基于單變量與多變量系統(tǒng)的模型預(yù)測控制研究

高 強(qiáng)，李 航

（天津理工大學(xué)自動化學(xué)院天津市復(fù)雜系統(tǒng)控制理論及應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津300384）

0 引 言

由于連續(xù)流程工業(yè)工藝流程的不斷復(fù)雜，系統(tǒng)非線性、強(qiáng)耦合性以及多變量系統(tǒng)的穩(wěn)定控制等問題的不斷突出，導(dǎo)致常規(guī)PID控制策略無法得到切實(shí)有效的施展。實(shí)際工業(yè)中存在的技術(shù)問題也不斷的推進(jìn)著理論的發(fā)展，從20世紀(jì)70年代問世以來，模型預(yù)測控制已經(jīng)從最初在工業(yè)過程控制中應(yīng)用發(fā)展成為一個(gè)理論豐富和實(shí)踐內(nèi)容較強(qiáng)的學(xué)科。模型預(yù)測控制在復(fù)雜工業(yè)過程中的成功應(yīng)用，已充分彰顯出模型預(yù)測控制技術(shù)處理復(fù)雜控制問題的優(yōu)越性。本文以單容水箱控制系統(tǒng)以及精餾塔控制系統(tǒng)為例，闡述動態(tài)矩陣控制算法如何處理單變量與多變量控制系統(tǒng)，利用仿真技術(shù)驗(yàn)證動態(tài)矩陣控制算法的先進(jìn)性與有效性，并利用DCS系統(tǒng)為平臺，以上述被控系統(tǒng)為研究對象，就工業(yè)中動態(tài)矩陣控制器的設(shè)計(jì)與應(yīng)用等問題進(jìn)行詳細(xì)闡述。

1 模型預(yù)測控制

模型預(yù)測控制策略在過程工業(yè)等其他領(lǐng)域的應(yīng)用正在不斷發(fā)展與擴(kuò)大。其廣泛應(yīng)用的主要原因是：與常規(guī)控制策略相比，模型預(yù)測控制表現(xiàn)出更優(yōu)異的控制效果；模型預(yù)測控制以被控系統(tǒng)預(yù)測模型為基礎(chǔ)，采用滾動優(yōu)化與反饋校正相結(jié)合方式，使被控系統(tǒng)以最快的時(shí)間達(dá)到穩(wěn)定運(yùn)行；模型預(yù)測控制算法引入了執(zhí)行器的約束條件；模型預(yù)測控制算法在解決被控系統(tǒng)的非線性、強(qiáng)耦合等復(fù)雜問題具有顯著效果。在模型預(yù)測控制算法中以動態(tài)矩陣控制算法為基礎(chǔ)核心。

1.1 動態(tài)矩陣控制 （DMC）

動態(tài)矩陣控制算法是一種基于被控系統(tǒng)階躍響應(yīng)為預(yù)測模型，以優(yōu)化指標(biāo)來決定控制策略的預(yù)測控制算法。動態(tài)矩陣控制算法適用于漸進(jìn)穩(wěn)定的系統(tǒng)。然而對于實(shí)際系統(tǒng)的被控變量存在震蕩特性 （機(jī)械運(yùn)動控制系統(tǒng)）與積分特性 （過程液位控制系統(tǒng)）而言，若利用動態(tài)矩陣控制算法，則首先需要采用常規(guī)PID控制策略對其加以控制使之穩(wěn)定。換句話說就是利用動態(tài)矩陣控制器作為主控制器去指導(dǎo)下屬的PID控制器，使系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定值。

1.2 階躍響應(yīng)模型預(yù)測

動態(tài)矩陣控制算法中的預(yù)測模型是基于對被控系統(tǒng)施加階躍信號，觀察系統(tǒng)的階躍響應(yīng)而得到的非參數(shù)模型的基礎(chǔ)上開展的。

1.3 滾動優(yōu)化

動態(tài)矩陣控制算法以預(yù)測模型作為約束條件，利用優(yōu)化性能指標(biāo)，在每一時(shí)刻提出優(yōu)化后一系列控制增量，并采用當(dāng)前時(shí)刻的控制增量作用于被控系統(tǒng)中，到下一時(shí)刻繼續(xù)優(yōu)化控制增量。

