一種局域共振型角式聲子晶體梁

舒海生，郜 冶，張 法，高恩武，李世丹，董立強(qiáng)

(哈爾濱工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院702所，哈爾濱 150001)

局域共振型聲子晶體能夠?qū)崿F(xiàn)小尺寸控制大波長(zhǎng)，在工程減振領(lǐng)域具有十分重要的應(yīng)用前景［1］。很多研究者［2－9］已經(jīng)開(kāi)展了從一維到三維的局域共振型聲子晶體的研究，這些研究主要是針對(duì)不同的局域振子形狀和材料以及不同的振動(dòng)形式進(jìn)行了分析，取得了很多重要的結(jié)論。在現(xiàn)有的一維聲子晶體件的研究［5－10］中，大多是針對(duì)梁進(jìn)行帶隙計(jì)算和減振研究，一般只考慮單個(gè)方向的激擾，因而事實(shí)上是將其作為一維減振結(jié)構(gòu)來(lái)分析的。工程實(shí)際中的激擾往往是多方向的，往往需要對(duì)多個(gè)自由度的振動(dòng)激擾加以隔離或抑制，因此構(gòu)造合理的聲子晶體結(jié)構(gòu)來(lái)獲得多維減振性能顯然具有十分重要的實(shí)際意義。本文首先通過(guò)分析局域共振型聲子晶體梁的帶隙特性和傳遞率曲線，說(shuō)明了直梁僅具有二維減振能力，因而不能滿足多維減振需求，然后提出了一類(lèi)角式局域共振型聲子晶體梁結(jié)構(gòu)，并進(jìn)行了傳遞矩陣推導(dǎo)和數(shù)值求解，結(jié)果對(duì)比表明了該角式聲子晶體梁能夠通過(guò)縱波和橫波之間的波型轉(zhuǎn)化，使得橫向振動(dòng)帶隙的強(qiáng)衰減和寬頻帶特性得到有效的利用，最終實(shí)現(xiàn)了三維減振。

1 局域共振型聲子晶體梁的振動(dòng)帶隙

梁的單個(gè)周期結(jié)構(gòu)如圖1所示，材料參數(shù)如下:

鋁:密度2 799 kgm－3;楊氏模量 7.21e10 Pa;泊松比0.345 1。

硫化橡膠:密度1 300 kgm－3;楊氏模量1e6 Pa;泊松比 0.470 6。

銅:密度8 950 kgm－3;楊氏模量16.46e10 Pa;泊松比0.093。

圖1 聲子晶體梁?jiǎn)蝹€(gè)周期結(jié)構(gòu)Fig.1 Single period structure of straight beam of phononic crystals

由該周期單元構(gòu)成的無(wú)限長(zhǎng)聲子晶體梁的縱向振動(dòng)和橫向振動(dòng)的傳播特性均可采用傳遞矩陣法分析，結(jié)合周期結(jié)構(gòu)的Bloch定理，即可得到標(biāo)準(zhǔn)特征值問(wèn)題如下［1］:

其中:T為縱向振動(dòng)傳遞矩陣或橫向振動(dòng)傳遞矩陣，I為2×2(縱向)或4×4(橫向)的單位矩陣。

對(duì)于給定頻率ω，即可求出相應(yīng)的波矢q，根據(jù)其是否為實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)即可得到無(wú)限長(zhǎng)聲子晶體梁振動(dòng)波的能帶結(jié)構(gòu)。

對(duì)于有限長(zhǎng)的聲子晶體梁，為計(jì)算其橫向和縱向振動(dòng)帶隙，有限元方法是十分方便的。為此，將所建立的如圖2所示的5周期梁模型導(dǎo)入到Ansys/workbench中進(jìn)行諧響應(yīng)分析，分別在梁的一端加載軸向和橫向諧位移激勵(lì)，在另一端測(cè)量相應(yīng)的位移信號(hào)，經(jīng)計(jì)算獲得了如圖3、4所示的縱向振動(dòng)傳遞率曲線和橫向振動(dòng)傳遞率曲線。

