基于符號(hào)時(shí)間序列方法的多尺度股指波動(dòng)分析

徐 梅，奚丹丹

(天津大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部，天津 300072)

股票市場(chǎng)的波動(dòng)性意味著市場(chǎng)中存在不確定性和風(fēng)險(xiǎn)，全面、正確認(rèn)識(shí)股市波動(dòng)，對(duì)于市場(chǎng)投資者和監(jiān)管者都有著重要的意義。鑒于金融市場(chǎng)的非線性特性，分形、混沌分析、符號(hào)時(shí)間序列分析(symbolic time series analysis，STSA)等非線性方法也被引入波動(dòng)的分析中。

STSA方法廣泛地應(yīng)用在自然科學(xué)和工程領(lǐng)域，而在經(jīng)濟(jì)金融領(lǐng)域的應(yīng)用剛剛起步［1-6］。文獻(xiàn)［7］提出了基于符號(hào)時(shí)間序列分析的資產(chǎn)收益分析方法，能識(shí)別收益變化的主要模式，并實(shí)現(xiàn)對(duì)收益水平的預(yù)測(cè)，該方法也可用于波動(dòng)序列的分析與預(yù)測(cè)。但該方法是從序列的整體性出發(fā)，沒(méi)有考慮不同投資者的不同需求，如有些投資者可能關(guān)注短期的波動(dòng)變化，而有些則對(duì)長(zhǎng)期的波動(dòng)變化更感興趣。小波分析通過(guò)伸縮和平移能進(jìn)行多分辨分析，區(qū)分不同時(shí)間尺度的不同變化，為各類(lèi)投資者提供更精確的參考。

筆者將小波多分辨分析與STSA方法相結(jié)合，利用離散小波變換及其逆變換，將波動(dòng)時(shí)間序列在多個(gè)尺度上分解，提取不同尺度的細(xì)節(jié)。對(duì)不同細(xì)節(jié)分量，采用STSA方法，確定其主要模式和異常模式，比較與原序列模式的異同。用該方法對(duì)上證綜指與深證成指兩個(gè)指數(shù)的波動(dòng)序列進(jìn)行實(shí)證分析，以驗(yàn)證該方法的可行性和有效性。

1 小波多分辨分析

在實(shí)際應(yīng)用分析中，時(shí)間序列通常是離散型數(shù)據(jù)，因此通常采用離散小波變換，大多數(shù)采用的小波函數(shù)為:

式中:m為尺度函數(shù);n為平移系數(shù);ψm，n(t)為小波函數(shù)。

根據(jù)文獻(xiàn)［8］，L2(R)為平方可積函數(shù)集合，對(duì)于任意x(t)∈L2(R)可表示為:

式中，Wm，n= ∫x(t)ψm，n(t)dt為小波系數(shù)。對(duì)應(yīng)m0級(jí)分解，用矩陣可表示為:

式中:W= [W1，W2，…，Wm0，Vm0]T;w=[w1，w2，…，wm0，vm0]T;Wm為第m級(jí)小波系數(shù)向量;wm為對(duì)應(yīng)m級(jí)小波變換系數(shù)矩陣，為Nm×N維矩陣;Vm0為m0級(jí)以上小波系數(shù)總和;vm0為Nm0×N維矩陣。

則有:

式(3)和式(4)定義了 X的多分辨分析(multi-resolution analysis，MRA)，Dm為 X 在對(duì)應(yīng)尺度τm的變化，稱(chēng)為m級(jí)細(xì)節(jié)分量;Sj(j=1，2，…，m0)為對(duì)應(yīng)尺度 λj的j級(jí)平滑，表示 τj+1及以上尺度的細(xì)節(jié)與平滑之和。

2 符號(hào)時(shí)間序列分析

原序列經(jīng)過(guò)小波多分辨分析，得到各級(jí)細(xì)節(jié)，展示了波動(dòng)序列不同尺度上對(duì)應(yīng)的變化，對(duì)各級(jí)細(xì)節(jié)進(jìn)行符號(hào)化分析，可以更準(zhǔn)確地把握不同尺度的變化規(guī)律。

