多楔帶傳動系統(tǒng)特征值靈敏度分析*

李傳兵，伍 村，胡玉梅，，彭 紅，劉 進

(1.汽車噪聲振動和安全技術國家重點實驗室，重慶 400039;2.重慶大學，機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044)

前言

單根多楔帶傳動廣泛應用于發(fā)動機的前端輪系中，用來驅動發(fā)電機、空調和轉向助力泵等附屬設備。這個系統(tǒng)的一個主要特點是引入了一個自動張緊器，能自動補償張力的損失，使帶段中的張力保持穩(wěn)定，以提高系統(tǒng)的動態(tài)性能。

單根多楔帶傳動系統(tǒng)在過去20年中被廣泛應用，對其振動的研究很多，大多只考慮帶輪的旋轉振動［1-3］，采用比較簡單的離散模型。但也有學者開始采用更精確的模型，除帶輪旋轉振動外，還研究帶的橫向振動和連續(xù)帶與離散輪之間的耦合振動［4-6］。以上模型都把帶簡化為弦，但近年來，已有人將帶簡化為縱向運動的伯努利-歐拉梁，建立了輪-帶梁耦合振動模型［7-8］。

在特征值靈敏度方面，文獻［9］中基于文獻［4］建立的模型與求解方法，推導了便于直接求解的系統(tǒng)固有頻率對于張緊機構各設計參數(shù)的靈敏度控制方程。文獻［10］中推導了一個N輪多楔帶傳動系統(tǒng)的特征值靈敏度的通用表達式，然后在坐標轉化中加入路徑搜索以提高搜索效率，并以帶段橫向位移和帶輪振動角位移最小為目標函數(shù)進行系統(tǒng)的優(yōu)化。結果表明，優(yōu)化后系統(tǒng)振動明顯減小。文獻［11］中基于文獻［5］建立的模型與求解方法，推導了多楔帶傳動系統(tǒng)的頻率對系統(tǒng)結構參數(shù)靈敏度的顯式表達式。以上的特征值靈敏度分析僅限于輪-帶弦耦合模型，但弦耦合模型(不能考慮帶的彎曲剛度)不能很好地描述多楔帶傳動系統(tǒng)的振動問題［8］，使靈敏度分析也有其局限性。本文中基于輪-帶梁耦合振動模型［7-8］，利用結構振動分析的矩陣攝動理論，推導了系統(tǒng)的固有頻率對系統(tǒng)設計參數(shù)靈敏度的顯式表達式，并應用到文獻［8］的三輪系統(tǒng)中，計算了其1階固有頻率隨系統(tǒng)結構參數(shù)的變化。本文中的靈敏度分析可以揭示系統(tǒng)的設計參數(shù)對系統(tǒng)振動頻率的影響，對解決相關振動和噪聲問題具有很好的指導意義。

1 系統(tǒng)振動模型的建立

一個典型的三輪多楔帶傳動模型如圖1所示，此模型包含驅動輪1、張緊輪2、從動輪3、張緊臂4和單根多楔帶等元件。圖中:ui和wi(i=1，2，3)分別為帶段的縱向位移和橫向位移，均為時間t和位置xi的函數(shù)，xi為帶張緊時各帶段起點至終點的位置坐標，其范圍(0，li);li，θi，Ji和 ri分別為帶段的長度、帶輪的旋轉角位移、轉動慣量和半徑;rt，Jt，θt和Kt分別為張緊臂的臂長、繞固定點的轉動慣量、旋轉角位移和張緊器彈簧的扭轉剛度;c為帶的縱向速度;表示帶段下標i的設定:1為輪1與輪2之間的帶段;2為輪2與輪3之間的帶段;3為輪3與輪1之間的帶段。帶段1和帶段2與張緊臂的夾角分別為 β1和 β2。

本文中將帶段看作是縱向運動的伯努利-歐拉梁，假設帶以準靜態(tài)方式伸縮;帶段物理性質各向一致;輪-帶間無滑動，各帶輪和張緊臂均看成是剛體。依據(jù)以上的假設，應用Hamilton原理和牛頓第二定律，對帶段和各旋轉件建立系統(tǒng)的運動方程［8］。