1.4 反饋校正

為防止預(yù)測模型的輸出值偏離被控系統(tǒng)的實(shí)際輸出值，導(dǎo)致下一時(shí)刻優(yōu)化的控制增量在錯(cuò)誤的基礎(chǔ)上而提出的。動態(tài)矩陣控制算法利用反饋校正，在每一時(shí)刻修正預(yù)測輸出，保證優(yōu)化的控制增量正確實(shí)施于被控系統(tǒng)中，使被控變量達(dá)到設(shè)定值并穩(wěn)定。

2 單變量系統(tǒng)的動態(tài)矩陣控制

單容水箱作為典型的單入單出 （SISO）控制系統(tǒng)，其中針對水箱的液位控制可以說是過程控制的研究基礎(chǔ)與重點(diǎn)。此外，一些高級控制算法，例如模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制技術(shù)也對單容水箱的液位控制做了許多研究，取得了顯著的效果。因此，本文對單變量系統(tǒng)的動態(tài)矩陣控制研究采用單容水箱作為被控對象，以其液位作為被控變量。分別從系統(tǒng)仿真以及實(shí)際控制這兩方面闡述動態(tài)矩陣控制算法在處理單變量系統(tǒng)的先進(jìn)性與實(shí)用性。

2.1 單變量系統(tǒng)預(yù)測模型

動態(tài)矩陣控制在獲得單入單出 （SISO）系統(tǒng)的預(yù)測模型方面，是通過對系統(tǒng)的階躍響應(yīng)提供的非參數(shù)模型而得到的。對被控系統(tǒng)輸入端施加階躍信號，采集被控系統(tǒng)輸出端的響應(yīng)輸出，直至系統(tǒng)趨于穩(wěn)定為止。被控系統(tǒng)的階躍響應(yīng)采樣值為

式中：T——階躍響應(yīng)的采樣周期，βi——系統(tǒng)階躍響應(yīng)在該時(shí)刻的幅值。對于動態(tài)矩陣控制算法而言，要求被控系統(tǒng)的階躍響應(yīng)在某一時(shí)刻tN＝NT之后趨于穩(wěn)定。因此，利用被控系統(tǒng)階躍響應(yīng)而得到的非參數(shù)模型可利用有限集合表示為

式 （2）提供的有限集合完全描述了被控系統(tǒng)的階躍響應(yīng)信息。對于單變量系統(tǒng)的動態(tài)矩陣控制算法所需的預(yù)測模型以向量

作為模型向量，N作為模型的時(shí)域，也稱為模型的長度。

以被控系統(tǒng)階躍響應(yīng)而提供的非參數(shù)模型為基礎(chǔ)可以預(yù)測出系統(tǒng)在未來時(shí)刻的輸出值。在k時(shí)刻起通過控制增量△u，就可以得出在該控制增量下未來N個(gè)時(shí)刻系統(tǒng)的輸出值

而動態(tài)矩陣控制算法中的控制時(shí)域M作為一個(gè)重要參數(shù)，通常不可能只采用一個(gè)控制增量去承擔(dān)全部優(yōu)化時(shí)域的控制要求。因此，在假設(shè)M個(gè)控制增量作用于被控系統(tǒng)中后，被控系統(tǒng)的預(yù)測輸出為：

2.2 單變量系統(tǒng)滾動優(yōu)化

動態(tài)矩陣控制是一種利用優(yōu)化性能指標(biāo)決定控制策略的算法，優(yōu)化性能指標(biāo)為

式中：qi、rj——優(yōu)化性能指標(biāo)的加權(quán)系數(shù)，分別表示對跟蹤誤差及控制作用變化的抑制。性能指標(biāo)的向量形式為

式 （7）中wp（k）＝ ［w（k＋1），....，w（k＋P）］T，Q＝diag（q1，....，qP），為誤差加權(quán)矩陣；R ＝diag（r1，.....rM），為控制加權(quán)矩陣。

