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    半群中的特殊模糊雙理想的若干性質(zhì)

    2013-08-11 07:10:22李世群
    關(guān)鍵詞:半格特征函數(shù)子集

    張 磊,李世群

    (湖南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,湘潭411201)

    0 引言及定義

    1965年,美國(guó)控制論專家L.Zadeh教授引入了模糊子集的概念,隨后Rosenfeld又引入了模糊子群和模糊子半群的概念,自此之后,其他學(xué)者在有關(guān)模糊代數(shù)方面的研究取得了相當(dāng)豐碩的成果.模糊數(shù)學(xué)理論一個(gè)較大的發(fā)展是在1980年之后,這主要得益于模糊數(shù)學(xué)在應(yīng)用領(lǐng)域的作為,特別是在日本的成功,日本學(xué)者Kuroki.N給出了半群的模糊理想、雙理想等的概念[2],并進(jìn)行了研究,得到了關(guān)于半群模糊雙理想的一些重要性質(zhì)[1-4].基于前人已有的成果,我們?cè)诒疚闹袑?duì)這些結(jié)果進(jìn)行了一定的推廣,得到了關(guān)于半群的模糊雙理想的若干性質(zhì).文獻(xiàn)[2]給出了如下定義:

    非空集合X到[0,1]的映射f稱為X 的Fuzzy子集,且記X的全部Fuzzy子集所作成的集合為F(X),設(shè)f為給定集合的Fuzzy子集,對(duì)λ∈[0,1],稱fλ={x|f(x)≥λ}為f的λ-截集.對(duì)于非空集合的X的任意子集A,定義集合A的特征函數(shù)為:fA:X→{0,1},即

    半群S的一個(gè)子半群B稱為S的一個(gè)雙理想,如果滿足BSB?B,我們用B(S)表示半群S的所有雙理想的集合,F(xiàn)B(S)表示半群S的所有Fuzzy雙理想的集合.

    半群S的一個(gè)雙理想B稱為半素的如果B滿足條件

    半群的所有半素雙理想構(gòu)成的集合記為SePB(S);

    LI-HE在文獻(xiàn)[3]中給出了素雙理想的定義:雙理想B稱為素的,如果B滿足下列條件

    ?C,D∈B(S) CD?B?(C?B)∨(D?B).

    文獻(xiàn)[3]給出了刻畫所有雙理想為素的半群的結(jié)構(gòu)的結(jié)論.

    半群S的雙理想B稱為強(qiáng)素的,若B滿足以下條件

    半群S的雙理想B稱為強(qiáng)不可約的,若B滿足以下條件

    半群S稱為正則的,如果對(duì)于任意的a∈S,存在x∈S,使得a=axa[1].

    半群S稱為內(nèi)稟正則的,如果對(duì)于任意的a∈S,存在x,y∈S,使得a=xa2y[1].

    半群S稱為群半格若S是一族互不相交的子群Gi(i∈M,M 為腳標(biāo)集)的并,滿足對(duì)任意的i,j∈M,子群的乘積GiGj和GjGi包含于同一個(gè)Gk(k∈M)[1].

    Kuroki.N在文獻(xiàn)[1,4-6]中給出了以下定義:

    半群S的一個(gè)Fuzzy子集f稱為S的一個(gè)Fuzzy子半群,若f滿足條件

    ?x,y∈S f(xy)≥min{f(x),f(y)}.

    半群S的一個(gè)Fuzzy子半群f稱為S的一個(gè)Fuzzy雙理想,若f滿足條件

    ?x,y,z∈S f(xyz)≥min{f(x),f(z)}.下面的有關(guān)定義來(lái)自文獻(xiàn)[2、7、9].

    對(duì)于半群S的Fuzzy子集f,g,f?g表示對(duì)任意的x∈S有f(x)≤g(x).

    半群的Fuzzy子集的乘積定義為

    半群S的Fuzzy雙理想P稱為弱素的,若對(duì)A,B∈B(S),λ∈(0,1],由λfAoλfB?P 推出λfA?P或λfB?P.

    半群S的Fuzzy雙理想f稱為強(qiáng)不可約的,如果對(duì)S的任意Fuzzy雙理想f1,f2若f1∩f2?f?f1?f或f2?f.

    半群S的Fuzzy雙理想f稱為素的,如果對(duì)S的任意兩個(gè)Fuzzy理想f1,f2若f1of2?f?f1?f或f2?f.

    半群S的Fuzzy雙理想f稱為半素的,如果對(duì)S的任意Fuzzy雙理想g,g2?f?g?f.

    半群S的Fuzzy雙理想f稱為強(qiáng)素雙理想,如果對(duì)S的任意Fuzzy雙理想f1,f2.f1of2∩f2of1?f?f1?f或f2?f.

    1 預(yù)備結(jié)論

    Kuroki.N在文獻(xiàn)[1]中給出了下列基本結(jié)論:

    引理1設(shè)λ∈(0,1],A,B為S 的任意子集,則

    (1)A?B?λfA?λfB;

    (2)λfAoλfB?λfAB;

    (3)fA∩B=fA∩fB.