各帶段的運動方程為

式中:m為帶的線密度;EI為帶的彎曲剛度;Pi和?Pi分別為帶段的穩(wěn)態(tài)張力和動態(tài)張力。

各帶輪的運動方程為

再利用伽遼金法［8］將帶的橫向位移分離為時間函數(shù)和空間函數(shù)乘積求和形式，選擇的空間基函數(shù)為正弦函數(shù)。Ni表示帶段i所選基函數(shù)的數(shù)目，本文取Ni=6，則各帶段橫向位移可表示為

為了后面靈敏度表達式的簡潔，設

將式(7)代入式(1)～式(5)系統(tǒng)方程中并寫成矩陣形式:

對式(9)矩陣方程應用復模態(tài)理論可求解系統(tǒng)的固有特性和位移響應。

2 特征值靈敏度分析

本文中在靈敏度表達式推導中考慮帶速為0的情況，而帶速不為0的情況其方法也相同。當系統(tǒng)某設計參數(shù)κ發(fā)生小變化時，可通過質量矩陣和剛度矩陣的改變反映出來。假設參數(shù)κ發(fā)生改變后的質量矩陣和剛度矩陣為

式中:ε為一個小參數(shù);M0和K0分別為原系統(tǒng)的質量矩陣和剛度矩陣;εM1和εK1分別為參數(shù)κ發(fā)生小變化引起的質量矩陣和剛度矩陣的變化。根據(jù)文獻［12］可得到系統(tǒng)特征值1階攝動如下:

式中:εK1/Δκ和εM1/Δκ可表示為剛度矩陣和質量矩陣對參數(shù) κ 求偏導，即 ?K/?κ 和 ?M/?κ，因此特征靈敏度可表示為

式中:K'表示剛度矩陣對參數(shù)κ求偏導;M'表示質量矩陣對參數(shù) κ 求偏導，即 ?K/?κ 和 ?M/?κ。其中κ是具體的結構參數(shù)和力學參數(shù)，即本文中張緊臂的轉動慣量、扭轉剛度和張緊臂的長度等參數(shù)。

根據(jù)式(12)就可方便地求出系統(tǒng)第i階固有頻率對某參數(shù)κ的靈敏度。下面將給出系統(tǒng)第i階固有頻率對具體結構參數(shù)的靈敏度顯式表達式。

觀察剛度矩陣和質量矩陣，可發(fā)現(xiàn)張緊器無量綱剛度ks僅與剛度矩陣有關。系統(tǒng)第i階固有頻率對張緊器剛度ks的靈敏度μ|ks可表示為

系統(tǒng)第i階固有頻率對張緊臂長度rt的靈敏度計算公式為

3 算例

3.1 固有特性計算

本文中系統(tǒng)振動模型的建立采用文獻［8］的方法，在正確模型的基礎上導出了式(13)～式(15)特征值靈敏度的顯式表達式。為了驗證本文對文獻［8］中模型數(shù)值計算的正確性，對該三輪模型的固有頻率進行了計算和對比。三輪系統(tǒng)的參數(shù)［8］見表1。

表1 3個帶輪相關參數(shù)

圖2是本文中計算的各階固有頻率隨帶的彎曲剛度的變化曲線與文獻［8］中曲線的對比。由圖可見，它們吻合良好，說明本文對文獻［8］中模型數(shù)值計算的正確性。

表2是帶的無量綱彎曲剛度為0.05時系統(tǒng)前6階的固有頻率，圖3是系統(tǒng)前4階的陣型。從圖3中可以看出帶的橫向振動與帶輪的旋轉振動始終是耦合的，這與實際發(fā)動機輪系的振動是吻合的［8］。而弦耦合模型，則存在橫向振動占優(yōu)、旋轉振動占優(yōu)和耦合振動3種類型模態(tài)［6］，耦合振動耦合度不高。因此，梁耦合模型相對于弦耦合模型更能揭示發(fā)動機實際的振動情況。