在每一個(gè)時(shí)刻k，都要從該時(shí)刻起利用優(yōu)化性能指標(biāo)確定出M個(gè)控制增量

將計(jì)算得到的M個(gè)控制增量利用式 （5）的單變量系統(tǒng)預(yù)測模型計(jì)算出被控系統(tǒng)從k時(shí)刻起的預(yù)測輸出，從而確保被控系統(tǒng)的預(yù)測輸出盡可能的接近系統(tǒng)的設(shè)定值。

動態(tài)矩陣控制可以理解為以控制增量

為優(yōu)化變量，利用以被控系統(tǒng)的階躍響應(yīng)而得到的預(yù)測模型為基礎(chǔ)，使優(yōu)化性能指標(biāo)達(dá)到最小的問題。按照中這個(gè)思路，可得到

其中有限集合

作為動態(tài)矩陣控制的優(yōu)化控制增量。然而，動態(tài)矩陣控制算法并不將利用優(yōu)化性能指標(biāo)而得到的M個(gè)控制增量全部施加于被控系統(tǒng)中，而是取當(dāng)前時(shí)刻的控制增量△u（k）作為系統(tǒng)的控制增量。利用

施加于被控系統(tǒng)中，其中Δu的表達(dá)公式為

稱為控制向量。待被控系統(tǒng)運(yùn)行到下一時(shí)刻，結(jié)合下述反饋校正環(huán)節(jié)，再次根據(jù)預(yù)測模型，利用優(yōu)化性能指標(biāo)計(jì)算出當(dāng)前時(shí)刻的優(yōu)化控制增量△UM（k＋1），仍然只取當(dāng)前時(shí)刻的控制增量施加于被控系統(tǒng)中，如此反復(fù)執(zhí)行，實(shí)現(xiàn)動態(tài)矩陣控制的滾動優(yōu)化。

2.3 單變量系統(tǒng)反饋校正

在k時(shí)刻將優(yōu)化后得到的控制增量△u（k）施加于被控系統(tǒng)中，相當(dāng)于對被控系統(tǒng)施加一個(gè)階躍信號，利用預(yù)測模型 （5）可以得到在該控制增量作用下的預(yù)測輸出

為了彌補(bǔ)這一問題，動態(tài)矩陣控制將優(yōu)化后的控制增量△u（k）施加于被控系統(tǒng)后，到下一采樣時(shí)刻首先會采集被控系統(tǒng)的實(shí)際輸出值y（k＋1），并將其與在控制增量作用下的預(yù)測輸出進(jìn)行比較，得出輸出誤差

動態(tài)矩陣控制算法的反饋校正并不是對預(yù)測模型進(jìn)行修正，而是采用對誤差e（k＋1）加權(quán)的方式修正對未來輸出的預(yù)測

其中

動態(tài)矩陣控制算法就是利用預(yù)測模型作為約束條件，利用優(yōu)化性能指標(biāo)將滾動優(yōu)化與反饋校正相結(jié)合反復(fù)在線運(yùn)算提出每一時(shí)刻的優(yōu)化控制增量△u（k），使系統(tǒng)的被控變量不斷趨近與系統(tǒng)的設(shè)定值并保持穩(wěn)定。

2.4 控制系統(tǒng)仿真研究

動態(tài)矩陣控制效果仿真研究中，采用的單容水箱數(shù)學(xué)模型是通過機(jī)理建模而得到的，不僅考慮了單容水箱輸入與輸出的動態(tài)平衡關(guān)系，同時(shí)也引入了電機(jī)與水泵的數(shù)學(xué)模型，最終得到的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

以該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)，分別采用經(jīng)典控制理論中的PID控制策略與模型預(yù)測控制中的動態(tài)矩陣控制算法進(jìn)行控制仿真，其效果如圖1，圖2所示。

從圖1、圖2中可明顯發(fā)現(xiàn)，針對單變量控制系統(tǒng)而言，動態(tài)矩陣控制算法比PID控制策略具有更好的控制效果，被控系統(tǒng)的超調(diào)量與調(diào)節(jié)時(shí)間均得到改善。

這里的動態(tài)矩陣控制所采用的調(diào)節(jié)參數(shù)見表1。

表1 動態(tài)矩陣控制調(diào)節(jié)參數(shù)

