Erd?s Rényi隨機網(wǎng)絡上爆炸滲流模型相變性質(zhì)的數(shù)值模擬研究*

李炎 唐剛 宋麗建 尋之朋 夏輝 郝大鵬

(中國礦業(yè)大學理學院物理系,徐州 221116)

1 引言

滲流模型是處理強無序和隨機幾何結(jié)構(gòu)的十分有效的理論模型,它為處理無序系統(tǒng)中由于相互關聯(lián)程度的變化所引起的相關效應提出了清晰、明確和直觀的理論方法[1].滲流模型目前已經(jīng)廣泛應用于統(tǒng)計物理、凝聚態(tài)物理、生物學以及諸多工程技術領域,如被用來描述電阻絲網(wǎng)絡[2]、森林火災[3]、疾病傳播[4]、生物進化[5]以及社會影響力等[6].

對滲流的理論研究通常采用網(wǎng)絡模型.在一般的滲流過程中,各條鍵隨機獨立地被占據(jù),當鍵的占據(jù)率達到一個與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)有關的閾值pc時,網(wǎng)絡中會出現(xiàn)一個宏觀尺度的滲流集團,此時系統(tǒng)經(jīng)歷了一個連續(xù)相變,或者說是二級相變.這種相變是隨機滲流的一個基本特征,它可以發(fā)生在任何存在滲流現(xiàn)象的網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)中[7],在本文中,將討論Erd?s Rényi(ER)隨機網(wǎng)絡[8]中的滲流過程.如圖1所示,ER隨機網(wǎng)絡作為一種典型的無規(guī)則網(wǎng)絡,其中的滲流過程可以描述為:從網(wǎng)絡中N個孤立的格點開始,每一步以相同概率隨機地選擇兩個格點,然后在這兩個格點間添加一條鍵,即每一步隨機占據(jù)一條鍵,這個過程依次重復進行.假設某一時刻已經(jīng)有t條鍵被添加,將網(wǎng)絡中的鍵占據(jù)率p定義為p=t/N,同時將通過占據(jù)鍵相互連接起來的一系列格點形成的組分稱為集團,集團尺寸則被定義為集團中所包含的格點數(shù)目.對于ER網(wǎng)絡,選取成對格點時對格點之間的距離并沒有限制,而只需要記錄隨時間變化的集團尺寸分布.隨著鍵的添加,集團之間相互合并,網(wǎng)絡中的最大集團尺寸smax做動態(tài)改變.將以上隨機過程中的集團生長模型稱為隨機生長(random growth,RG)模型,在無限大尺寸極限下,對RG模型,當 p＜1/2時,smax～logN;當p＞1/2時,smax～N,特別地,當 p略大于1/2時,smax≈(4p?2)N,最大集團尺寸在pc=1/2處經(jīng)歷了一個連續(xù)相變.

隨機滲流模型的相變幾乎都是二級[8,9]或者二級以上的[9,10],而Achlioptas等[11]則證實,通過對ER網(wǎng)絡上具有連續(xù)相變性質(zhì)的RG模型進行微小的動力學修正,可以使其表現(xiàn)出一級相變特征,即發(fā)生不連續(xù)相變.如圖1所示,他們考慮每一步在添加單條鍵時,首先隨機選擇兩條相互獨立的鍵(c1,c2),然后在確定的定則下留下其中的一條,舍去另一條.例如在最小乘積定則(product rule,PR)下,每一步總是留下使連接的兩個集團的尺寸乘積最小的那條鍵,在圖1的情況中,鍵c2被留下,而舍去的鍵c1依然作為隨后某個時間步被占據(jù)的候選鍵.由于乘積定則優(yōu)先合并尺寸較小的兩個集團,網(wǎng)絡中集團尺寸分布相對均勻,最大集團的生長受到一個強加的延遲,當將要達到相變點時,少數(shù)幾條鍵的添加就能導致最大集團尺寸的急劇增加,這個過程發(fā)生的時間極短,類似于火山噴發(fā)或地震爆發(fā),因此就被稱為爆炸滲流相變.本文將最小乘積定則下發(fā)生爆炸滲流相變的模型稱為PR模型,以

max率差值表示相變寬度?/N,在無限大系統(tǒng)尺寸極限下,對RG模型,?/N→C,C為常數(shù);而對PR模型,?/N→0[11],這表明了兩種模型相變性質(zhì)的不同.

