非線性分數(shù)階KdV-mKdV方程和mCH方程的孤波解

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(內蒙古師范大學 數(shù)學科學學院, 內蒙古 呼和浩特 010022)

分數(shù)階微分方程是廣義的整數(shù)階微分方程的經典形式。非線性分數(shù)階偏微分方程在力學、工程學、電學、等離子體物理、生物學、控制論、經濟學和金融等許多科學和工程領域中有著重要應用，受到極大關注，其研究工作日趨活躍[1]。首次積分法[2]、G′/G-展開法[3]、exp函數(shù)法[4]、擴展雙曲正切函數(shù)法[5]、F-展開法[6]等諸多方法被先后應用于求解非線性分數(shù)階偏微分方程。2008年至2009年，Biswas、Triki和Wazwaz[7]提出了求解非線性分數(shù)階偏微分方程另一種方法——擬設法，并用該方法給出KdV和mKdV等方程的亮孤子解和暗孤子解。2015年，Guner等[8]求解了時空分數(shù)階Boussinesq方程的亮孤子解和單孤子解。2016年，Guner和Bekir[9]利用擬設法求解了時空分數(shù)階mBBM方程的亮孤子解和暗孤子解，同一年，Korkmaz[10]利用擬設法求解了時空分數(shù)階EW和mEW方程的單孤子解。2017年，Guner和Bekir[11]利用擬設法求解了時空分數(shù)階mEW方程的暗孤子解。但他們只處理了包含單獨的sech函數(shù)或tanh函數(shù)的情形，未考慮包含sech和tanh函數(shù)的乘積項的情形。本研究把擬設法推廣應用到出現(xiàn)sech函數(shù)與tanh函數(shù)的乘積項的情形，并借助修正的黎曼-劉維爾導數(shù)給出時空分數(shù)階KdV-mKdV[12]方程和Modified Camassa-Holm方程的精確孤波解。

修正的α階黎曼-劉維爾定義為[13]

(1)

其中f(x)表示連續(xù)函數(shù)，Γ(α)表示Gamma函數(shù)，具有以下形式[14]

(2)

或者

(3)

修正的黎曼-劉維爾導數(shù)具有許多有用的性質，如

(4)

(5)

(6)

(7)

考慮具有以下形式的非線性時空分數(shù)階偏微分方程

(8)

分數(shù)階微分方程可以通過變換

(9)

轉化為整數(shù)階微分方程，這里k和c為非零常數(shù)。在計算過程中使用分數(shù)階導數(shù)的鏈法則

(10)

把式(4)、(9)和(10)代入式(8)中，可以把式(8)轉化為以下形式的非線性常微分方程

Q(U,U′,U″,U′″,…)=0,

(11)

其中,Q是關于U(ξ)及其各階導數(shù)的多項式。

本研究旨在利用擬設法研究時空分數(shù)階KdV-mKdV方程和Modified Camassa-Holm方程的孤波解。

1 時空分數(shù)階KdV-mKdV方程的孤波解

考慮方程時空分數(shù)階KdV-mKdV方程

(12)

其中，μ和δ為任意常數(shù)。

為了求解方程(12)的亮孤子解，將使用以下形式變形：

u(x,t)=U(ξ),

(13)

(14)

其中，c為非零任意常數(shù)。

將式(4)、(10)和(14)代入方程(12)，方程(12)可化為以下形式常微分方程

-cU′+μUU′+δU2U′+U′″=0,

(15)

作以下假設

U(ξ)=Asechpξ,

(16)

其中，A為任意非零常數(shù)。在求解方程(12)的亮孤子解的過程中將確定p的取值。

通過方程(14)和(16)可以得到

(17)

U2(ξ)=A2sech2pξ。

(18)

把方程(16)～(18)代入方程(15)中，則得到

cApsechpξtanhξ-Ap3sechpξtanhξ-μA2psech2pξtanhξ

-δA3psech3pξtanhξ+Ap(p+1)(p+2)sechp+2ξtanhξ=0。

(19)

進一步化簡得到

cAp-Ap3-μA2psechpξ-δA3psech2pξ+Ap(p+1)(p+2)sech2ξ=0。

(20)

平衡方程(20)中的sech2pξ項與sech2ξ項，則得2p=2,即

p=1。

(21)

將p=1代入方程(20)后，令sech2ξ的系數(shù)和為零，則得到

Ap(p+1)(p+2)-δA3=0,

(22)

在方程(20)中，令sechξ的系數(shù)為零，則得到μ=0；令常數(shù)項為零，則有

cAp-Ap3=0,

(23)

由此解出c=1。

因此，得到方程(12)的如下形式的亮孤子解

(24)

再假設方程(12)有以下形式的孤波解

U(ξ)=Acschpξ,

(25)