2.5 單變量系統(tǒng)動態(tài)矩陣控制工程實(shí)現(xiàn)

本文對于單變量控制系統(tǒng)的動態(tài)矩陣控制研究采用單容水箱作為被控對象。動態(tài)矩陣控制器的開發(fā)與應(yīng)用是基于西門子PCS7的DCS系統(tǒng)進(jìn)行研究的。

2.5.1 單容水箱系統(tǒng)的過程辨識

從理論分析得知，動態(tài)矩陣控制所需的預(yù)測模型是以被控系統(tǒng)階躍響應(yīng)而提供的非參數(shù)模型基礎(chǔ)上獲得的。因此，在設(shè)計(jì)動態(tài)矩陣控制器時(shí)，首先需要獲得被控系統(tǒng)的階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)。利用DCS系統(tǒng)的過程數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)，以1s作為采樣周期，實(shí)時(shí)采集被控系統(tǒng)的操作變量與被控變量。如圖3所示。

圖3 單容水箱階躍響應(yīng)采集

DCS系統(tǒng)對被控對象的階躍響應(yīng)進(jìn)行數(shù)據(jù)采集，利用階躍響應(yīng)辨識系統(tǒng)的非參數(shù)模型。辨識后的模型輸出應(yīng)與被控系統(tǒng)的實(shí)際輸出基本保持一致，如圖4所示。

2.5.2 動態(tài)矩陣控制器調(diào)節(jié)參數(shù)

利用辨識模型可得到動態(tài)矩陣控制算法所需的預(yù)測模型，以預(yù)測模型為約束，調(diào)節(jié)參數(shù)的不同所表現(xiàn)的控制效果也不同。針對單容水箱的動態(tài)矩陣控制器調(diào)節(jié)參數(shù)見表2。

表2 動態(tài)矩陣控制器調(diào)節(jié)參數(shù)

圖4 單容水箱系統(tǒng)辨識精確度

利用表2提供的動態(tài)矩陣控制器調(diào)節(jié)參數(shù)，結(jié)合系統(tǒng)辨識后得到的預(yù)測模型，對單容水箱被控對象的仿真控制效果如圖5所示。

圖5 單容水箱仿真控制效果

2.5.3 實(shí)際系統(tǒng)控制效果

利用DCS系統(tǒng)采樣后得到的非參數(shù)模型，得到動態(tài)矩陣控制器所需的預(yù)測模型，并結(jié)合上述調(diào)節(jié)參數(shù)，動態(tài)矩陣控制器將滾動優(yōu)化與反饋校正相結(jié)合，對單容水箱的實(shí)際控制效果如圖6所示。

圖6 單容水箱動態(tài)矩陣控制效果

3 多變量系統(tǒng)的動態(tài)矩陣控制

精餾塔在過程控制中作為一個(gè)典型的多入多處 （MIMO）控制系統(tǒng)，并且也常常作為模型預(yù)測控制技術(shù)的研究對象，本文以精餾塔作為動態(tài)矩陣控制的研究對象，通過對精餾塔進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，利用仿真驗(yàn)證動態(tài)矩陣控制算法在處理多變量系統(tǒng)的優(yōu)越性。同時(shí)，以DCS系統(tǒng)為平臺，設(shè)計(jì)動態(tài)矩陣控制器，應(yīng)用與精餾塔控制系統(tǒng)中，驗(yàn)證其效果。闡述動態(tài)矩陣控制算法在處理多變量系統(tǒng)的理論步驟以及工程應(yīng)用。

3.1 多變量系統(tǒng)預(yù)測模型

對于多入多出系統(tǒng) （MIMO），動態(tài)矩陣控制算法仍然采用該被控系統(tǒng)的階躍響應(yīng)提供的非參數(shù)做模型為基礎(chǔ)，得到預(yù)測模型。在獲得多變量系統(tǒng)的階躍響應(yīng)信息方面，應(yīng)逐一的對輸入端施加階躍信號，分別觀察每一個(gè)輸出端的階躍響應(yīng)，直到所有輸出響應(yīng)趨于穩(wěn)定為止。例如，對被控制系統(tǒng)的輸入端x施加階躍信號，在k時(shí)刻觀察被控系統(tǒng)所有輸出端的階躍響應(yīng)為