圖1 ER隨機網(wǎng)絡上的集團演化示意圖

ER隨機網(wǎng)絡上表現(xiàn)出不連續(xù)相變特征的爆炸滲流相變,吸引了眾多研究者的極大興趣,并開展了廣泛的理論研究[12?26].Ziff[12,13]通過把乘積定則引入二維正方形網(wǎng)絡同樣得到了爆炸相變;Radicchi等[14]和Cho等[15]則分別采用不同的構(gòu)造模型,分析了Achlioptas生長過程下無標度網(wǎng)絡上的滲流過程,發(fā)現(xiàn)當度指數(shù)λ取值一定時,無標度網(wǎng)絡也會出現(xiàn)爆炸滲流現(xiàn)象.幾乎所有得到不連續(xù)爆炸相變的方法都集中于最大集團的演化方式,在有的模型中,一些研究者試圖保持集團尺寸的均勻分布[16],另一些研究者則是抑制處于集團內(nèi)部的鍵的占據(jù)[17].此外,對于同一種網(wǎng)絡結(jié)構(gòu),在最小集團定則[18]、近鄰邊定則及三角邊定則[19]的作用下,或者將文獻[11]中“兩鍵擇一”擴展為“多鍵擇一”[20?22],均可以得到清晰的爆炸相變.然而,爆炸滲流相變是否為不連續(xù)相變近來卻一直處于爭議之中[23?26].其中,Grassberger等[23]討論了四種可以產(chǎn)生爆炸滲流的Achlioptas過程,根據(jù)測量的序參量分布,他們認為即使在低維系統(tǒng)中,相變也可以是連續(xù)的.而da Costa等[26]則是提出了一個具有代表性的爆炸滲流模型,基于對集團尺寸的計算,發(fā)現(xiàn)這種模型在滲流相變點處系統(tǒng)并沒有任何的不連續(xù)性.至此,爆炸滲流相變的特性問題已經(jīng)成為統(tǒng)計物理學領域最具爭議和亟待解決的問題.

為了進一步探究Achlioptas過程下爆炸滲流模型的相變性質(zhì),本文將研究ER隨機網(wǎng)絡上Achlioptas機制下最初發(fā)生爆炸滲流現(xiàn)象的PR模型.通過對PR模型中表征滲流過程的基本物理量,包括序參量、平均集團尺寸、二階矩、標準偏差及尺寸不均勻性的分析,并與RG模型的結(jié)果(研究發(fā)現(xiàn),在滲流相變點處該模型以上物理量都遵循作為連續(xù)相變基本特征的冪律標度行為)比較,以此直觀地反映爆炸滲流現(xiàn)象的相變本質(zhì).在計算中,本文采用改進了的Newman和Ziff算法以及有限尺寸標度理論,對ER隨機網(wǎng)絡上Achlioptas過程下的PR模型進行詳盡的數(shù)值分析.具體地,計算了各特征物理量隨鍵占據(jù)率p變化的分布特征,以及這些物理量在相變點處的臨界標度行為,并同時給出RG模型的結(jié)果.通過對兩種模型標度行為的比較分析,發(fā)現(xiàn)Achlioptas過程對滲流物理量的分布特征產(chǎn)生了顯著的影響,特別是序參量具有一級相變的特征,而各滲流物理量在相變點處卻表現(xiàn)出連續(xù)相變的冪律標度行為,這表明PR模型中的爆炸滲流相變并不是一個標準的不連續(xù)相變,不連續(xù)特征和冪律標度行為相互矛盾的結(jié)合使爆炸滲流相變成為了一種奇異相變.

2 數(shù)值計算方法

本文考慮的ER隨機網(wǎng)絡的結(jié)構(gòu),從標記為i=1,···,N的N個格點開始,每一條鍵都從網(wǎng)絡上所有可能存在的鍵中隨機選取.我們采用Newman和Ziff算法[27,28]對RG模型和Achlioptas過程下的PR模型進行模擬,每個不同的集團都用一個惟一的標簽標記,通過“并查”算法來合并集團.不過與常規(guī)Newman和Ziff算法所不同的是,我們對每條鍵都生成一個與連接的任意兩格點惟一相關的鍵值,這個值為[1,N(N?1)/2]內(nèi)的整數(shù),并用隨機選取的鍵值來代替Newman和Ziff算法中以隨機數(shù)生成的鍵占據(jù)順序,這樣既不影響結(jié)果的精度,又能提高常規(guī)Newman和Ziff算法的計算效率.選取尺寸分別為N=28,210,212,214,216,218,220的系統(tǒng)進行集團的動態(tài)生長,統(tǒng)計平均次數(shù)在103—105,其中,Radicchi和Fortunato[29]在對ER隨機網(wǎng)絡的模擬中,鍵占據(jù)率只能處于0,1之間,而在我們的定義中,鍵占據(jù)率p的最大值為(N?1)/2.另外,在乘積定則下,當選擇的一條鍵連接的是集團內(nèi)部的兩個格點時,如圖1中c3鍵,取這條鍵的權(quán)重為其所屬集團的尺寸平方.