圖2 聲子晶體梁三維模型Fig.2 3 － Dimensional model of straight beam of phononic crystals

圖3 聲子晶體梁的縱向振動(dòng)傳遞率Fig.3 Longitudinal vibration transmissibility of straight beam of phononic crystals

圖4 聲子晶體梁的橫向振動(dòng)傳遞率Fig.4 Transverse vibration transmissibility of straight beam of phononic crystals

很明顯，在0～1 000 Hz范圍內(nèi)，梁的縱向振動(dòng)帶隙出現(xiàn)在170～180 Hz這個(gè)很窄的頻帶，且該范圍內(nèi)的衰減極為有限，僅為－1 dB左右。對(duì)橫向振動(dòng)而言，該梁的帶隙出現(xiàn)在360～900 Hz，頻帶較寬，衰減很強(qiáng)，一般在－20 dB以上，因而該橫向帶隙具有較好的工程減振能力。

事實(shí)上，采用此類(lèi)聲子晶體梁作為結(jié)構(gòu)件或隔振件時(shí)，只能實(shí)現(xiàn)二維減振(此處只考慮平動(dòng)自由度)，即垂直于梁軸線的平面內(nèi)的兩個(gè)正交方向的橫向振動(dòng)可以在同一頻帶(此處即為360～900 Hz)得到有力的抑制，而沿著梁軸線方向的縱向振動(dòng)卻很難在同一頻帶內(nèi)也獲得有效的衰減，其主要原因一方面在于基體梁的縱向剛度遠(yuǎn)大于橫向剛度，因而縱向帶隙衰減量一般遠(yuǎn)小于橫向帶隙衰減量，另一方面在于局域振子設(shè)計(jì)時(shí)的縱振固有頻率和橫振固有頻率也往往很難調(diào)整到同一區(qū)間。工程中的外界激擾往往是多方向的，既有橫向激擾分量，也有縱向激擾分量，因此使用梁進(jìn)行振動(dòng)抑制往往不能有效地滿足實(shí)際多維減振需求。

2 角式聲子晶體梁的振動(dòng)傳遞矩陣分析

圖5給出了角式聲子晶體梁模型，該模型由兩段聲子晶體梁組成，上梁與下梁呈固定夾角布置。當(dāng)下梁內(nèi)傳播的縱波到達(dá)兩梁交匯點(diǎn)時(shí)，將被部分轉(zhuǎn)化為相應(yīng)頻率的橫波，并在上梁內(nèi)繼續(xù)傳播到遠(yuǎn)端;反之，下梁內(nèi)的橫波前進(jìn)到交匯點(diǎn)時(shí)也將被部分轉(zhuǎn)化為相應(yīng)頻率的縱波，并在上梁內(nèi)繼續(xù)傳播。顯然，從下梁自由端進(jìn)入的任意方向的外界激擾將不可避免地形成上梁或下梁的橫向振動(dòng)，因此可以預(yù)見(jiàn)具有很強(qiáng)振動(dòng)抑制能力的橫向帶隙必定能夠發(fā)揮其作用，從而將減振能力從二維拓展到三維。

對(duì)下梁(梁1)，將坐標(biāo)系原點(diǎn)選在自由端時(shí)，面內(nèi)橫向振動(dòng)和縱向振動(dòng)的傳遞關(guān)系可以表示為:

其中:T、R分別為對(duì)應(yīng)聲子晶體直梁的橫振和縱振傳遞矩陣，n為周期數(shù)，、分別為梁1起止周期段上的橫振解的振型函數(shù)系數(shù)列陣(4×1)，、分別為梁1起止周期段上的縱振解的振型函數(shù)系數(shù)列陣(2×1)。

圖5 角式局域共振型聲子晶體梁Fig.5 Locally resonant angle type beam of phononic crystals

類(lèi)似地，將坐標(biāo)系原點(diǎn)選在交叉點(diǎn)C處時(shí)，對(duì)上梁(梁2)也存在下述傳遞關(guān)系(此處的上下梁設(shè)為相同結(jié)構(gòu)):

