熱聲激勵(lì)下金屬薄壁結(jié)構(gòu)的隨機(jī)疲勞壽命估算

沙云東，魏 靜，高志軍，鐘皓杰

(沈陽航空航天大學(xué) 遼寧省航空推進(jìn)系統(tǒng)先進(jìn)測試技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，沈陽 110136)

超高音速飛行器結(jié)構(gòu)在工作時(shí)承受復(fù)雜的機(jī)械力載荷、氣動(dòng)力載荷、熱載荷和高溫強(qiáng)噪聲載荷［1］。其中，在高溫強(qiáng)噪聲載荷作用下，薄壁結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出復(fù)雜的大撓度非線性響應(yīng)，熱載荷引起的熱應(yīng)力可以引發(fā)結(jié)構(gòu)熱屈曲，強(qiáng)聲載荷可使屈曲前結(jié)構(gòu)圍繞初始平衡位置做大幅值振動(dòng)，使得屈曲后結(jié)構(gòu)在多個(gè)屈曲后平衡位置之間做劇烈跳動(dòng)，即跳變運(yùn)動(dòng)，或圍繞一個(gè)屈曲后平衡位置振動(dòng)［2］。熱聲載荷作用下出現(xiàn)快速的交變作用應(yīng)力，薄壁結(jié)構(gòu)會(huì)發(fā)生裂紋的萌發(fā)、擴(kuò)展甚至失效。因此高溫強(qiáng)噪聲作用下結(jié)構(gòu)的響應(yīng)分析和疲勞壽命估算已經(jīng)成為先進(jìn)飛行器設(shè)計(jì)的關(guān)鍵問題。

熱聲載荷作用下，結(jié)構(gòu)跳變響應(yīng)時(shí)位移近似服從Fokker-Plank分布［3-4］，無法確定應(yīng)力峰值概率密度函數(shù)，因此無法直接使用基于高斯分布或者瑞利分布假設(shè)的功率譜密度法、概率密度法［5-7］等頻域方法。時(shí)域方法直接針對(duì)結(jié)構(gòu)的載荷時(shí)間歷程，適用于任何概率分布的平穩(wěn)或非平穩(wěn)響應(yīng)的壽命估算。本文采用時(shí)域方法直接對(duì)結(jié)構(gòu)的應(yīng)力時(shí)間歷程進(jìn)行采樣和雨流循環(huán)計(jì)數(shù)。由于圍繞一個(gè)屈曲后平衡位置的非線性振動(dòng)具有極高的應(yīng)力循環(huán)均值，無法直接使用一般的對(duì)稱循環(huán)試驗(yàn)得到的零平均應(yīng)力的S-N曲線進(jìn)行疲勞壽命估算，因此采用Morrow TFS、SWT平均應(yīng)力模型獲得零平均應(yīng)力的等效循環(huán)，結(jié)合Palmgren-Miner線性損傷理論進(jìn)行損傷估算。以四邊簡支鋁合金板為研究對(duì)象，計(jì)算了在不同熱聲載荷下的結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)和疲勞壽命，并分析了結(jié)構(gòu)疲勞壽命的變化規(guī)律。

1 平均應(yīng)力模型

結(jié)構(gòu)大撓度非線性振動(dòng)時(shí)，薄膜應(yīng)力的出現(xiàn)使得應(yīng)力循環(huán)不對(duì)稱，應(yīng)力均值不為零。試驗(yàn)結(jié)果表明等幅值時(shí)，平均應(yīng)力的增大可使疲勞壽命下降［8］。本文在基本的應(yīng)力壽命關(guān)系模型基礎(chǔ)上，給出了考慮平均應(yīng)力影響的壽命估算模型。

疲勞循環(huán)可以循環(huán)最大值Smax，循環(huán)最小值Smin也可以使用循環(huán)幅值和均值表示。應(yīng)力循環(huán)幅值為:

應(yīng)力循環(huán)均值為:

對(duì)稱循環(huán)載荷作用下，使用Basquin方程表示的應(yīng)力-壽命基本關(guān)系為:

由式(4)確定疲勞壽命:

本文采用 Baseline(不考慮平均應(yīng)力)、Morrow TFS、SWT三種模型進(jìn)行疲勞壽命分析，按等損傷原則將非零應(yīng)力均值循環(huán)轉(zhuǎn)換為零應(yīng)力均值的循環(huán)。

Morrow TFS平均應(yīng)力公式:

式中:Sf表示真實(shí)斷裂強(qiáng)度。

SWT平均應(yīng)力公式:

其他的平均應(yīng)力模型還包括 Walker模型、修正的Walker模型、MMPDS模型等。其中Walker模型的精度較高，但是需要通過非零均值試驗(yàn)數(shù)據(jù)的獲得擬合參數(shù)［8］。試驗(yàn)數(shù)據(jù)的匱乏限制了它們的使用。

2 累積損傷理論

Miner線性損傷累積理論，忽略了加載次序及載荷間相互作用的影響，由于形式簡單，而廣泛應(yīng)用于實(shí)際工程中。線性疲勞累積損傷表示為:

式中:Ni表示在第i級(jí)等幅值應(yīng)力載荷下的工作循環(huán)次數(shù);(Nf)i為第i級(jí)等幅值應(yīng)力載荷下，構(gòu)件發(fā)生破壞時(shí)的循環(huán)數(shù)。

隨機(jī)響應(yīng)的損傷期望可以使用數(shù)學(xué)期望和概率密度表示為:

式中:Ni=N(S)=E［P］·T·P(S);S為應(yīng)力幅值;P(S)為應(yīng)力峰值概率密度函數(shù);E［P］為單位時(shí)間內(nèi)的峰值期望;Tr為響應(yīng)信號(hào)時(shí)長。

窄帶隨機(jī)信號(hào)的峰值概率密度服從瑞利分布，寬帶信號(hào)的峰值概率密度是高斯分布與瑞利分布的不同組合，兩者可以通過經(jīng)驗(yàn)公式獲得其表達(dá)式。本文中熱聲載荷作用下結(jié)構(gòu)應(yīng)力響應(yīng)幅值的分布律目前還沒有明確的表達(dá)式，因此通過雨流循環(huán)計(jì)數(shù)獲得應(yīng)力循環(huán)的聯(lián)合概率密度函數(shù)的數(shù)值估計(jì)。

假設(shè)第k次雨流循環(huán)(RFC)的局部極大值和極小值分別為Smax和Smin，時(shí)間Tr內(nèi)的總損傷為:

式中:P(Smin，Smax)為應(yīng)力循環(huán)極小值和極大值的聯(lián)合概率密度函數(shù);Nf(Smin，Smax)為應(yīng)力循環(huán)作用下的疲勞壽命，取決于平均應(yīng)力模型的選擇。使用有限時(shí)長信號(hào)的雨流循環(huán)矩陣(RFM)估算P(Smin，Smax):

式中:NRF為雨流循環(huán)次數(shù)。

圖1 雨流循環(huán)矩陣示意圖Fig.1 RFM

本文中利用MATLAB工具箱WAFO［9］獲得RFM。RFC可以使用三維圖象表示。如圖1平面直方圖所示，在RFM中，X軸和Y軸分別為循環(huán)對(duì)的極小值和極大值，循環(huán)計(jì)數(shù)結(jié)果對(duì)應(yīng)RFM中一點(diǎn)。將RFM離散為n×n塊后，(i，j)塊對(duì)應(yīng)Z軸的循環(huán)對(duì)數(shù)目即RFM(Si，Sj)的數(shù)值。由于循環(huán)對(duì)中極小值必然小于極大值，所以循環(huán)只分布在平面圖的左上區(qū)域。循環(huán)對(duì)于R=1對(duì)角線距離越遠(yuǎn)，循環(huán)的幅值越大;循環(huán)對(duì)于R=-1對(duì)角線的距離越遠(yuǎn)，循環(huán)的平均應(yīng)力越大。

