基于模擬退火原理的二元光學(xué)元件設(shè)計(jì)改進(jìn)GS算法＊

李 淼 唐建波 劉 儉

（1.海軍駐431廠軍事代表室 葫蘆島 125004）（2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)超精密光電儀器工程研究所 哈爾濱 150080）

1 引言

二元光學(xué)器件（Binary Optical Element，BOE）是利用計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)而成的微浮雕結(jié)構(gòu)衍射光學(xué)器件[1]，在光束的整形和變換[2]、光束耦合、聚焦、分束[3]、消除光學(xué)系統(tǒng)色差[4]及超分辨濾波器設(shè)計(jì)[5]等方面有廣泛的應(yīng)用，二元光學(xué)元件計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)已成為當(dāng)今光學(xué)領(lǐng)域的一大研究熱點(diǎn)。通常的BOE設(shè)計(jì)算法大致可以分為兩類：基于線性變換方法如 GS算法[6]、楊－顧算法（Y－G算法）[7]等，基于搜索極值的優(yōu)化法如模擬退火算法（Simulated Annealing，SA算法）[8]、遺傳算法（GA 算法）[9]等，以及如參考文獻(xiàn)[1、3、10、13]等所述的眾多改進(jìn)算法。BOE設(shè)計(jì)具有結(jié)構(gòu)復(fù)雜、計(jì)算量大等特點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)計(jì)算量小、收斂快、對(duì)初始值選取敏感性低、抗局部極值能力強(qiáng)、易于求得問題的全局最優(yōu)解是BOE計(jì)算機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)算法研究的重要任務(wù)[1]。

傳統(tǒng)的GS算法收斂速度快，但其存在著對(duì)初始值敏感、易陷入局部極值等問題[10]；SA算法以一定的概率接受使評(píng)價(jià)函數(shù)變差的自變量取值，從而使算法能跳出局部極值，但其實(shí)質(zhì)是以足夠高的初始溫度，緩慢的退火速度，大量的迭代次數(shù)及同一溫度下足夠多的擾動(dòng)次數(shù)為保證的，從而導(dǎo)致了收斂效率十分低下，算法的計(jì)算量非常大[12]。本文在深入分析了模擬退火原理和傳統(tǒng)GS算法優(yōu)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，結(jié)合模擬退火原理抗局部極值的思想和GS算法收斂目標(biāo)明確、效率高的特點(diǎn)，提出了基于模擬退火原理的改進(jìn)GS算法，并用改進(jìn)算法和傳統(tǒng)GS算法對(duì)不同振幅分布目標(biāo)進(jìn)行了計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)。

2 BOE設(shè)計(jì)理論及基本設(shè)計(jì)算法

2.1 BOE設(shè)計(jì)理論

BOE設(shè)計(jì)理論基于圖1所示的傅里葉光學(xué)變換系統(tǒng)，輸入面P1和輸出面P2分別位于傅里葉透鏡的前焦面和后焦面，二元光學(xué)元件BOE置于P1面上，單色平面波fipt（x，y）垂直入射到BOE平面，經(jīng)過BOE的衍射作用和透鏡L的傅里葉變換，在P2面得到所需的光場振幅分布Ftgt（ξ，η）。

BOE設(shè)計(jì)的實(shí)質(zhì)是[11]：入射光波透過BOE后波前相位受到調(diào)制，然后經(jīng)過透鏡的傅里葉變換作用在輸出平面上呈現(xiàn)出某種光強(qiáng)分布，并且BOE的相位分布與輸出平面上的光強(qiáng)分布是一一對(duì)應(yīng)的，即一種相位分布對(duì)應(yīng)一種輸出平面上的光強(qiáng)分布。這個(gè)過程在物理上是正過程，而BOE的設(shè)計(jì)正好是這個(gè)過程的逆過程，即從任意給定的輸出平面上的目標(biāo)分布函數(shù)Ftgt（ξ，η）和入射光波分布函數(shù)fipt（x，y）去求解引起此光強(qiáng)分布的BOE的相位分布函數(shù)φ（x，y），使最終求得的相位分布函數(shù)φ（x，y）、入射光波分布函數(shù)fipt（x，y）及目標(biāo)振幅分布函數(shù)Ftgt（ξ，η）滿足公式：

圖1 傅里葉光學(xué)變換系統(tǒng)

2.2 模擬退火原理

模擬退火算法（SA）作為局部搜索算法的擴(kuò)展，其核心思想是在每一次修改模型的過程中，在先前最優(yōu)狀態(tài)的鄰域內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)新的狀態(tài)模型，然后以一定的概率選擇鄰域中評(píng)價(jià)函數(shù)更好的狀態(tài)，這種接受新模型的方式使其成為一種全局最優(yōu)算法[3]。模擬退火原理基本思想描述如下[12]：