    引理2設(shè)S是半群,則下列各款等價(jià):

    (1)S 是群半格;

    (2)對(duì)S的任意Fuzzy雙理想g,h,goh=g∩h.

    引理3設(shè)f1,f2是S的任意兩個(gè)Fuzzy雙理想,則f1∩f2也是S的Fuzzy雙理想.

    引理4半群S正則且內(nèi)稟正則當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于S的任意雙理想f,有f2=f.

    而下面的引理5-8來(lái)自于文獻(xiàn)[2].

    引理5設(shè)S為半群,P為S的Fuzzy雙理想,則Pt(t>0)是S的雙理想,只要Pt≠Φ.

    引理6設(shè)A為半群S的非空子集,fA為其特征函數(shù),則A為S的雙理想(理想,子半群)當(dāng)且僅當(dāng)fA為S的Fuzzy雙理想(理想,子半群).

    引理7設(shè)f是S的任意Fuzzy雙理想,g為S的任意Fuzzy子集,則fog和gof都是S的Fuzzy雙理想.

    引理8[3]設(shè)S 為任意半群,則SePB(S)=B(S)當(dāng)且僅當(dāng)S為正則且內(nèi)稟正則的.

    2 主要結(jié)論

    定理1半群S的雙理想B是素的當(dāng)且僅當(dāng)其特征函數(shù)fB是Fuzzy弱素的.

    證明:設(shè)B為S的素雙理想,fB為其特征函數(shù),B1,B2為S 的任意雙理想,?λ∈(0,1],由于λfB1oλfB2?fB,λfB1oλfB2=λfB1B2?fB,所以,?x∈B1B2,

    所以fB(x)=1,推出x∈B,因此B1B2?B,由B為素雙理想知B1?B 或B2?B,所以λfB1?fB1?fB或λfB2?fB2?fB,這說(shuō)明fB為Fuzzy弱素的.

    反之,設(shè)B為S的任意雙理想,fB為其特征函數(shù),且fB弱素,?B1,B2∈B(S),若B1B2?B,由引理2.1,得fB1B2?fB,即fB1ofB1=fB1B2?fB,由fB弱素知fB1?fB或fB2?fB,從而B1?B或B2?B,所以B為素的.

    定理2半群S的所有雙理想素當(dāng)且僅當(dāng)S的所有Fuzzy雙理想都弱素.

    證明:設(shè)P為S的任意Fuzzy雙理想,?λ∈(0,1],λfB1oλfB2=λfB1B2?P,我們有B1B2?Pλ,而Pλ為S的雙理想,從而Pλ為S的素雙理想,推出B1?Pλ或B2?Pλ,即λfB1?P,或λfB2?P,因此P為S的Fuzzy弱素雙理想.

    反之,設(shè)B為S 的任意雙理想,且B1,B2∈B(S),B1B2?B,則fB1B2=fB1ofB2?fB,由假設(shè)知fB弱素,所以fB1?fB或fB2?fB,所以B1?B或B2?B,所以B為素的,定理得證.

    定理3在群半格中,F(xiàn)uzzy雙理想f為Fuzzy素雙理想當(dāng)且僅當(dāng)f為強(qiáng)不可約的.

    證明:設(shè)S為群半格,f為其Fuzzy雙理想,若f為素雙理想,?g,h∈FB(S),若g∩h?f,由引理2有g(shù)oh=g∩h?f,所以有g(shù)?f或h?f,從而f是強(qiáng)不可約的.

    反之,設(shè)f為強(qiáng)不可約的,?g,h∈FB(S),若goh?f,

    由引理2有g(shù)∩h=goh?f,從而得g?f或h?f,所以f為素的.

    定理4設(shè)A是S非空子集,fA為其特征函數(shù),則若fA是S的強(qiáng)不可約Fuzzy雙理想,那么A是S的強(qiáng)不可約雙理想.

    證明:設(shè)fA是S的強(qiáng)不可約Fuzzy雙理想,由引理6知A是S的雙理想,設(shè)B、C是S的雙理想,且B∩C?A,則由引理1(3)有fB∩C=fB∩fc?fA,從而由fA是S的強(qiáng)不可約Fuzzy雙理想,所以fB?fA或fC?fA,由引理1(1)知B?A或C?A,從而A是S的強(qiáng)不可約雙理想.

    定理5半群S的每個(gè)強(qiáng)不可約半素Fuzzy雙理想都是S的一個(gè)強(qiáng)素Fuzzy雙理想.

    證明:令f是半群S的一個(gè)強(qiáng)不可約半素Fuzzy雙理想f1,f2∈FB(S),且f1of2∩f2of1?f,因?yàn)閒1∩f2?f1,f1∩f2?f2,所以

    (f1∩f2)2?f1of2∩f2of1?f,因?yàn)橛梢?知f1∩f2是S的Fuzzy雙理想,且f為Fuzzy半素的,推出f1∩f2?f,又f強(qiáng)不可約,所以f1?f或f2?f,所以f是強(qiáng)素的.