對(duì)于有限時(shí)長響應(yīng)信號(hào)Tr:E［P］≈NRF/Tr;

式中:RFD(Smin，Smax)為2維雨流循環(huán)損傷矩陣。當(dāng)E［D］=1，結(jié)構(gòu)發(fā)生疲勞失效。疲勞壽命時(shí)間為:

3 應(yīng)用實(shí)例

將研究的疲勞壽命估算方法，應(yīng)用于四邊簡支鋁合金板(2024-T3)。假定在拉、壓載荷下的屈服應(yīng)力不變，材料特性不隨溫度變化。結(jié)構(gòu)尺寸為a=0.2 m，b=0.2 m，h=0.005 m，密度為 ρ=2 723 kg/m3，彈性模量E=73.11 GPa，泊松比為 μ=0.33，熱膨脹系數(shù)為 α=22.32 ×10-61/K。

結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率和臨界屈曲溫度，見表1和2。

采用Basquin公式擬合的2024 T3鋁合金的S-N曲線表達(dá)式為:S6.4935n=1.289 8 ×1021。

Morrow TFS模型中，2024 T3鋁合金的材料常數(shù)為［10］:Sf=610 MPa，σ'f=1 602 MPa，b=0.154。

表1 四邊簡支鋁合金板的模態(tài)頻率Tab.1 The modal frequencies of simply-supported aluminum plate［Hz］

表2 四邊簡支鋁合金板的臨界屈曲溫度Tab.2 The critical buckling temperatures of simply-supported aluminum plate［°C］

為方便表示，采用熱屈曲系數(shù)S=T/TC表示溫度，T為實(shí)際溫度，TC為屈曲溫度。

圖2 位移時(shí)間歷程(UZ，0，160)Fig.2 Time history(UZ，0，160)

圖3 雨流循環(huán)矩陣(SX，0，160)Fig.3 RFM(SX，0，160)

圖4 雨流循環(huán)損傷矩陣(SX，0，160)Fig.4 RFD(SX，0，160)

圖5 位移時(shí)間歷程(UZ，1，160)Fig.5 Time history(UZ，1，160)

圖6 雨流循環(huán)矩陣(SX，1，160)Fig.6 RFM(SX，1，160)

圖7 雨流循環(huán)損傷矩陣(SX，1，160)Fig.7 RFD(SX，1，160)

3.1 熱聲載荷的模擬

選用有限帶寬高斯白噪聲作為聲載荷，聲壓級(jí)范圍為140 dB到170 dB，間隔10 dB。截止頻率為1 500 Hz，覆蓋前3階結(jié)構(gòu)模態(tài)。噪聲信號(hào)的時(shí)長為4.5 s。聲載荷在板面均勻分布，即垂直入射加載。熱載荷在空間均勻分布，屈曲系數(shù)范圍為0到4，間隔0.2。

文中使用(SX，0，160)，(UZ，0，160)分別表示 S=0、SPL=160 dB時(shí)的X向應(yīng)力和Z向位移。

3.2 薄壁鋁合金板在熱聲載荷下的響應(yīng)和疲勞壽命

采用有限元軟件分析得到鋁合金板在不同熱聲載荷下的位移和應(yīng)力響應(yīng)時(shí)間歷程。熱聲載荷下結(jié)構(gòu)典型的運(yùn)動(dòng)形式包括，常溫時(shí)圍繞初始位置的線性隨機(jī)振動(dòng)，如圖2所示，屈曲前圍繞初始位置的非線性隨機(jī)振動(dòng)，如圖5所示，屈曲后兩個(gè)平衡位置之間的跳變響應(yīng)，如圖8所示，屈曲后圍繞一個(gè)屈曲后平衡位置的非線性隨機(jī)振動(dòng)，如圖11所示。