本文采用有限尺寸標度理論[30]來分析滲流物理量在相變點處的標度行為.有限尺寸標度理論廣泛用于相變的數(shù)值分析,對連續(xù)相變,由于系統(tǒng)的關聯(lián)長度在閾值pc處無限大,pc附近的每個物理量R都與系統(tǒng)尺寸無關,并且

這里ω是一個臨界指數(shù).在一個尺寸為N的有限系統(tǒng)上,變量R在閾值附近具有下列標度形式:

這里ν是表征關聯(lián)長度的臨界指數(shù),F是一個普適函數(shù).當 p=pc時,R ～ N+(?)ω/ν,由此得以確定臨界指數(shù)比ω/ν.如果 pc,ω和ν都已知,通過做出RN?(+)ω/ν關于 (p? pc)N1/ν變化的函數(shù)曲線,可以得到普適函數(shù)F.由于F并不依賴N,所以對不同的系統(tǒng)尺寸,各條曲線能夠很好地塌縮到一條曲線上.

3 計算結(jié)果與討論

3.1 序參量

對無法定義自由能的非平衡問題,相變類型仍然可以根據(jù)序參量來判定[31].若序參量在相變點處驟增,相變?yōu)橐患壪嘧?否則,相變被標識為連續(xù)相變.相比于規(guī)則網(wǎng)格,一般的網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)并沒有滲流集團的概念,在ER網(wǎng)絡這類隨機圖中,若用最大集團來代替滲流集團,〈smax/N〉即表示通常的序參量滲流概率P∞.

圖2給出了不同系統(tǒng)尺寸下P∞隨占據(jù)率p變化的函數(shù)曲線,從左到右各條曲線分別對應的系統(tǒng)尺寸依次增加.由圖2可以看出,隨著系統(tǒng)尺寸的增加,RG模型的序參量一直保持平緩增長,而對PR模型,在較小尺寸時,序參量呈現(xiàn)平緩增長,在較大尺寸時,則呈現(xiàn)尖銳變化,出現(xiàn)爆炸滲流相變,并且不同系統(tǒng)尺寸下的序參量變化曲線在相變點附近交叉聚合為一點.此外,當系統(tǒng)尺寸增大到一個確定值時,兩種模型的P∞-p曲線都完全重合為一條曲線,由此可以預測對于更大的系統(tǒng)尺寸,序參量都不再受有限系統(tǒng)尺寸的影響.以上計算結(jié)果說明兩種模型的序參量在相變點處具有明顯不同的臨界行為,這就反映了最小乘積定則的引入確實改變了網(wǎng)絡中集團的動力學演化方式,在足夠大的系統(tǒng)尺寸下,當達到相變點時,相比于表現(xiàn)出連續(xù)相變的RG模型,PR模型中序參量在相變點處尖銳變化,表現(xiàn)出了一級相變的特征.

圖2 ER隨機網(wǎng)絡上P∞隨鍵占據(jù)率p變化的關系曲線,圖中從左到右各條曲線對應的系統(tǒng)尺寸N分別為28,210,212,214,216,218,220 (a)RG模型;(b)PR模型

圖3給出了RG模型和PR模型的序參量P∞在pc處隨系統(tǒng)尺寸N變化的雙對數(shù)關系曲線,這里RG模型和PR模型的滲流閾值pc分別取0.5和0.888.由圖3中相應線性擬合直線的斜率可以得到各模型序參量的有限尺寸標度指數(shù)比?β/ν.在誤差允許的范圍內(nèi),對RG模型,β/ν=0.326±0.004.事實上,對于不連續(xù)相變,有限尺寸標度理論將不再適用,此時,PR模型的序參量指數(shù)比β/ν應為零.而根據(jù)我們的計算結(jié)果,對PR模型,序參量隨系統(tǒng)尺寸N以斜率β/ν=0.022±0.001的近乎平坦的曲線變化,這也和以上在相變點處觀察到的序參量急劇變化的現(xiàn)象相符合.這里PR模型中β/ν的微小性使得爆炸滲流相變很難與一個不連續(xù)相變相區(qū)分,但是其非零的數(shù)值又表明,對這種相變,表征連續(xù)相變特征的冪律標度行為仍然存在,由此可以判斷PR模型中的爆炸滲流相變并不是標準的不連續(xù)相變.