1）設(shè)初始狀態(tài)i為當(dāng)前狀態(tài)，該狀態(tài)的能量為Ei，然后對(duì)該狀態(tài)做隨機(jī)微擾，得到一個(gè)新狀態(tài)j，新狀態(tài)的能量為Ej；

2）如果Ej＜Ei，則取狀態(tài)j為當(dāng)前狀態(tài)；如果Ej＞Ei，則考慮到熱運(yùn)動(dòng)的影響，狀態(tài)j是否為重要狀態(tài)根據(jù)固體處于該狀態(tài)的概率來判斷，若狀態(tài)i和j的概率比值exp[（Ei－Ej）／（kb·T）]＞r，r為區(qū)間[0，1]上的隨機(jī)數(shù)，則以狀態(tài)j取代狀態(tài)i成為當(dāng)前狀態(tài)，否則仍以狀態(tài)i為當(dāng)前狀態(tài)，再重復(fù)以上新狀態(tài)的產(chǎn)生過程；

3）在大量固體狀態(tài)變換后，系統(tǒng)趨于能量較低的平衡狀態(tài)，固體狀態(tài)的概率分布趨于Boltzm－ann概率分布。

模擬退火原理的實(shí)質(zhì)是在以100%的概率接受使評(píng)價(jià)函數(shù)變好的鄰域擾動(dòng)自變量取值的同時(shí)以exp（（Ei－Ej）／T）＞rand（1）的概率接受使評(píng)價(jià)函數(shù)變壞的自變量改變，使其能跳出局部極值，模擬退火算法應(yīng)用于二元光學(xué)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)時(shí)計(jì)算量很大，效率十分低下，這也是一直影響其真正走向?qū)嵱玫闹饕系K[1]。

2.3 GS算法

GS算法應(yīng)用于二元光學(xué)元件計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)的基本思路是[6]：以初始相位和給定的入射光場分布，通過做正向傅里葉變換，得到輸出平面光場分布；在輸出平面用期望的光場振幅分布取代正向傅里葉變換得到的光場振幅分布，并且保持相位不變；然后做逆向傅里葉變換，得到輸入平面光場分布；在輸入平面用給定的光場振幅分布取代逆向傅里葉變換得到的振幅分布，并且保持相位不變；接著再次做正向傅里葉變換，如此循環(huán)下去，直到得到滿意結(jié)果或達(dá)到足夠多的循環(huán)次數(shù)為止。

GS算法是一種收斂速度很快的算法，但值得注意的是GS算法對(duì)初始參數(shù)很敏感，容易陷入局部極值[10]。

3 改進(jìn)算法原理

GS算法是反復(fù)采用正傅里葉變換和逆傅里葉變換逐步收斂到目標(biāo)函數(shù)的線性變換算法，具有目標(biāo)明確、計(jì)算量小、收斂速度很快的特點(diǎn)，但用這種算法搜索函數(shù)的極小值時(shí)，如果函數(shù)在其定義域范圍內(nèi)單調(diào)性不好，波形起伏頻繁，則收斂的效果就不會(huì)很好，不能跳出局部最優(yōu)解，收斂結(jié)果嚴(yán)重依賴于初始相位的選取[10]；模擬退火算法的核心思想是逐步的退火計(jì)劃和以一定的概率接受惡化解以跳出局部最優(yōu)解，但其計(jì)算量大，效率低下[1]。針對(duì)這兩種算法應(yīng)用于二元光學(xué)元件設(shè)計(jì)的缺點(diǎn)，人們提出了多種改進(jìn)算法，如參考文獻(xiàn)[1、3、10、13]所述。本文基于對(duì)模擬退火原理及GS算法特點(diǎn)的分析，設(shè)計(jì)了基于模擬退火原理的改進(jìn)GS算法，并通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了改進(jìn)算法的優(yōu)越性，算法設(shè)計(jì)如下：

1）對(duì)初始溫度T0、目標(biāo)溫度Tend、降溫速度dT、回火升溫閾值溫度Tlow、初始位相解φ0（x，y）等初始化。

2）對(duì)位相解φbest（x，y）做鄰域擾動(dòng)，得到位相新解φnew（x，y）：

其中S（x，y）為鄰域擾動(dòng)因子，當(dāng)T＞Tlow時(shí)，采用指數(shù)遞減因子Se（x，y）：

其中k為迭代次數(shù)，a、b為自設(shè)系數(shù)；

當(dāng)T≤Tlow時(shí)，采用依賴于溫度的似Cauchy遞減因子Sc（x，y）：

其中T為當(dāng)前溫度。

3）以位相新解φnew（x，y）和給定的入射光場分布fipt（x，y）做正傅里葉變換得到輸出面上的復(fù)振幅分布F（ξ，η）：

由｜F（ξ，η）｜計(jì)算評(píng)價(jià)函數(shù)SSEnew和評(píng)價(jià)函數(shù)改變量ΔSSE：

4）如果評(píng)價(jià)函數(shù)改變量ΔSSE滿足條件：

（當(dāng)T≤Tlow時(shí)取下降速度更快的T′，以保證最后只接受使評(píng)價(jià)函數(shù)變好的結(jié)果）

則以目標(biāo)振幅分布和在步驟（3）中得到的位相解φ進(jìn)行傅里葉逆變換得到f（x，y）：

并接受φangle（x，y）為φbest（x，y），SSEnew為SSEbest。

5）否則結(jié)束本次循環(huán)，φbest（x，y）、SSEbest保持不變，重復(fù)執(zhí)行2）～5），直到滿足當(dāng)前溫度下內(nèi)循環(huán)條件。