簡支鋁板中點(diǎn)在不同聲壓級(jí)和屈曲系數(shù)下的X向應(yīng)力有效值如圖14所示。常溫時(shí)，應(yīng)力有效值最低。隨著S的增加，屈曲前結(jié)構(gòu)剛度降低，應(yīng)力RMS隨著S線性增加。屈曲后結(jié)構(gòu)發(fā)生跳變運(yùn)動(dòng)，在頻繁跳變區(qū)域，應(yīng)力RMS隨著S增加。溫度繼續(xù)升高，跳變頻率下降，有效值下降，當(dāng)結(jié)構(gòu)停止跳變后，應(yīng)力有效值重新進(jìn)入上升區(qū)域。

中點(diǎn)在不同屈曲系數(shù)下的X向應(yīng)力的雨流循環(huán)矩陣如圖 3、6、9、12 所示。

常溫時(shí)，結(jié)構(gòu)圍繞初始平衡位置振動(dòng)，應(yīng)力循環(huán)的均值近似為零，圖3中的應(yīng)力循環(huán)塊分布呈短柱狀。

隨著溫度的增加，壓縮熱應(yīng)力作用使結(jié)構(gòu)的剛度下降，響應(yīng)水平提高，應(yīng)力循環(huán)均值下降(絕對(duì)值增大)。與常溫相比，臨界屈曲時(shí)的應(yīng)力循環(huán)幅值明顯增加，循環(huán)塊整體向左下側(cè)移動(dòng)，同時(shí)循環(huán)塊擴(kuò)散，出現(xiàn)很多小幅值循環(huán)，表明此時(shí)的響應(yīng)為寬帶過程，如圖6所示。屈曲后結(jié)構(gòu)頻繁跳變時(shí)，應(yīng)力循環(huán)塊分布總體呈三角狀，分為3塊。左上區(qū)域?qū)?yīng)純跳變運(yùn)動(dòng)，應(yīng)力循環(huán)的幅值大、均值絕對(duì)值小。左下區(qū)域?qū)?yīng)圍繞下凹平衡位置的振動(dòng)，應(yīng)力循環(huán)的均值絕對(duì)值最大，這是由于中點(diǎn)圍繞下凹平衡位置振動(dòng)時(shí)，壓縮熱應(yīng)力疊加了壓縮彎曲應(yīng)力。右上區(qū)域?qū)?yīng)圍繞上凸平衡位置的振動(dòng)，應(yīng)力循環(huán)的均值較小，這是由于鋁板中點(diǎn)圍繞上凸平衡位置振動(dòng)時(shí)，壓縮熱應(yīng)力疊加了拉伸彎曲應(yīng)力，如圖9所示。

當(dāng)溫度足夠高時(shí)，結(jié)構(gòu)停止跳變運(yùn)動(dòng)，圍繞一個(gè)屈曲后平衡位置振動(dòng)。相應(yīng)地，雨流循環(huán)矩陣圖的左上角循環(huán)塊消失，左下角和右上角的循環(huán)塊只存其一，如圖12所示。溫度越高，應(yīng)力循環(huán)的幅值越小，均值越大，循環(huán)塊逐漸向右上方向移動(dòng)。由于同等壓縮載荷造成的損傷要比拉伸載荷小30%。因此后文重點(diǎn)考慮了中點(diǎn)處于拉伸應(yīng)力狀態(tài)時(shí)的響應(yīng)結(jié)果，進(jìn)行保守壽命估算［11］。

采用Morrow TFS和SWT平均應(yīng)力模型對(duì)雨流循環(huán)進(jìn)行等效處理，采用線性損傷累積理論進(jìn)行損傷計(jì)算，得到與雨流循環(huán)矩陣對(duì)應(yīng)的二維雨流循環(huán)損傷矩陣 RFD，如圖 4、7、10、13 所示。由圖 10，13 可以清晰地看出，雖然左上角的大幅值應(yīng)力循環(huán)次數(shù)遠(yuǎn)比右下角的小幅值應(yīng)力循環(huán)次數(shù)少，但造成的循環(huán)損傷卻非常大。

圖8 位移時(shí)間歷程(UZ，1.2，160)Fig.8 Time history(UZ，1.2，160)

圖9 雨流循環(huán)矩陣(SX，1.2，160)Fig.9 RFM(SX，1.2，160)