在交叉點(diǎn)C處應(yīng)滿足以下協(xié)調(diào)方程:

(1)位移協(xié)調(diào)條件:

(2)轉(zhuǎn)角協(xié)調(diào)條件:

(3)應(yīng)力協(xié)調(diào)條件:

其中:a為周期長(zhǎng)度，A為梁的橫截面積。

(4)彎矩協(xié)調(diào)條件:

協(xié)調(diào)方程(4)～(9)可簡(jiǎn)寫(xiě)為矩陣式KΦn=KΦ1，其中:

限于篇幅，此處不再列出K和H。

由此可得到兩梁在交叉點(diǎn)處的傳遞關(guān)系:

其中波型轉(zhuǎn)化矩陣Γ=H－1K。

聯(lián)立式(2)、(3)、(10)可得:

其中:角梁的總傳遞矩陣為:

式(12)給出了該角式聲子晶體梁兩端彈性波(包括縱波和橫波)輸出與輸入之間的傳遞轉(zhuǎn)換關(guān)系。

針對(duì) θ=60°、90°、120°三種不同夾角情況采用matlab軟件進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算。在橡膠環(huán)的徑向和軸向剛度的確定時(shí)，由于文獻(xiàn)［1］中所給出的橡膠等效徑向剛度計(jì)算公式為近似計(jì)算，當(dāng)橡膠環(huán)寬度較大時(shí)，誤差較大，此外該公式也不能用于計(jì)算軸向剛度，因而此處采用了Ansys靜力學(xué)計(jì)算方法來(lái)確定，其中徑向剛度為:k1=2.611 5 ×105N/m，軸向剛度為:k2=5.288 5×105N/m。

圖6～圖11給出了角梁在豎直和水平方向的傳遞率分析結(jié)果，不難看出θ=60°時(shí)角梁只對(duì)豎直方向有明顯的減振效果，而對(duì)水平方向的減振效果很弱;θ=120°時(shí)角梁只對(duì)水平方向有明顯的減振效果，而對(duì)豎直方向的減振效果很弱，而θ=90°的角梁對(duì)豎直和水平兩個(gè)方向綜合減振效果最好，除去550 Hz和850 Hz的共振峰，在360～530 Hz，570～840 Hz，870～950 Hz不論在豎直和水平方向均具有較強(qiáng)的振動(dòng)衰減。事實(shí)上該結(jié)果也是容易理解的，這是因?yàn)樵诜侵苯乔闆r下，上下梁之間的波型轉(zhuǎn)換是不充分的，因而橫向帶隙的強(qiáng)衰減作用總是偏向于豎直方向(銳角時(shí))或水平方向(鈍角時(shí))，從極限角度(0°和180°)情況也不難體會(huì)到這一點(diǎn)。為此，在后面的Ansys分析中將進(jìn)一步著重考察θ=90°的角梁。

圖6 加載豎直位移激勵(lì)時(shí)90°角梁的傳遞率Fig.6 Transmissibility of right-angle type beam being loaded vertical displacement excitation

圖7 加載水平位移激勵(lì)時(shí)90°角梁的傳遞率Fig.7 Transmissibility of right-angle type beam being loaded horizontal displacement excitation

圖8 加載豎直位移激勵(lì)時(shí)60°角梁的傳遞率Fig.8 Transmissibility of 60-angle type beam being loaded vertical displacement excitation

圖9 加載水平位移激勵(lì)時(shí)60°角梁的傳遞率Fig.9 Transmissibility of 60 － angle type beam being loaded horizontal displacement excitation

圖10 加載水平豎直位移激勵(lì)時(shí)120°角梁的傳遞率Fig.10 Transmissibility of 120-angle type beam being loaded vertical displacement excitation

圖11 加載水平位移激勵(lì)時(shí)120°角梁的傳遞率Fig.11 Transmissibility of 120-angle type beam being loaded horizontal displacement excitation