其中A為任意非零常數(shù)。在求解方程(12)的孤子解的過程中將會確定p的取值。

因此，通過方程(14)和(25)可以得到：

(26)

U2(ξ)=A2csch2pξ。

(27)

把方程(25)至(27)代入方程(15)中,得到

-cApcschpξcothξ-μA2pcsch2pξcothξ-δA3pcsch3pξcothξ
-Ap3cschpξcothξ-Ap(p+1)(p+2)cschp+2ξcothξ=0 ,

(28)

進一步化簡得到

-(c+p2)cschpξ-μAcsch2pξ-δA2csch3pξ-(p+1)(p+2)cschp+2ξ=0。

(29)

平衡(29)中csch3pξ項與cschp+2ξ項,則得3p=p+2，即

p=1。

(30)

將p=1代入方程(29)后令csch3ξ的系數(shù)和為零，則得到

(p+1)(p+2)+δA2=0,

(31)

在方程(29)中，令csch2ξ的系數(shù)為零，則得到μ=0；令cschξ為零，則有

-(c+p2)=0，

(32)

并由此解出c=-1。

因此，方程(12)具有下面的奇異孤波解

(33)

2 時間分數(shù)階Modified Camassa-Holm方程的孤波解

考慮方程時間分數(shù)階Modified Camassa-Holm(mCH)方程

(34)

其中，0<α<1，β>0，k∈R。

為了求解方程(34)的亮孤子解，將使用以下形式變形：

《企業(yè)會計準則》重新制定關于企業(yè)內部研發(fā)費用的會計處理，批準其符合標準可資本化。促進了無形資產的會計處理和信息披露的標準化。然而，實際運用中，行業(yè)標準缺乏標準型和統(tǒng)一性，企業(yè)往往依賴主觀判斷和內部未來計劃標準去進行實際會計操作，研發(fā)支出費用化或資本化不僅從一方面可說明企業(yè)會計處理的謹慎性，其裝化為無形資產可調整利潤，無形中提高了市場乃至社會對于相關信息的披露要求。

u(x,t)=U(ξ)，

(35)

(36)

其中，c為非零任意常數(shù)。

將式(4)和方程(10)、式(36)代入方程(34)，方程(34)可化為以下形式常微分方程：

-clU′+2kU′+βU2U′+clU′″=0，

(37)

作以下假設

U(ξ)=Asechpξ，

(38)

其中，A為任意非零常數(shù)。在求解方程(34)的亮孤子解的過程中將確定p的取值。

因此，通過方程(38)可以得到：

(39)

U2(ξ)=A2sech2pξ。

(40)

把方程(38)～(40)代入方程(37)中，則得到：

-Apsechpξtanhξ(-cl+2k+βA2sech2pξ)-Aclp3sechpξtanhξ+

(41)

進一步化簡得到：

-(2k-cl+clp2)sechpξ-βA2sech3pξ+cl(p+1)(p+2)sechp+2ξ=0,

(42)

平衡方程(42)中的sech3pξ項與sechp+2ξ項，得3p=p+2,即

p=1。

(43)

將p=1代入方程(42)，令sech3ξ的系數(shù)和為零，則得

6cl-βA2=0。

(44)

在方程(42)中令sechξ的系數(shù)為零，則得到k=0。

因此，得到方程(34)的如下形式的亮孤子解

(45)

再假設方程(34)有以下形式的孤波解

U(ξ)=Acschpξ,

(46)

其中，A為任意非零常數(shù)。在求解方程(34)的孤子解的過程中將確定p的取值。

因此，通過方程(36)和(46)可以得到：

(48)

把方程(46)～(48)代入方程(34)中,得到

-Apcschpξcothξ(-cl+2k+βA2csch2pξ)-Aclp3cschpξcothξ

-Aclp(p+1)(p+2)cschp+2ξcothξ=0 ,

(49)

進一步化簡得到

(cl-2k-clp2)cschpξ-βA2csch3pξ-cl(p+1)(p+2)cschp+2ξ=0,

(50)

平衡(50)中csch3pξ項與cschp+2ξ項,則得3p=p+2即

p=1。

(51)

將p=1代入方程(50)，令csch3ξ的系數(shù)和為零，則得到

βA2+6cl=0。

(52)

在方程(50)中令cschξ的系數(shù)為零，則得到k=0。

因此，方程(34)具有下面的奇異孤波解

(33)

3 結論

利用擬設法求解時空分數(shù)階KdV-mKdV方程和時間分數(shù)階mCH方程的孤波解，包括亮孤子解和奇異孤波解，表明擬設法是求解時空分數(shù)階偏微分方程的有效方法。擬設法也適用于求其他分數(shù)階偏微分方程的孤波解，且當擬設法中設U(ξ)=Atanhpξ時能夠給出某些分數(shù)階非線性方程的暗孤子解。