圖10 雨流循環(huán)損傷矩陣(SX，1.2，160)Fig.10 RFD(SX，1.2，160)

圖11 位移時(shí)間歷程(UZ，1.8，160)Fig.11 Time history(UZ，1.8，160)

圖12 雨流循環(huán)矩陣(SX，1.8，160)Fig.12 RFM(SX，1.8，160)

圖13 雨流循環(huán)損傷矩陣(SX，1.8，160)Fig.13 RFD(SX，1.8，160)

屈曲前，結(jié)構(gòu)承受壓縮平均應(yīng)力，如圖3，4，6，7所示。三種平均應(yīng)力模型估算的差別不大，Morrow TFS模型和Baseline模型的壽命基本相同，說明當(dāng)前平均應(yīng)力模型對(duì)壓縮平均應(yīng)力的影響并不敏感。屈曲后結(jié)構(gòu)處于拉伸應(yīng)力狀態(tài)，且熱平均應(yīng)力較大，如圖12，13所示，SWT模型和Morrow TFS模型的結(jié)果相差較大，說明不同平均應(yīng)力模型對(duì)拉伸應(yīng)力的敏感度差別較大，即SWT等效處理后的零均值循環(huán)幅值更大。SWT估算壽命結(jié)果更加保守。三種模型均預(yù)測頻繁跳變時(shí)的結(jié)構(gòu)壽命最低，并且相差不大，這是由于頻繁跳變時(shí)，應(yīng)力循環(huán)的幅值較大，均值較小，平均應(yīng)力處理的影響很小。采用三種模型得到的壽命估算結(jié)果較高，這是由于隨著溫度的升高，熱平均應(yīng)力不斷增加，當(dāng)接近屈服應(yīng)力時(shí)，沒有考慮高低周復(fù)合疲勞，以及高溫疲勞壽命曲線的影響。

聲載荷對(duì)結(jié)構(gòu)的作用本質(zhì)上是一種空間分布的，并且具有一定頻率分布特性的動(dòng)態(tài)隨機(jī)壓力載荷，超過一定量值后，如聲壓級(jí)超過140 dB，便可能對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生較大激勵(lì)，特別是當(dāng)噪聲的頻率分布特性和結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性相近時(shí)，結(jié)構(gòu)就會(huì)產(chǎn)生顯著的應(yīng)力響應(yīng)。使用SWT模型計(jì)算的不同聲壓級(jí)下的疲勞壽命變化曲線如圖16所示。隨著聲壓級(jí)的增加，結(jié)構(gòu)頻繁跳變的范圍擴(kuò)大，因此圖中的壽命最低點(diǎn)向右移動(dòng)。溫度相同時(shí)，聲壓級(jí)越大，應(yīng)力循環(huán)的幅值越大，壽命自然越短。

圖14 X向應(yīng)力RMS隨著溫度變化Fig.14 RMS of X component of stress at different temperature

圖15 不同平均應(yīng)力模型的疲勞壽命Fig.15 Fatigue life of central node using different models

圖16 SWT模型不同SPL的疲勞壽命Fig.16 Fatigue life at different SPLs using SWT

4 結(jié)論

(1)運(yùn)用雨流循環(huán)矩陣和損傷矩陣可以直觀的分析結(jié)構(gòu)熱聲非線性響應(yīng)和壽命變化規(guī)律。使用RFM可以清晰分辨出不同類型的熱聲響應(yīng)運(yùn)動(dòng)。隨著溫度的增加，應(yīng)力循環(huán)的均值絕對(duì)值逐漸增加。屈曲前應(yīng)力循環(huán)的幅值逐漸增加，屈曲后結(jié)構(gòu)的應(yīng)力循環(huán)幅值逐漸下降。均值相同時(shí)，幅值越大損傷越大。幅值相同，均值越大損傷越大。