圖3 ER隨機網(wǎng)絡上P∞(○)以及平均集團尺寸S(□)隨系統(tǒng)尺寸N變化的雙對數(shù)關系 (a)RG模型;(b)PR模型

3.2 平均集團尺寸

平均集團尺寸可以描述系統(tǒng)中集團尺寸的均勻程度,被定義為

其中,ns(p)為集團尺寸分布函數(shù),上式求和不包括最大集團的尺寸.

圖4給出了不同系統(tǒng)尺寸下RG模型和PR模型的平均集團尺寸S隨鍵占據(jù)率p變化的函數(shù)曲線,從下到上各條曲線分別對應的系統(tǒng)尺寸逐漸增加.比較圖4中(a),(b)兩圖,可以清晰地觀察到,在相同的系統(tǒng)尺寸下,PR模型的平均集團尺寸總要比RG模型大.這個結(jié)果表明對PR模型,由于集團演化受到最小乘積定則的約束,使得網(wǎng)絡中最大集團的尺寸并不明顯地比平均集團尺寸大,各個集團的尺寸能夠保持相對均勻.而RG模型中最大集團以完全隨機的方式生長,由此導致在系統(tǒng)尺寸一定時,Achlioptas過程的平均集團尺寸與隨機過程差別顯著.

圖4 ER隨機網(wǎng)絡上S隨鍵占據(jù)率p變化的關系曲線,圖中從下到上各條曲線對應的系統(tǒng)尺寸N分別為28,210,212,214,216,218,220 (a)RG模型;(b)PR模型

滲流閾值pc處兩種模型的平均集團尺寸S隨系統(tǒng)尺寸N變化的雙對數(shù)關系如圖3所示,圖3中相應的線性擬合直線的斜率對應平均集團尺寸的有限尺寸標度指數(shù)比γS/ν,RG模型和PR 模型的 γS/ν 分別為 γS/ν=0.339±0.002和γS/ν=0.482±0.004,由以上結(jié)果可知,對Achlioptas過程下的PR模型,其平均集團尺寸同樣遵循連續(xù)相變的冪律標度定律,并且由于定則的引入促進了集團尺寸的均勻分布,使得冪律關系中PR模型的標度指數(shù)比稍大于RG模型的結(jié)果.另外,通過計算發(fā)現(xiàn),RG模型的β/ν和γS/ν的值近似滿足超標度關系γS/ν+2β/ν=1[32],而在PR模型中這個關系卻不成立,這表明對于以PR模型為代表的一類爆炸滲流模型,盡管其特征物理量仍然滿足冪律標度行為,但已經(jīng)與表現(xiàn)出連續(xù)相變的常規(guī)隨機滲流模型處于不同的普適類.

3.3 二階矩和標準偏差

在滲流模型中,將二階矩定義為M2(p)=∑ss2ns(p)=(1/N)2,其中si為第i個格點所屬集團的尺寸.圖5給出了不同系統(tǒng)尺寸下M2(p)/N隨鍵占據(jù)率p變化的函數(shù)曲線.根據(jù)定義,二階矩又可以表達為M2(p)=(smax+S)·p,從以上關系看,M2(p)描述的是系統(tǒng)中總集團尺寸的變化趨勢.對照圖5中的(a),(b)兩圖,在相同的系統(tǒng)尺寸下,兩種模型中的M2(p)/N隨鍵占據(jù)率p的增加都呈逐漸增大的趨勢,所不同的是,隨著系統(tǒng)尺寸依次增加,隨機過程中RG模型的M2(p)/N一直保持平緩增長,而Achlioptas過程下PR模型的情況,則是從平緩到尖銳變化,此外,PR模型的各條曲線又一次在相變點附近交叉聚合為一點.相同地,當系統(tǒng)尺寸大于某一個確定值后,兩種模型的二階矩都不再受有限系統(tǒng)尺寸的影響.以上計算表明,PR模型中鍵添加方式的非隨機性也對網(wǎng)絡中的總系統(tǒng)尺寸產(chǎn)生了顯著影響.當系統(tǒng)尺寸足夠大時,在滲流閾值附近,由于最大集團尺寸的劇增,導致了二階矩曲線的驟變.類似于序參量的變化趨勢,二階矩的這種特征再一次反映了爆炸滲流相變性質(zhì)的特殊性.