表2 系統(tǒng)的前6階固有頻率

3.2 穩(wěn)態(tài)響應對靈敏度計算的影響

本文中在推導式(13)～式(15)時忽略了穩(wěn)態(tài)響應的影響，一方面是因為穩(wěn)態(tài)響應隨參數(shù)的變化值不大，另一方面是因為推導時穩(wěn)定狀態(tài)的響應無法用顯式表達式表達。這是因為穩(wěn)態(tài)響應方程［7］包含微分方程、代數(shù)方程和積分方程，難以與動態(tài)響應的線性矩陣方程［8］直接組合在一起，只能把穩(wěn)態(tài)過程當成一個常量，對動態(tài)過程進行特征靈敏度分析。

為了說明穩(wěn)態(tài)響應對本文中計算的靈敏度影響不大，在此計算了帶段1和帶段3的穩(wěn)態(tài)響應隨張緊器彈簧扭轉剛度Kr、張緊臂的轉動慣量Jt和張緊臂長度rt的變化曲線，如圖4～圖6和表3所示。

圖4～圖6和表3均說明，穩(wěn)態(tài)響應隨各參數(shù)的變化值確實不大，推導時忽略了穩(wěn)態(tài)響應的影響是合理的。

3.3 靈敏度計算

系統(tǒng)的低階頻率通常是關注的重點，因此本文中將通過計算第1階固有頻率對張緊器彈簧扭轉剛度Kr、張緊臂的轉動慣量Jt和張緊臂長度rt等的靈敏度，從而總結第1階固有頻率隨這些參數(shù)的變化規(guī)律。同時，為了驗證推導的靈敏度公式的正確性，對計算的1階固有頻率隨系統(tǒng)結構參數(shù)的變化曲線通過差分方法［10］得到系統(tǒng)的靈敏度曲線與本文中推導的式(13)～式(15)靈敏度顯式表達式得到的曲線進行了對比，如圖7～圖9所示。

表3 各參數(shù)對帶段1、3穩(wěn)態(tài)響應的影響

由圖7可見，第1階固有頻率對張緊器扭轉剛度的靈敏度始終為正數(shù)，說明固有頻率始終隨張緊器扭轉剛度的增大而增大，這與圖中帶“o”的曲線所表達的趨勢一致;固有頻率對于張緊器扭轉剛度的靈敏度隨張緊器剛度的增大而減小，說明固有頻率隨張緊器剛度的增大而增大的趨勢在逐漸減小。

由圖8可見:靈敏度始終為負值，與圖中第1階固有頻率逐漸下降對應，且下降的變化率是一條類似二次開口向上的拋物線。

從圖7～圖9中差分法得到的靈敏度曲線與靈敏度顯式表達式得到的靈敏度曲線不重合與各參數(shù)對穩(wěn)態(tài)響應的影響分析對比可發(fā)現(xiàn)，本文中推導的靈敏度公式有誤差是由于忽略穩(wěn)態(tài)響應引起的(主要在圖9中)，且誤差的大小與此參數(shù)對穩(wěn)態(tài)響應的影響大小呈正比，這從對比圖7～圖9中的曲線與表3中的數(shù)據(jù)可看出。

4 結論

(1)建立了輪-帶梁耦合振動模型，通過攝動分析，給出了用設計參數(shù)計算固有頻率的通用表達式，然后推導了系統(tǒng)固有頻率對系統(tǒng)設計參數(shù)靈敏度的顯式表達式。

(2)計算了梁模型前4階的固有模態(tài)，計算結果表明梁模型中帶的橫向振動和輪的旋轉振動始終是耦合的，而弦模型中僅與張緊輪相鄰的帶段與輪是耦合的，因此兩模型的振動形式是不同的。

(3)通過靈敏度曲線分析了固有頻率隨某些設計參數(shù)而變化的規(guī)律，并通過各參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應的分析，解釋了本文中推導的靈敏度表達式存在誤差的原因。

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