(2)熱聲載荷下，薄壁結(jié)構(gòu)的非線性響應(yīng)顯著影響著結(jié)構(gòu)的疲勞壽命。屈曲前，隨著溫度升高，熱應(yīng)力增大，壽命呈降低趨勢;跳變過程中，大幅值應(yīng)力循環(huán)造成的疲勞損傷使得此時(shí)的疲勞壽命達(dá)到最低點(diǎn);跳變結(jié)束后，應(yīng)力循環(huán)均值顯著增大，幅值降低，不同平均應(yīng)力模型的結(jié)果差別較大，隨著溫度升高，Morrow TFS模型估算得到的壽命上升，SWT模型得到的壽命緩慢下降。

(3)不同的平均應(yīng)力模型對(duì)壓縮應(yīng)力均不敏感，因此不同平均應(yīng)力模型得到屈曲前結(jié)構(gòu)的壽命差別不大，但是在拉伸應(yīng)力區(qū)，不同模型差別較大。結(jié)構(gòu)在高溫時(shí)的疲勞壽命變化規(guī)律還需要進(jìn)一步的研究。

［1］吳振強(qiáng)，任 芳，張 偉.飛行器結(jié)構(gòu)熱噪聲試驗(yàn)的研究進(jìn)展［J］.導(dǎo)彈與航天運(yùn)載技術(shù)，2010，2:24-30.

WU Zhen-qiang， REN Fang， ZHANG Wei. Research advances in thermal-acoustic testing of aerocraft structures［J］.Missiles and Space Vehicles，2010，2:24-30.

［2］Mei C.Nonlinear random response of composite panels in an elevated thermal environment［J］. Air Force Research Laboratory AFRL-VA-WP-TR-2000-3049， WPAFB，OH，2000.

［3］ Lee J.Displacement and strain histograms of thermally buckled composite plates in random vibration［C］.In AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures， Structural Dynamics，and Materials Conference and Exhibit，37th.1996，AIAA:Salt Lake City，UT.

［4］ Sha Y D，Gao Z J，Xue F，et al.Influence of thermal loading on the dynamic response of thin-walled structure under thermo-acoustic loading［J］. Applied Mechanics and Materials，2011，2-3:876-881.

［5］沙云東，郭小鵬，張 軍.基于應(yīng)力概率密度和功率譜密度法的隨機(jī)聲疲勞壽命預(yù)估方法研究［J］.振動(dòng)與沖擊，2010，29(1):162-165.

SHA Yun-dong，GUO Xiao-peng，ZHANG Jun.Random sonic fatigue life prediction based on stress probability density and power spectral density method［J］.Vibration and Shock，2010，29(1):162-165.

［6］沙云東，郭小鵬，廖連芳，等.隨機(jī)聲載荷作用下的復(fù)雜薄壁結(jié)構(gòu)VonMises應(yīng)力概率分布研究［J］.振動(dòng)與沖擊，2011，30(1):137-141.

SHA Yun-dong，GUO Xiao-peng，LIAO Lian-fang，et al.Probability distribution of Von Mises stress for complex thinwalled structures undergoing random acoustic loadings［J］.Vibration and Shock，2010，30(1):137-141.

［7］ Sha Y D，Zhang Z，Zhao F T，et al.Estimation of random sonic fatigue life based on peak probability density of von mises stress［J］.Advanced Materials Research，2011，199:913-921.

［8］ Sweitzer K A，F(xiàn)erguson N.Mean stress effects on random fatigue ofnonlinear structures［C］. In the twelfth international congress on sound and vibration，2005:11-14.

［9］ WAFO-A Matlab toolbox for analysis of random waves and loads，Version 2.1.1［M］.The WAFO Group，Lund Institute of Technology，Lund University，2000:343-350.

［10］ Lukas P，Kunz L.Effect of mean stress on cyclic stresssStrain response and high cycle fatigue life［J］.International Journal of Fatigue，1989，11(1):55-58.

［11］ Przekop A，Rizzi S A，Sweitzer K A.An investigation of highcycle fatigue models for metallic structures exhibiting snapthrough response［J］.International Journal of Fatigue，2008，30(9):1579-1598.