靜電場中導(dǎo)體鏡像與介質(zhì)鏡像的統(tǒng)一

朱 峰，魏天彩

(西南交通大學(xué)電氣工程學(xué)院電工電子系，四川成都610031)

1.問題的提出

1.1 導(dǎo)體的鏡像

“電磁場”是電氣工程等專業(yè)的技術(shù)基礎(chǔ)課程。鏡像法作為等效方法的一種，在電磁場中具有廣泛的應(yīng)用。在解決靜電場邊值問題的時(shí)候，我們用到了鏡像法［1，2]。其中最簡單的例子就是當(dāng)接地?zé)o限大導(dǎo)體平面上方只有一個(gè)點(diǎn)電荷q的情形。

由于q的存在，使得無限大導(dǎo)體表面感應(yīng)出一定量的電荷。如圖1(a)所示的導(dǎo)體上方一點(diǎn)P處的電場，即是由此點(diǎn)電荷與這些感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生的。

此時(shí)，從等效的角度來說，我們就可把此無限大導(dǎo)體平面撤去，對上半空間任一點(diǎn)P的電場或電位，可看成是q和它對稱位置上放置一個(gè)q1=－q共同作用的結(jié)果［3]。這些感應(yīng)電荷的作用等效為該鏡像電荷q1=－q的作用，如圖1(b)所示;同理，對下半空間任一點(diǎn)P'而言，由于電荷上下的對稱性，這些感應(yīng)電荷的作用相當(dāng)于在原q的位置上再放一個(gè)q1=－q，由于二者帶等值的異號(hào)電荷，所以處的場強(qiáng)為零，這也符合導(dǎo)體內(nèi)場強(qiáng)為零這一結(jié)論，如圖1(c)所示。

圖1 接地?zé)o限大導(dǎo)平面情況

1.2 介質(zhì)的鏡像

現(xiàn)在討論點(diǎn)電荷介質(zhì)極化情況。為簡明起見，討論點(diǎn)電荷的雙層介質(zhì)情況。假設(shè)平面的上、下半空間分別充滿介電常數(shù)為ε1與ε2的均勻介質(zhì)，在上半空間有一點(diǎn)電荷q。雙層介質(zhì)中任一點(diǎn)P處的電場分布如圖2(a)所示。

我們在這里使用這樣的鏡像系統(tǒng):即認(rèn)為上半空間P處的場由原來電荷q和鏡像點(diǎn)的像電荷q'所產(chǎn)生(這時(shí)介電常數(shù)ε1的介質(zhì)布滿整個(gè)空間);又認(rèn)為下半空間P'處的場由q″產(chǎn)生(這時(shí)介電常數(shù)ε2的介質(zhì)布滿整個(gè)空間)，如圖2(b)與2(c)所示。

圖2 雙層介質(zhì)情況

這里有一個(gè)問題:根據(jù)在1.1中的討論，從極化的角度，在下半空間應(yīng)該為原點(diǎn)電荷與鏡像電荷的疊加，即

而實(shí)際結(jié)果為圖2(c)所示［4]，有

將上式與(1)相比有明顯的差別，此時(shí)便產(chǎn)生了一個(gè)悖論，到底哪個(gè)正確呢?

2.問題的分析

對于這個(gè)問題，我們須從其物理本質(zhì)上進(jìn)行分析。

當(dāng)點(diǎn)電荷q所在空間的介電常數(shù)為ε1時(shí)，q的周圍會(huì)產(chǎn)生一定量的極化電荷，設(shè)空間任一點(diǎn)的電位移向量為，電極化強(qiáng)度為，則

所以q處的實(shí)際電量為原q與q表面所有極化電荷之和:

至于兩層介質(zhì)分界面，可從物理底層看成一層分布在表面的極化電荷，即相當(dāng)于q'Σ的作用。此時(shí)已經(jīng)考慮到不同介質(zhì)對于電荷量的影響，則可將整個(gè)空間視為介電常數(shù)為ε0，即真空。同理有

如圖3(a)所示，此時(shí)再利用開始的結(jié)論，對于下半空間p'處，與1.1原理相對應(yīng)。此處相當(dāng)于有實(shí)際的自由電荷為

q″Σ為獨(dú)自在P'處產(chǎn)生電場，如圖3(b)所示。

圖3 將整個(gè)空間效為真空

在前面的推導(dǎo)過程中，我們將整個(gè)空間的介電常數(shù)都視為ε0。但在這個(gè)實(shí)際問題中，研究空間下半平面的電場分布時(shí)，空間的介電常數(shù)是ε2。依據(jù)上述結(jié)論，如果下半空間的介電常數(shù)是ε2，則在此空間作用的電荷為

可見它與公式(2)的結(jié)果是一樣的。我們再一次驗(yàn)證一下q'，同理在上半空間作用的電荷為

電荷的分布如圖4(a)與4(b)所示。至此，我們完成二者在形式上的統(tǒng)一。

圖4 考慮介質(zhì)的影響

3.結(jié)語

極化和鏡像的概念一直都是電磁場教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)。本文通過對點(diǎn)電荷在介質(zhì)鏡像和導(dǎo)體鏡像中的對比研究，從物理現(xiàn)象底層出發(fā)，對極化的本質(zhì)進(jìn)行了較為深入的分析，實(shí)現(xiàn)了兩者完全的統(tǒng)一。這對學(xué)生正確理解極化的概念，深入了解電磁場的內(nèi)在底蘊(yùn)，提高他們分析問題和解決問題的能力具有重要的實(shí)際意義。這也為學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)電磁場的奧妙所在，激發(fā)其對于電磁場學(xué)習(xí)的熱情大有裨益。

［1] J.A.Stratton.Electromagnetic Theory［M] .McGRAW－HILL BOOK COMPANY，1941

［2] J.D.JACKSON.Classical Electrodynamics［M] .John Wiley＆Sons，Inc.New York.London.Third Edition.，2001

［3] 馮慈璋，馬西奎.工程電磁場導(dǎo)論［M] .北京:高等教育出版社

［4] 雷銀照.電磁場［M] .北京:高等教育出版社，2008