圖12 加載豎直位移激勵(lì)時(shí)角梁的傳遞率Fig.12 Transmissibility of angle type beam being loaded vertical displacement excitation

3 角式聲子晶體梁的有限元振動(dòng)分析

首先考察豎直方向加載情況，在梁1下端給定豎直方向的諧位移激勵(lì)，分別測(cè)量梁2上端豎直方向和水平方向(紙面內(nèi))的位移，傳遞率計(jì)算結(jié)果如圖12所示。

該傳遞率曲線與數(shù)值計(jì)算結(jié)果(圖6)是基本吻合的，除了由于結(jié)構(gòu)的改變引入了兩個(gè)額外的共振峰(550 Hz和850 Hz)之外，在對(duì)應(yīng)梁的整個(gè)橫向帶隙內(nèi)，無(wú)論是在豎直方向還是在水平方向，均具有較好的減振效果，其范圍是:360～530 Hz，570～840 Hz，870～950 Hz，衰減量在－10～－20 dB之間。此外由于梁1與梁2形成了“彈簧－質(zhì)量”減振系統(tǒng)，因此在帶隙范圍之外的低頻區(qū)間幾個(gè)窄頻帶內(nèi)如210～260 Hz豎直方向也能獲得一定程度上的減振能力，但可能導(dǎo)致水平方向振動(dòng)較為突出。圖13和圖14分別給出了橫向帶隙起止頻率處的角梁振動(dòng)情況。在帶隙起始頻率處，基體梁基本不動(dòng)，各局域振子振動(dòng)方向反相;而在帶隙截止頻率處，各局域振子基本不動(dòng)，基體整體作橫向振動(dòng)。

圖13 豎直方向加載時(shí)360 Hz處的角梁振動(dòng)情況處Fig.13 Vibration of angle type beam at 360 Hz being loaded vertically

其次在梁1下端沿著水平方向(紙面內(nèi))加載，分別測(cè)量梁2上端豎直方向和水平方向的位移，計(jì)算所得的傳遞率如圖15所示。

圖14 豎直方向加載時(shí)960 Hz的角梁振動(dòng)情況Fig.14 Vibration of angle type beam at 960 Hz being loaded vertically

圖15 加載水平位移激勵(lì)時(shí)角梁的傳遞率Fig.15 Transmissibility of angle type beam being loaded horizontal displacement excitation

圖16 水平方向加載時(shí)360 Hz處的角梁振動(dòng)情況Fig.16 Vibration of angle type beam at 360Hz being loaded horizontally

圖15表明，在對(duì)應(yīng)梁橫向帶隙范圍內(nèi)，除了550 Hz和850 Hz兩處結(jié)構(gòu)共振峰影響到了衰減外，無(wú)論是水平方向還是豎直方向，總體上也獲得了較好的減振性能。類(lèi)似地，通帶范圍內(nèi)的低頻區(qū)(40～140 Hz;220～260 Hz)的減振性能也來(lái)自于兩梁構(gòu)成的“彈簧－振子”振系，其中40～140Hz范圍內(nèi)的減振效果在兩個(gè)方向上均能得到保證，并且衰減較大。該結(jié)果與數(shù)值分析結(jié)果(圖7)也是一致的。圖16和圖17給出了起止頻率處的振動(dòng)情況，局域振子和基體的行為與豎直加載時(shí)的情況也是類(lèi)似的，這也進(jìn)一步表明了角梁受到豎直和水平方向(面內(nèi))上的激擾時(shí)確實(shí)能夠通過(guò)波型的轉(zhuǎn)化從而使得兩梁的橫向帶隙得到較為充分的利用。

圖17 水平方向加載時(shí)960 Hz處的角梁振動(dòng)情況Fig.17 Vibration of angle type beam at 960 Hz being loaded horizontally

4 結(jié)論

針對(duì)局域共振型聲子晶體梁和一類(lèi)角式聲子晶體梁的振動(dòng)進(jìn)行了傳遞矩陣法的數(shù)值計(jì)算，并采用有限元方法計(jì)算了3個(gè)平動(dòng)方向的振動(dòng)傳遞率，對(duì)比分析結(jié)果表明:

(1)所設(shè)計(jì)的局域共振型聲子晶體梁在0～1 000 Hz內(nèi)具有較寬較強(qiáng)的橫向振動(dòng)帶隙和較窄較弱的縱向振動(dòng)帶隙，分別位于170～180 Hz和360～900 Hz。聲子晶體梁可以很好地抑制梁軸線法平面內(nèi)的2維橫向振動(dòng)，但同一頻帶內(nèi)軸線方向的縱向振動(dòng)卻很難獲得有效的衰減，因而只具有二維減振能力;

(2)針對(duì)所設(shè)計(jì)的角式聲子晶體梁，90°夾角型式綜合減振效果強(qiáng)于60°和120°型式，在豎直方向和水平方向加載時(shí)，在除去兩處結(jié)構(gòu)共振峰(550 Hz和850 Hz)之外的橫向振動(dòng)帶隙范圍內(nèi)(即360～530 Hz，570～840 Hz，870～950 Hz)均具有較強(qiáng)的振動(dòng)衰減;在法線方向加載時(shí)，由于局域振子周期數(shù)的增加，在全帶隙內(nèi)均具有十分顯著的衰減;

(3)角式聲子晶體梁能夠通過(guò)波型轉(zhuǎn)化作用將縱向振動(dòng)轉(zhuǎn)化為同頻率的橫向振動(dòng)，從而有效地利用了橫向帶隙的強(qiáng)衰減作用和寬頻帶特性，實(shí)現(xiàn)了三維減振。

［1］溫熙森，溫激鴻，郁殿龍，等.聲子晶體［M］.北京:國(guó)防工業(yè)出版社，2009.

［2］Parobas I E，Sigalas M M.Elastic band gaps in a fcc lattice of mercury spheres in aluminum［J］.Phys.Rev.B，2002，66(5):052302.

［3］Liu Z，Chan C T，Sheng P.Analytic model of phononic crystals with local resonances［J］.Phy.Rev.B，2005，71(1):014103.

［4］Goffaux C，Sanchez-Dehesa J.Two-dimensional phononic crystals studied using a variational method:Application to lattices of locally resonant materials［J］.Phys.Rev.B，2003，67(14):144301.

［5］王 剛.聲子晶體局域共振帶隙機(jī)理及減振特性研究［D］.長(zhǎng)沙:國(guó)防科技大學(xué)，2006.

［6］Wang G，Wen X S，Wen J H，et al.Quasi one-dimensional periodic structure with locally resonant band gap［J］.ASME Journal of Applied Mechanics，2006，73(1):167 －169.

［7］宋卓斐，王自東，王艷林，等.一維桿狀聲子晶體的帶隙特性［J］.振動(dòng)與沖擊，2010，29(2):145 －148.SONG Zhuo-fei，WANG Zi-dong，WANG Yan-lin，et al.The characteristic of stop-band of a kind phononic crystal rod［J］.Journal of Vibration and Shock，2010，29(2):145－148.

［8］王 剛，溫激鴻，溫熙森，等.細(xì)直梁彎曲振動(dòng)中的局域共振帶隙［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2005，41(10):107 －110.WANG Gang，WEN Ji-hong，WEN Xi-sen，et al.Locally resonant elastic wave band gaps in flexural vibrations of slender beams［J］.Journal of Mechanical Engineering，2005，41(10):107 －110.

［9］劉耀宗，孟 浩，李 黎，等?；谶z傳算法的聲子晶體梁振動(dòng)傳輸特性優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］.振動(dòng)與沖擊，2008，27(9):47－50.LIU Yao-zong，MENG Hao，LI Li，et al.Optimal design of vibrational transimission of sonic crystal beam based on genetical algorithm［J］.Journal of Vibration and Shock，2008，27(9):47 －50.

［10］Asiri S，Baz A，Pines D.Active periodic struts for a gearbox support system ［J］. SmartMaterialsAnd Structures，2006(15):1707－1714.