    定理6在任意半群S中,下列各款等價(jià):

    (1)每個(gè)Fuzzy雙理想冪等;

    (2)f1of2∩f2of1=f1∩f2,對(duì)任意f1,f2∈FB(S);

    (3)S的每個(gè)Fuzzy雙理想f是半素的;

    (4)S正則且內(nèi)稟正則.

    證明:(1)和(4)的等價(jià)性可直接由引理4推得.

    (1)?(2)令f1,f2∈FB(S),則由引理3知f1∩f2∈FB(S),由假設(shè)知f1∩f2=(f1∩f2)o(f1∩f2)?f1of2,同理可得f1∩f2?f2of1,所以f1∩f2?f1of2∩f2of1,由引理7知,f1of2和f2of1都是S的Fuzzy雙理想,由引理3,f1of2∩f2of1也是S的Fuzzy雙理想.由假設(shè),有

    f1of2∩f2of1=(f1of2∩f2of1)2?(f1of2)o(f2of1)?f1oSoSof1?f1,

    同理可得f1of2∩f2of1?f2,所以f1of2∩f2of1?f1∩f2.

    綜上所述,可得f1of2∩f2of1=f1∩f2.

    (2)?(1)令f是S的任意Fuzzy雙理想,由假設(shè)我們有下式成立:

    f=f∩f=fof∩fof=fof,

    所以S的任意雙理想冪等.

    (1)?(3):令f 為S 的任意 Fuzzy雙理想,?f1∈FB(S),若f21?f,由(1)知f1=f21?f,因此f為半素的.

    (3)?(1):對(duì)S的任意Fuzzy雙理想f,由于f2是Fuzzy雙理想,必有f2?f,又f2?f2且f2為Fuzzy半素雙理想,推出f?f2,因此f=f2.

    (3)?(4)設(shè)B,C∈B(S)且C2?B,則由引理1(1)、(2)有fc2=fcofc?fB,

    由引理6知fB,fC均為S的Fuzzy雙理想,由題設(shè)知fB是Fuzzy半素的,所以有

    fC?fB,

    由引理1(1)知有C?B,從而由定義知B是半素的,由B的任意性知S的任意雙理想都是半素的,而半素雙理想顯然是雙理想,所以有SePB(S)=B(S),由引理8知S正則且內(nèi)稟正則.

    (4)?(3)設(shè)S為半群,滿足正則且內(nèi)稟正則的條件,f,g∈FB(S),且滿足g2?f,對(duì)?α∈S ,由S正則知?x∈S,使得a=axa,進(jìn)一步有a=axa=ax(axa)=axaxa,由S內(nèi)稟正則知?u,v∈S,使得a=ua2v,所以有

    所以對(duì)任意的a∈S,由已知條件及以上結(jié)果,有

    g(a)≤g2(a)≤f(a),

    所以有g(shù)?f,這就說(shuō)明f是半素的.

    由f選取的任意性知S的所有Fuzzy雙理想都是Fuzzy素的.

    定理7若半S的每個(gè)Fuzzy雙理想冪等,則對(duì)S的任意Fuzzy雙理想f,f強(qiáng)不可約當(dāng)且僅當(dāng)它強(qiáng)素.

    證明:令f是S的強(qiáng)不可約Fuzzy雙理想f1,f2∈FB(S),且f1of2∧f2of1?f,由定理6的(1)?(2)知,f1of2∧f2of1=f1∧f2?f,但f是強(qiáng)不可約的,所以f1?f或f2?f,于是f為S 的強(qiáng)素的Fuzzy雙理想.

    反之,假設(shè)f是S的任意Fuzzy雙理想,且?f1,f2∈FB(S),f1∧f2?f,由定理6,我們有f1of2∧f2of1=f1∧f2?f,但f強(qiáng)素,所以f1?f或f2?f,所以f是S的強(qiáng)不可約Fuzzy雙理想.

    [1] Kuroki N .On Fuzzy Semigoups[J].Inform .Sci,1991,53:203~236.

    [2] 謝祥云,吳明芬.半群的模糊理論[M].北京:科學(xué)出版社,2005.

    [3] Shiqun Li,Yong He,On Semigroups Whose Bi-ideals Are Strongly Prime[J].International Journal of Algebra,2007,1(6):263-268.

    [4] Kuroki N.Fuzzy Generated Bi-ideals in Semigoups[J].Inform .Sci,1992,66:235-243.

    [5] Kuroki N .On Fuzzy ideals and Fuzzy Bi-ideals in Semigoups[J].FSS,1981,5:203-215.

    [6] Kuroki N .Fuzzy Bi-ideals in Semigoups[J].Comment.Math.Univ.St.PAUL,1980,80:17-21.

    [7] 李世群,何 勇.所有雙理想都是素雙理想的半群[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)(中文版),2006,49(5):1189-1194.

    [8] Kehayopulu.N,Xie Xiang-yun,Tsingles.M.A Characterization of Prime and Semiprime Ideals of Semigroups in Terms of Fuzzy Subsets[J].Soochow J.Math.,2001,27(2):139-144.

    [9] A.Muhammad Rezvi,J.Mehmood.On Prime Fuzzy Bi-ideals in Ternary Semigroups[J]. МАТЕМАТИЧКИ ВЕСТНИК,2012,64(2):79-96.

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