳

【摘 要】本文給出運用數(shù)學(xué)歸納法解題時經(jīng)常出現(xiàn)的錯誤及其運用數(shù)學(xué)歸納法解題時的注意事項。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)歸納法；表現(xiàn)形式；解題技巧；常見錯誤

數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)中最基本也是最重要的方法之一，中學(xué)數(shù)學(xué)中的一些概念、公式、定理及很多命題，通過數(shù)學(xué)歸納法導(dǎo)出和證明更符合學(xué)生的認知特點，也符合人們從特殊到一般的認知規(guī)律。但是，數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用于證明不等式，應(yīng)該怎樣去用，在運用過程中應(yīng)注意哪些問題，這一直困擾著我們中學(xué)生。

事實上，數(shù)學(xué)歸納法只能證明與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，且該命題中所討論的對象必須屬于Cantor集（通常意義上的集合），而Cantor集具備三條基本特征—確定性、互異性、無序性。在適用范圍內(nèi)，數(shù)學(xué)歸納法的實質(zhì)就是將一個無窮驗證或很難窮盡驗證的命題轉(zhuǎn)化為證明兩個普通命題：

①當(dāng)時，命題成立。

②假設(shè)當(dāng)時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立。

從而達到證明的目的。

數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟看似呆板，但卻有多種表現(xiàn)形式，我們對此做一個簡要的闡述。

1、第一數(shù)學(xué)歸納法

表現(xiàn)形式：①驗證n取第一個值n0時命題成立。

②由假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立，證明對于n=k+1時命題也成立。

則命題對任意的n≥n0命題成立。

2、第二數(shù)學(xué)歸納法

表現(xiàn)形式為：①驗證n取第一個值n0時命題成立。

②由假設(shè)n≤k時結(jié)論成立，證明對于n=k+1時命題也成立。

則命題對任意的n≥n0命題成立。

3、第三數(shù)學(xué)歸納法

表現(xiàn)形式如下：設(shè)P（m、n）是與兩個獨立的自然數(shù)m和n有關(guān)的命題，若

①P（1、1）成立；

②對任意的自然數(shù)k、l，假設(shè)P（k、l）成立，可以推出P（k+1、l）和P（k、l+1）都成立；

則對任意自然數(shù)m、n，P（m、n）均成立。

給出了以上三種在數(shù)學(xué)證明中常用的數(shù)學(xué)歸納法的解題思路及步驟，現(xiàn)在我們來討論一下運用數(shù)學(xué)歸納法在不等式證明中的解題技巧。

（1）適當(dāng)放縮

要由“假設(shè)不等式”成立推到“目標(biāo)不等式”成立，宜盡早使用“假設(shè)不等式”，再利用輔助條件，通過合理的放縮，逐步向“目標(biāo)不等式”逼近。

例、（1990年全國競賽題）設(shè)且，求證：對于任何，有成立。

證明：1、當(dāng)n=1時，原不等式顯然成立。

2、設(shè)n=k時，原不等式成立，即

則當(dāng)n=k+1時，

= （關(guān)鍵）

由可得，

∴

∴

即n=k+1時，原不等式成立。

由1、2可知對任何原不等式成立。

注：此題的關(guān)鍵一步運用了適當(dāng)放縮使問題較為簡單的解決。由此可以看出， 放縮法在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時的重要性。

（2）增設(shè)引理，鋪橋架路

當(dāng)“假設(shè)不等式”直接向“目標(biāo)不等式”過渡有困難時，可以將問題歸納到某個中間聯(lián)系環(huán)節(jié)（輔助命題或引理）來處理，而這個中間聯(lián)系環(huán)節(jié)只起到橋梁的作用。

例、設(shè)a、b為正實數(shù)，n為正整數(shù)，試證明：

分析：1、當(dāng)n=1時，不等式顯然成立，當(dāng)n=2時，易證不等式成立。

2、假設(shè)當(dāng)n=k時，結(jié)論成立。

當(dāng)n=k+1時，左邊=

要使上式不大于，中間還有一段距離，經(jīng)分析如能證明輔助命題，則問題可以迅速解決，而這個輔助命題用比較法容易證明，故可證。

（3）分類討論，柳暗花明

當(dāng)由“假設(shè)不等式”向“目標(biāo)不等式”過渡時，將要證明的一個命題分成幾個命題，然后用數(shù)學(xué)歸納法討論。

例、（1986年高考題）已知，

且，

試證：數(shù)列{}或者對任意都滿足或都對任意都滿足。

分析：由于且，又由題意可知，對任意，有，故與同號，于是應(yīng)分與兩種情況討論。

證明：1、若，用數(shù)學(xué)歸納法證明

（1）當(dāng)n=1時，成立。

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時，成立，則當(dāng)n=k+1時，，即當(dāng)n=k+1時，有

∴對任意，有。

2、若，同樣可證，對任意，，此時有

綜合1、2，原命題得證。

（4）加強命題，以屈求伸

當(dāng)“假設(shè)不等式”很難直接過渡到“目標(biāo)不等式”，則可以通過加強命題的方法加強結(jié)論，達到調(diào)整結(jié)構(gòu)，以屈求伸之功效。

例、設(shè)0

分析：由題設(shè)知，，若設(shè)，則很難由遞推公式推出，因為這里出現(xiàn)在分母上，為了得到應(yīng)知道小于某個數(shù)值，而這一點恰恰無法從歸納假設(shè)中得到，為了解決這個困難，我們來證明“對一切，有”，這顯然是一個比“”還要強的命題。

證明：先證明對于任何恒成立。

1、當(dāng)n=1時，∵0

2、設(shè)n=k時結(jié)論成立，即成立，則n=k+1時，

∴成立。

由1、2可知，對于任何恒成立，故恒成立。

參考文獻：

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