因此，在對每一個(gè)輸入端逐一施加階躍信號后，觀察每一個(gè)輸出端的階躍響應(yīng)，可利用矩陣形式提出多變量系統(tǒng)的非參數(shù)模型

利用多入多出系統(tǒng)的非參數(shù)模型可以得到動態(tài)矩陣控制算法所需的預(yù)測模型為

3.2 多變量系統(tǒng)滾動優(yōu)化

多變量系統(tǒng)的滾動優(yōu)化方式與單變量系統(tǒng)相類似，多變量系統(tǒng)的滾動優(yōu)化要求系統(tǒng)每一個(gè)輸出yi在未來P個(gè)優(yōu)化時(shí)域內(nèi)，盡量趨近于系統(tǒng)設(shè)定值wi，并對M個(gè)控制作用增量的大小加以軟約束。其優(yōu)化性能指標(biāo)

其中

其中誤差加權(quán)矩陣Q中各個(gè)塊Q1，….Qp對應(yīng)著不同的輸出，而Qi中的元素對應(yīng)著yi在不同時(shí)刻的跟蹤誤差。同樣，控制作用加權(quán)矩陣R中各個(gè)塊R1，…，Rm對應(yīng)著不同的控制輸入，而Rj中的元素對應(yīng)著uj在不同時(shí)刻的控制作用增量的抑制。所以矩陣Q和R中的每一個(gè)元素都對被控系統(tǒng)的在動態(tài)矩陣控制作用下的控制效果起到重要的決定作用。

通過上述介紹的多變量系統(tǒng)的預(yù)測模型 （式 （20）），利用優(yōu)化性能指標(biāo) （式 （21））可以得出在當(dāng)前時(shí)刻的M個(gè)被優(yōu)化后的控制增量

根據(jù)之前所闡述的單入單出系統(tǒng)的滾動優(yōu)化概念，對于多變量控制系統(tǒng)同樣采用當(dāng)前時(shí)刻k的控制增量

施加于被控系統(tǒng)中，其中

3.3 多變量系統(tǒng)反饋校正

多變量系統(tǒng)的反饋校正與單變量系統(tǒng)類似，在k時(shí)刻控制增量作用于被控系統(tǒng)后，到下一時(shí)刻，動態(tài)矩陣控制算法需對被控系統(tǒng)的實(shí)際輸出值與各個(gè)預(yù)測輸出值進(jìn)行比較，構(gòu)成輸出誤差向量

同樣采用對誤差向量加權(quán)的方式修正模型的預(yù)測輸出值，以此補(bǔ)償基于模型的預(yù)測

H稱為誤差校正矩陣，通常只采用誤差校正向量的主對角塊，也就是用各輸出值的誤差通過加權(quán)修正預(yù)測輸出值。同樣，k＋1時(shí)刻的校正預(yù)測輸出值通過移位成為該時(shí)刻預(yù)測模型的初始值參與滾動優(yōu)化工作。

3.4 控制系統(tǒng)仿真研究

本文利用精餾塔數(shù)學(xué)模型對多變量動態(tài)矩陣控制算法的控制效果進(jìn)行仿真，驗(yàn)證動態(tài)矩陣控制技術(shù)在處理多變量非線性系統(tǒng)的控制問題上表現(xiàn)出的優(yōu)越性。

精餾塔的數(shù)學(xué)模型為

輸出y1，y2分別代表精餾塔的輕餾分與重餾分，u1，u2以及u3分別代表精餾塔蒸發(fā)器流量、回流冷凝器流量以及進(jìn)料的干擾量。精餾塔數(shù)學(xué)模型由六組一階慣性加滯后環(huán)節(jié)組成，每個(gè)輸出量分別由每個(gè)輸入量結(jié)合該控制通道的傳遞函數(shù)現(xiàn)行疊加組成，即

通過仿真可以發(fā)現(xiàn)，動態(tài)矩陣控制在處理多變量系統(tǒng)中所具有的優(yōu)勢，其針對精餾塔被控系統(tǒng)的動態(tài)矩陣控制效果如圖7所示。