數(shù)據(jù)符號(hào)化將數(shù)據(jù)用僅有的幾個(gè)符號(hào)表示，從而降低噪聲對(duì)統(tǒng)計(jì)算法的影響。對(duì)于給定時(shí)間序列{xt}，符號(hào)集大小為 n，引入劃分 P={P1，P2，…，Pn-1}，將數(shù)據(jù)集劃分為n個(gè)區(qū)間，采用統(tǒng)一劃分方法，使每一個(gè)區(qū)間包含元素?cái)?shù)量基本相等，每個(gè)區(qū)間用一個(gè)符號(hào)Sr(r=1，2，…，n)表示，如用符號(hào)集{0，1，2，…，n-1 }標(biāo)記，將{xt}轉(zhuǎn)化為符號(hào)序列{st}。

符號(hào)序列生成后，每個(gè)連續(xù)提取長(zhǎng)度為L(zhǎng)的子序列表示序列中某種確定的變化模式。如在分析波動(dòng)序列時(shí)，取子序列長(zhǎng)度L=4，符號(hào)集大小n=3，符號(hào)0、1、2表示低、中、高3種波動(dòng)水平，則變化模式2012表示在4個(gè)連續(xù)的時(shí)間點(diǎn)上，依次為高波動(dòng)、低波動(dòng)、中波動(dòng)、高波動(dòng)。定義變化模式的支持?jǐn)?shù)為對(duì)應(yīng)子序列在時(shí)間序列中的頻數(shù)。那么，對(duì)于完全隨機(jī)序列，每個(gè)變化模式的支持?jǐn)?shù)是相等的，反之，支持?jǐn)?shù)的明顯偏移反映序列在一定程度上的確定性。符號(hào)時(shí)間序列分析以支持?jǐn)?shù)作為統(tǒng)計(jì)量，支持?jǐn)?shù)較大的變化模式是序列的主要變化模式。同時(shí)，需要注意的是，時(shí)間序列的異常在某種程度上對(duì)后續(xù)的走勢(shì)影響更大，因此時(shí)間序列的異常也是筆者研究的內(nèi)容之一。按照異常的表現(xiàn)形式不同，時(shí)間序列的異常包括序列異常、點(diǎn)異常及模式異常，其中模式異常是在一條時(shí)間序列上與其他模式存在顯著差異、具有異常行為的模式［9］。筆者研究的異常是時(shí)間序列的模式異常，異常模式在時(shí)間序列中出現(xiàn)概率較小，也就是支持?jǐn)?shù)較低的變化模式。換句話說(shuō)，支持?jǐn)?shù)較低的變化模式，可以確定為時(shí)間序列的異常模式。針對(duì)原序列與各不同細(xì)節(jié)分量進(jìn)行主要模式與異常模式的比較與分析，反映了不同尺度上的變化規(guī)律。

3 “已實(shí)現(xiàn)”波動(dòng)的多尺度符號(hào)分析

選取上海證券交易所綜合指數(shù)(簡(jiǎn)稱(chēng)上證綜指)和深圳證券交易所成分指數(shù)(簡(jiǎn)稱(chēng)深證成指)的每5分鐘收盤(pán)價(jià)作為樣本序列，由這兩個(gè)序列分別代表中國(guó)兩個(gè)股票市場(chǎng)的價(jià)格。上證綜指序列記為{P1t}，時(shí)間段為1991/07/26—2010/12/31，共132484個(gè)樣本數(shù)據(jù);深證成指序列記為{P2t}，時(shí)間段為 1991/07/26—2010/12/31，共132592個(gè)樣本數(shù)據(jù)。首先由樣本數(shù)據(jù)計(jì)算股指的“已實(shí)現(xiàn)”波動(dòng)序列，再采用小波多分辨分析得到“已實(shí)現(xiàn)”波動(dòng)序列的各級(jí)細(xì)節(jié)，將各級(jí)細(xì)節(jié)符號(hào)化，分析不同尺度上的主要模式與異常模式。

3.1 “已實(shí)現(xiàn)”波動(dòng)

“已實(shí)現(xiàn)”波動(dòng)(realized volatility，RV)是ANDERSEN等在金融高頻時(shí)間序列的基礎(chǔ)上提出的一種波動(dòng)率度量方法［10］。通常RV為金融資產(chǎn)日內(nèi)收益平方之和［11］，可表示為:

其中:rt，j為金融資產(chǎn)的日內(nèi)收益;M為在[t，t+1]時(shí)間段內(nèi)等間隔的采樣次數(shù)。由此，得到上證綜指、深證成指的“已實(shí)現(xiàn)”波動(dòng)序列分別記為{RV1t}、{RV2t}，長(zhǎng)度分別為2760和2768。

3.2 “已實(shí)現(xiàn)”波動(dòng)序列的小波多分辨分析

根據(jù)式(4)對(duì){RV1t}、{RV2t}進(jìn)行小波多分辨分析，取 j=4 ，第 m(m=1，2，…，4) 級(jí)細(xì)節(jié)Dm對(duì)應(yīng)的時(shí)間尺度為τm=2m-1，因此，D1～D4所對(duì)應(yīng)的尺度分別為1、2、4、8個(gè)交易日。1、2個(gè)交易日對(duì)應(yīng)于短期投資者，4、8個(gè)交易日由于時(shí)間跨度為一周和兩周，對(duì)應(yīng)中長(zhǎng)期投資者。采用haar小波，得到每一級(jí)的細(xì)節(jié)分量。

圖1為上證綜指{RV1t}小波(4層)多分辨分析圖。其中:s為原序列;a4為第4級(jí)平滑，反映了原序列的趨勢(shì)概貌;di(i=1，2，…，4)為第i級(jí)細(xì)節(jié)，反映了對(duì)應(yīng)尺度下RV的變化。同樣，對(duì)深證成指{RV2t}進(jìn)行多分辨分析，也可得到各級(jí)細(xì)節(jié)。

3.3 “已實(shí)現(xiàn)”波動(dòng)細(xì)節(jié)分量的符號(hào)分析

給定序列{xt}，采用統(tǒng)一劃分法，選取符號(hào)集大小n=3，用x1/3、x2/3分別表示1/3分位數(shù)和2/3分位數(shù)，作為劃分3個(gè)區(qū)間的閾值，轉(zhuǎn)化為符號(hào)序列{st}，即:

圖1 上證綜指RV1t小波(4層)多分辨分析圖

對(duì)于{RV1t}、{RV2t}以及各自的4級(jí)細(xì)節(jié)分量分別按式(6)轉(zhuǎn)化為符號(hào)序列。符號(hào)0、1、2分別表示RV處于低、中、高3個(gè)不同的波動(dòng)水平。

根據(jù)文獻(xiàn)［7］選擇字長(zhǎng)的方法確定子序列長(zhǎng)度L，令L從1開(kāi)始增加，計(jì)算改進(jìn)Shannon熵值，計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 符號(hào)序列的改進(jìn)Shannon熵值

基于與文獻(xiàn)［7］同樣地考慮統(tǒng)計(jì)結(jié)果的可靠性，雖然熵值沒(méi)有達(dá)到最小值，對(duì)每個(gè)細(xì)節(jié)符號(hào)序列都取L=4。由表1結(jié)果可知，在相同尺度上，對(duì)比上證綜指與深證成指各個(gè)細(xì)節(jié)分量熵值，發(fā)現(xiàn)對(duì)于所有的L取值，深證成指細(xì)節(jié)分量d1、d2、d3的熵值都略大于上證綜指對(duì)應(yīng)分量的熵值，這說(shuō)明以1、2、4天為尺度，深市RV序列中各種變化模式出現(xiàn)的概率更接近，隨機(jī)性更強(qiáng);滬市RV序列中主要變化模式更明顯，確定性強(qiáng)于深市。對(duì)比原序列，{RV1t}的熵值卻大于{RV2t}，表明作為一個(gè)整體，滬市RV序列的確定性更大，深市RV序列的隨機(jī)性更強(qiáng)，說(shuō)明進(jìn)行多尺度分析是有必要的。

3.4 主要模式與異常模式分析

改進(jìn)Shannon熵從總體上反映了序列中各種變化模式出現(xiàn)的情況。選取子序列長(zhǎng)度L=4，統(tǒng)計(jì)得出各個(gè)子序列的不同的頻數(shù)。頻數(shù)越大，則子序列對(duì)應(yīng)的變化模式的支持?jǐn)?shù)越大，表明該變化模式是序列的主要模式;相反，支持?jǐn)?shù)越小，則變化模式是序列的異常模式。