圖5 ER隨機網(wǎng)絡上M2(p)/N隨鍵占據(jù)率p變化的關系曲線,圖中從左到右各條曲線對應的系統(tǒng)尺寸N分別為28,210,212,214,216,218,220 (a)RG模型;(b)為PR模型

M2(p)/N在相變點pc處的標度行為如圖6所示,以?γM/ν表示其有限尺寸標度指數(shù)比.根據(jù)圖6中相應的線性擬合直線的斜率,可得到RG模型中γM/ν=0.662±0.002,PR模型的計算數(shù)據(jù)也顯示遵從冪律行為,為γM/ν=0.122±0.001.說明兩種模型在不同的鍵添加方式下,雖然PR模型的二階矩隨鍵占據(jù)率的改變表現(xiàn)出不同的分布特征,但是對二階矩標度行為的計算中,連續(xù)相變中的有限尺寸標度定律依然成立.

標準偏差χ為表征系統(tǒng)中最大集團尺寸smax漲落大小的物理量,定義為

圖7給出了不同系統(tǒng)尺寸下標準偏差χ/N隨占據(jù)率 p變化的函數(shù)曲線.如圖7(a)所示,對RG模型,χ/N隨著系統(tǒng)尺寸的增加逐漸減小,而圖7(b)中PR模型的情況則是χ/N隨系統(tǒng)尺寸的增加逐漸增大,并且在無限大系統(tǒng)尺寸下,χ/N在相變點 pc處驟增,其峰值為一個常數(shù).假設以?λχ/ν作為比標準偏差χ/N的有限尺寸標度指數(shù)比,從χ的定義以及〈smax〉/N在 pc處的標度行為,可以推導出λx/ν=β/ν.如圖6中所示,在RG模型中,χ(pc)/N 以N?0.321±0.003減小為零,即λx/ν=0.321±0.003,在誤差允許的范圍內(nèi),λx/ν≈β/ν,滿足推導關系.對于PR模型,系統(tǒng)尺寸足夠大時,λx/ν近似為零,且χ/N的峰值達到一個穩(wěn)定值χ/N=0.265±0.002.這表明在定則的作用下,最大集團的生長受到強加的延遲,當鍵占據(jù)率達到閾值時,尺寸均勻的集團之間通過合并,導致最大集團的尺寸瞬間增加,尺寸漲落達到最大,并且不再受有限尺寸效應的影響.同樣地,PR模型中χ/N在相變點pc處又一次表現(xiàn)出冪律標度行為,且與其隨占據(jù)率p變化的分布特征相符合.

圖6 ER隨機網(wǎng)絡上M2/N(○)以及χ/N(□)隨系統(tǒng)尺寸N變化的雙對數(shù)曲線 (a)RG模型;(b)PR模型

3.4 集團尺寸不均勻性

最近,Lee等[25]首次提出用集團不均勻性H的概念來表征滲流相變,這里H被定義為不同集團尺寸的數(shù)目.考慮集團尺寸分布函數(shù)ns,當p=0時,所有的格點都是尺寸為1的孤立集團,分布函數(shù)ns具有單分散性,H=0;在亞臨界相,隨著p的增加,集團之間相互合并形成更多尺寸不同的集團,集團尺寸分布變得寬泛.進入超臨界相后,有限尺寸的集團逐漸被并入無限大集團,不同尺寸的集團數(shù)目減少,H逐漸減小.因此可以預測,H可能在滲流相變點附近達到一個最大值.Noh等[33]研究了d=2,3,···,6維的正方形網(wǎng)格和三角形網(wǎng)格中常規(guī)點滲流和鍵滲流的集團不均勻性,并建立了它們的有限尺寸標度形式.我們基于二維ER隨機網(wǎng)絡,得到了RG模型和PR模型的集團不均勻性H隨占據(jù)率p變化的函數(shù)曲線,如圖8所示.將圖8中各條曲線的峰值記為(p?,H?),正如預測的那樣,對于RG模型,不同系統(tǒng)尺寸下的p?幾乎等于閾值pc.這說明由于集團演化的完全隨機性,導致了在不同的系統(tǒng)尺寸下,不同集團的數(shù)目即集團不均勻性都會在閾值處達到最大的統(tǒng)計結(jié)果.而PR模型的情況則是,p?隨著N的增加而向pc逐漸靠近,當系統(tǒng)尺寸足夠大時,p?等于相應的滲流閾值pc,這個結(jié)果表明了雖然定則的引入會抑制集團尺寸間的較大差異,由此減小了集團不均勻性,但是隨著系統(tǒng)尺寸的增加,這種影響逐漸降低.