這里的多變量系統(tǒng)動態(tài)矩陣控制所采用的調(diào)節(jié)參數(shù)見表3。

表3 動態(tài)矩陣控制器調(diào)節(jié)參數(shù)

3.5 多變量系統(tǒng)動態(tài)矩陣控制工程實(shí)現(xiàn)

對多變量系統(tǒng)的動態(tài)矩陣控制器的設(shè)計(jì)與應(yīng)用同樣基于DCS系統(tǒng)平臺而研究的。

3.5.1 精餾塔系統(tǒng)過程辨識

以多變量控制系統(tǒng)的動態(tài)矩陣控制算法仍然是在以被控系統(tǒng)的階躍響應(yīng)而得到的非參數(shù)模型基礎(chǔ)上得到預(yù)測模型的。然而在獲取被控系統(tǒng)的階躍響應(yīng)時(shí)，與單入單出系統(tǒng)有所不同。根據(jù)上述對多變量系統(tǒng)的預(yù)測模型研究中可以發(fā)現(xiàn)，如要獲得多變量系統(tǒng)的階躍響應(yīng)需對被控系統(tǒng)的每一個(gè)輸入端分別施加階躍信號，待所有輸出端變量趨于穩(wěn)定為止。對于獲取多變量系統(tǒng)的階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)，同樣采用DCS的過程數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)，以1s作為采樣周期來完成的，如圖9所示。

圖9 精餾塔階躍響應(yīng)采集

對多變量系統(tǒng)進(jìn)行階躍響應(yīng)信息采集后，得到的模型輸出應(yīng)與被控系統(tǒng)實(shí)際輸出響應(yīng)保持一直，這樣得到的模型才可以保證其精度。多變量系統(tǒng)的模型輸出與被控系統(tǒng)實(shí)際輸出如圖10所示。

圖10 精餾塔系統(tǒng)辨識精確度

3.5.2 動態(tài)矩陣控制器調(diào)節(jié)參數(shù)

以被控系統(tǒng)的階躍響應(yīng)提供的非參數(shù)模型為基礎(chǔ)得到動態(tài)矩陣控制算法所需的預(yù)測模型。由上述動態(tài)矩陣控制算法處理過程可發(fā)現(xiàn)，參數(shù)P，M，Q，R對動態(tài)矩陣控制算法的控制效果起到重要作用，具體參數(shù)見表4。

表4 動態(tài)矩陣控制器調(diào)節(jié)參數(shù)

利用表4提供的動態(tài)矩陣控制調(diào)節(jié)參數(shù)，對精餾塔提出的動態(tài)矩陣控制算法仿真效果如圖11所示。

圖11 精餾塔仿真控制效果

3.5.3 精餾塔系統(tǒng)實(shí)際控制效果

對精餾塔控制系統(tǒng)采用上述設(shè)計(jì)的動態(tài)矩陣控制算法實(shí)現(xiàn)的實(shí)際控制效果如圖12所示。

4 結(jié)束語

通過仿真與實(shí)際控制效果中發(fā)現(xiàn)，模型預(yù)測控制中在處理單變量系統(tǒng)中具有比常規(guī)PID控制策略更好的控制效果，在解決多變量系統(tǒng)，尤其是變量之間存在嚴(yán)重耦合現(xiàn)象的控制問題中也具有明顯的優(yōu)勢。

然而模型預(yù)測控制中的動態(tài)矩陣控制算法所需的計(jì)算量較大并且適用于漸進(jìn)穩(wěn)定的慢動態(tài)過程，在處理快速性系統(tǒng)的控制問題中表現(xiàn)欠佳，從而限制了該算法在運(yùn)動控制系統(tǒng)中的應(yīng)用。

圖12 精餾塔動態(tài)矩陣控制效果

從實(shí)際應(yīng)用角度考慮，模型預(yù)測控制器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)較為復(fù)雜，在數(shù)據(jù)采集、系統(tǒng)辨識、算法運(yùn)算上會面臨諸多困難，某些方面仍需借助國外的先進(jìn)控制軟件。為解決這幾方面的問題仍需專家與學(xué)者繼續(xù)深入研究。

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