{RV1t}、{RV2t}及其各級(jí)細(xì)節(jié)的主要模式、異常模式、對(duì)應(yīng)的支持?jǐn)?shù)列于表2中。由表2的統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以看到，各級(jí)細(xì)節(jié)分量的主要模式與異常模式皆不同于原RV序列。1～4級(jí)細(xì)節(jié)分量對(duì)應(yīng)的尺度分別是1、2、4、8天。根據(jù)各個(gè)細(xì)節(jié)分量得出不同的結(jié)果，短期投資者應(yīng)關(guān)注1、2天為尺度的主要模式和異常模式，中長(zhǎng)期投資者應(yīng)更側(cè)重于4、8天為尺度的分析結(jié)果。在1、2、4天的尺度上，主要模式1111都占據(jù)了重要的地位，說(shuō)明大多數(shù)連續(xù)4天都是中等波動(dòng)水平。在8天的尺度上，0000模式與2222模式比1111模式更占優(yōu)勢(shì)，更傾向于與原序列的主要模式一致。由此，尺度越大，主要模式的分析結(jié)果與原序列越接近。異常模式雖然發(fā)生的可能性較小，但是影響卻有可能是極大的。原序列的異常模式較多，尺度越小，異常模式越少，隨著尺度的增加，異常模式越來(lái)越多，特別是未出現(xiàn)的異常模式。這是因?yàn)槌叨仍黾又螅雎缘募?xì)節(jié)增加，使得上證綜指和深證成指的RV都有了更多的未出現(xiàn)模式，這些未出現(xiàn)的變化模式幾乎都包括了低、中、高3種波動(dòng)水平，變化模式較復(fù)雜，因此在忽略更多細(xì)節(jié)的情況下，市場(chǎng)并沒(méi)有表現(xiàn)出相關(guān)的波動(dòng)變化。出現(xiàn)次數(shù)極少的異常模式通常與一些影響市場(chǎng)波動(dòng)的重要事件相關(guān)，表3列出了小尺度下異常模式出現(xiàn)的時(shí)間及其對(duì)應(yīng)的事件。在大尺度下，由于有些事件的影響是長(zhǎng)期的，因此異常模式出現(xiàn)的時(shí)間與事件較難準(zhǔn)確對(duì)應(yīng)。

表2 RV與各級(jí)細(xì)節(jié)序列的主要模式與異常模式

表3 異常模式與對(duì)應(yīng)事件

4 結(jié)論

筆者首先根據(jù)小波的多分辨分析，將RV序列分解為不同尺度的細(xì)節(jié)分量，對(duì)原序列及不同的細(xì)節(jié)分量采用STSA方法，根據(jù)改進(jìn)Shannon熵的計(jì)算結(jié)果選擇子序列長(zhǎng)度L，由子序列的支持?jǐn)?shù)辨別不同尺度上的主要模式和異常模式。該方法簡(jiǎn)明直觀，從不同尺度反映波動(dòng)變化的規(guī)律，為不同投資者的投資決策和風(fēng)險(xiǎn)管理提供了參考。

對(duì)中國(guó)股票市場(chǎng)的上證綜指、深證成指RV序列進(jìn)行了實(shí)證分析，采用haar小波4層分解，選取符號(hào)集n=3和子序列長(zhǎng)度L=4，確定了各指數(shù)RV序列的不同尺度上的主要模式與異常模式。實(shí)證分析驗(yàn)證了該方法的可行性和有效性，并得出了相關(guān)結(jié)論:不同細(xì)節(jié)分量對(duì)應(yīng)不同的尺度，短期投資者應(yīng)關(guān)注小尺度細(xì)節(jié)分量的分析結(jié)果，中長(zhǎng)期投資者應(yīng)關(guān)注大尺度細(xì)節(jié)分量的分析結(jié)果，因此，多尺度分析可為不同類(lèi)型的投資者提供參考;尺度越大，主要模式越明顯，異常模式越多，特別是未出現(xiàn)的異常模式，且分析結(jié)果越傾向于與原序列一致;出現(xiàn)次數(shù)極少的異常模式通常與一些影響市場(chǎng)波動(dòng)的重要事件相關(guān)，尺度越小，異常模式與事件的對(duì)應(yīng)越明確;筆者是以“已實(shí)現(xiàn)”波動(dòng)序列作為研究對(duì)象，該方法同樣也可以應(yīng)用于其他金融時(shí)間序列的分析。

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