圖7 ER隨機網(wǎng)絡上χ/N隨鍵占據(jù)率p變化的關系曲線,圖中從上到下各條曲線對應的系統(tǒng)尺寸N分別為28,210,212,214,216,218,220 (a)RG模型;(b)PR模型

假設H的有限尺寸標度指數(shù)比用γH/νH來表示,根據(jù)標度理論,當 p=p?時,(pc?p?)N1/νH為一個確定的常數(shù),并且在這一點,H?～NγH/νH.由以上標度假設,在圖9中給出了(pc?p?)-1/N以及H?-N的雙對數(shù)關系曲線.由線性擬合直線的斜率可以得到,對 RG 模型,1/νH=0.205±0.002,γH/νH=0.397±0.001;對 PR 模型,1/νH=0.378±0.003,γH/νH=0.484±0.002.根據(jù)計算所得的標度指數(shù),分別做出兩種模型的 HN?λH/νH-(p? pc)N1/νH變化曲線,如圖10所示.此時圖8中不同系統(tǒng)尺寸下的H-p曲線都極好地塌縮到一條曲線上,這表明PR模型的集團不均勻性也表現(xiàn)出了很好的標度特征,適用于連續(xù)相變的有限尺寸標度規(guī)律仍然可用于描述集團不均勻性的標度行為.

圖8 ER隨機網(wǎng)絡上H隨鍵占據(jù)率p變化的關系曲線,圖中從下到上各條曲線對應的系統(tǒng)尺寸N分別為28,210,212,214,216,218,220 (a)RG模型;(b)PR模型

圖9 ER隨機網(wǎng)絡上(pc?p?)隨1/N以及H?隨N變化的雙對數(shù)關系 (a)pc?p?-1/N;(b)H?-N

圖10 ER隨機網(wǎng)絡上集團不均勻性H的標度分析曲線 (a)RG模型,(b)PR模型

4 結(jié)論

基于改進了的Newman和Ziff算法以及有限尺寸標度理論,本文對ER隨機網(wǎng)絡上PR模型的相變過程進行了數(shù)值研究.通過對表征滲流相變基本物理量,包括序參量、平均集團尺寸、二階矩、標準偏差及尺寸不均勻性進行詳盡的計算分析發(fā)現(xiàn),PR模型中以上滲流物理量隨鍵占據(jù)率變化的分布特征與RG模型的結(jié)果有顯著差別.特別地,在足夠大的系統(tǒng)尺寸下,PR模型的序參量在滲流相變點處呈現(xiàn)出具有不連續(xù)相變特征的尖銳躍變,然而包括序參量在內(nèi)的各個滲流量在相變點處卻都表現(xiàn)出連續(xù)相變的冪律標度行為.因此嚴格地說,PR模型中的爆炸滲流相變是一種奇異相變,它既不是一個標準的不連續(xù)相變,又與RG模型表現(xiàn)出的典型連續(xù)相變處于不同的普適類.

另外,與熱力學相變相比,滲流相變是由于系統(tǒng)幾何結(jié)構(gòu)的改變導致它的某種性質(zhì)發(fā)生突變的現(xiàn)象,即是一種幾何相變,那么這種幾何相變的階數(shù)不能被嚴格限定.在一級相變與二級相變之間,可能會存在交叉混合相變,如Achlioptas過程下爆炸滲流模型的奇異相變.此外,爆炸滲流的本質(zhì)問題之所以會存在爭議,還在于研究者考慮的切入點的不同.鑒于此,爆炸滲流模型相變類型的統(tǒng)一判據(jù)也是今后值得研究的問題.

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