單位階躍響應的時域求解方法

任 蕾，薄 華，金欣磊，張韻農，楊忠根

(上海海事大學電子工程系，上海200135)

單位階躍響應的概念和求解是“信號與系統(tǒng)”課程教學的重要知識點之一。目前，多數教材中給出單位沖激響應的時域方法［1-6]，國內的部分學者也總結了沖激響應時域求解的多種求解方法［7]。單位階躍響應可通過對沖激響應積分或將其與單位階躍信號卷積，在時域中求解。

本文從沖激響應與階躍響應的關系、微分方程求解和時域規(guī)范化方法三個角度出發(fā)，討論單位階躍響應的時域一般求解方法，并給予實例證明方法的有效性。

1 單位階躍響應的時域求解方法

1.1 問題描述

設線性時不變系統(tǒng)的微分方程為式中，f(t)是系統(tǒng)的激勵信號，系統(tǒng)初始條件為，y(t)是系統(tǒng)的響應信號。

1.2 單位階躍響應的時域求解方法

(1)利用單位沖激響應求解階躍響應

通過對沖激響應的積分運算或與單位階躍信號的卷積，可得系統(tǒng)的階躍響應:

該方法概念清楚，但需首先求解系統(tǒng)的單位沖激響應。值得注意的是，系統(tǒng)的沖激響應即為系統(tǒng)的階躍響應。

(2)微分方程求解的方法

由于系統(tǒng)階躍響應是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應，因此可利用經典微分方程求解方法求解。

將單位階躍信號代入微分方程，可得階躍響應即為求解方程:

(3)時域規(guī)范化方法

［思路1] :受單位沖激響應規(guī)范化方法的啟發(fā)，可得規(guī)范化單位階躍響應求解方法。

第二個子系統(tǒng)和各規(guī)范化子系統(tǒng)的沖激響應分別為

規(guī)范化系統(tǒng)的階躍響應為

［思路2] :借鑒文獻［6] 中等效激勵方法，階躍響應也可按如下步驟進行。

①首先求解對應的規(guī)范化系統(tǒng)沖激響應hx(t);

規(guī)范化方法不受n與m大小的影響，同時避免了系統(tǒng)初始條件求解，較為簡便。

1.3 三種方法的對比

為了說明上述三個方法的特點，其對比見表1。

表1 :單位階躍響應時域求解方法對比表

可以看出，利用沖激響應與階躍響應微積分關系的方法，是最常用的方法，其前提是計算系統(tǒng)的沖激響應;時域直接求解階躍響應的方法，概念較清楚，無需求解系統(tǒng)的沖激響應，其難點在于判斷系統(tǒng)0+時刻的初始條件;規(guī)范化階躍響應求解方法，借鑒了規(guī)范法沖激響應求解方法，該方法無需判斷求解系統(tǒng)的初始條件。

2 單位階段響應時域求解舉例

為了說明給出的單位階躍響應時域求解方法的有效性，下面以兩個實際例子說明其應用過程，分別對應微分方程中n＞m和n=m兩類情況。

［例1] :下述某線性時不變系統(tǒng)微分方程為

試求系統(tǒng)的單位階躍響應。

解:該系統(tǒng)為二階系統(tǒng)，對應n＞m情況，可采用如下三種方法。

(1)單位沖激響應間接求解方法

首先利用時域方法(可以任意選擇一種)求解該系統(tǒng)的單位沖激響應為

因此，通過對其卷積單位階躍信號(或對沖激響應做積分運算)得到系統(tǒng)的單位階躍響應為

(2)直接求解階躍響應方法

當系統(tǒng)激勵信號為單位階躍信號時，微分方程可以寫為

因此，設階躍響應的形式寫為

由方程得gp(t)=(3/2)u(t)，且g(0+)=g(0－)=0，g'(0+)=g'(0－)+1=1，由此確定待定系數:A1=－2，A2=1/2。

可得系統(tǒng)的單位階躍響應為

(3)規(guī)范化求解方法

我們利用求解方法(3)的思路，首先求解對應的規(guī)范化一階系統(tǒng)g1'(t)+g1(t)=u(t)的階躍響應為g1(t)=-e－tu(t)+u(t)。則該規(guī)范化二階系統(tǒng)的階躍響應為

可得原系統(tǒng)階躍響應為

［例2] :下述某線性時不變系統(tǒng)微分方程為

試求系統(tǒng)的單位階躍響應。

解:該系統(tǒng)為二階系統(tǒng)，對應n=m情況，可采用如下三種方法。

(1)單位沖激響應間接求解方法

首先利用時域方法(可以任意選擇一種)求解該系統(tǒng)的單位沖激響應為

因此，通過對其卷積單位階躍信號(或對沖激響應做積分運算)得到系統(tǒng)的單位階躍響應為

(2)直接求解階躍響應方法

當系統(tǒng)激勵信號為單位階躍信號時，微分方程可以寫成為

因此設階躍響應的形式為

由方程得:gp(t)=(2/5)u(t);且g(0+)=g(0－)+1，g'(0+)=g'(0－)－1=-1由此確定待定系數為A1=2/3，A2=-1/15。

系統(tǒng)的單位階躍響應為

(3)規(guī)范化求解方法

我們利用思路2求解該題，該系統(tǒng)對應規(guī)范化系統(tǒng)沖激響應為hx(t)=e-2tu(t)*e-5tu(t)=1/3(e-2t－e-5t)u(t)，且等效零狀態(tài)激勵為xg(t)=δ'(t)+6δ(t)+4u(t)。

可得系統(tǒng)的單位活躍響應為

3 結語

本文對連續(xù)時間系統(tǒng)單位階躍響應的時域求解方法進行了總結和歸納。這些種方法提供了直接求解或結合單位沖激響應求解的階躍響應時域分析思路，可根據具體的情況選擇。

［1] 奧本海姆著，劉樹棠譯.信號與系統(tǒng)(第二版)［M] .西安:西安交通大學出版社，1998

［2] 鄭君里，應啟珩，楊為理.信號與系統(tǒng)［M] .北京:高等教育出版社，2000

［3] 管致中，夏恭恪，孟橋.信號與線性系統(tǒng)(第四版)［M] .北京:高等教育出版社，2004

［4] 吳大正，信號與線性系統(tǒng)分析(第四版)［M] .北京:高等教育出版社，2006

［5] B.P拉茲著，劉樹棠等譯.線性系統(tǒng)與信號(第2版)［M] .西安:西安交通大學出版社，2006

［6] 楊忠根，任蕾，陳紅亮，信號與系統(tǒng)［M] .北京:電子工業(yè)出版社，2009

［7] 杜世民，楊潤萍，LTI系統(tǒng)單位沖激響應的時域解法研究［J] .南京:電氣電子教學學報，Vol.29，No.5，2007年10月，44-46