6）降溫，進(jìn)行下一組迭代直到溫度下降到目標(biāo)溫度Tend。

在步驟2）中當(dāng)T≤Tlow時(shí)算法進(jìn)行了回火升溫處理并且改變了鄰域擾動(dòng)方式，依賴于溫度的似Cauchy分布產(chǎn)生新鄰域的優(yōu)點(diǎn)是：在高溫情況下搜索范圍大，在低溫時(shí)搜索僅在當(dāng)前模型附近，即具有從高溫到低溫?cái)_動(dòng)范圍逐步平滑下降的特性，從而使其易于迅速跳出局部極值，并能很好保持搜索到的最優(yōu)解[12]，通過這一改進(jìn)可以使模型具有再次跳出局部極值的機(jī)會(huì)，提高了模型的全局尋優(yōu)能力，并且逐步降低接受惡化解的可能性，使模型最終能很好保持搜索到的最優(yōu)解；在步驟4）中改進(jìn)算法進(jìn)行有選擇的傅里葉逆變換，即當(dāng)滿足式（7）所示條件時(shí)進(jìn)行傅里葉逆變換，減少了運(yùn)算時(shí)間，提高了迭代效率?；谀M退火原理的改進(jìn)GS算法流程如圖2所示。

圖2 改進(jìn)GS算法流程圖

圖3 目標(biāo)振幅分布

通過對(duì)目標(biāo)a所示圖形進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)可以驗(yàn)證算法對(duì)呈中心對(duì)稱分布圖形的設(shè)計(jì)性能，對(duì)目標(biāo)b所示圖形進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)則可驗(yàn)證算法對(duì)任意分布圖形的設(shè)計(jì)性能。

均方誤差SSE和擬合系數(shù)η是衡量再現(xiàn)圖樣與目標(biāo)圖樣差異的主要指標(biāo)，能夠反映出再現(xiàn)圖樣的均勻性以及再現(xiàn)圖樣與目標(biāo)圖樣的接近程度，在實(shí)際設(shè)計(jì)計(jì)算中，一般將均方誤差SSE或擬合系數(shù)η作為優(yōu)化設(shè)計(jì)算法的目標(biāo)函數(shù)[10]，本文采用均方誤差SSE作為評(píng)價(jià)函數(shù)，擬合系數(shù)η作為輔助評(píng)價(jià)手段。

傳統(tǒng)的模擬退火算法采用對(duì)BOE元件各個(gè)相位單元進(jìn)行逐個(gè)尋優(yōu)，這是導(dǎo)致SA算法效率低下的一個(gè)重要原因[13]，本文所探討的改進(jìn)算法采用的是對(duì)整個(gè)BOE元件的相位面進(jìn)行鄰域擾動(dòng)尋優(yōu)，其核心思想是以GS迭代為基本框架，但在每一次GS迭代中都采用了模擬退火原理思想，在保證算法收斂效率的同時(shí)增加了算法的抗局部極值能力，能更好的全局尋優(yōu)，并且通過引入判斷條件減少了進(jìn)行傅里葉逆變換的次數(shù)，收斂效率相對(duì)于GS算法得到了進(jìn)一步提高。

4 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

本文采用圖1所示的傅里葉變換光路進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，設(shè)定入射高斯光束波長632.8nm，束腰半徑1.5mm，BOE元件邊長為x＝y(tǒng)＝5mm，輸入與輸出面采樣點(diǎn)數(shù)均為128×128。

為了驗(yàn)證改進(jìn)算法對(duì)二元光學(xué)元件計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)的有效性，目標(biāo)圖形采用如圖3（a）所示呈中心對(duì)稱分布的方形光斑，其中方形光斑邊長為2mm×2mm，以及如圖3（b）所示模擬任意形狀的北京奧運(yùn)會(huì)會(huì)徽?qǐng)D案：

φ（x，y）即為所求二元光學(xué)元件的位相分布。

通過取不同的初始相位可以判斷算法對(duì)初始相位的敏感性，因此當(dāng)以圖3（a）為目標(biāo)分布時(shí)，初始相位分別取以下四種情況：

1）φ0（x，y）取128×128維全0矩陣；

2）φ0（x，y）取128×128維全1矩陣；

3）φ0（x，y）取通過目標(biāo)振幅分布Ftgt（ξ，η）傅里葉逆變換獲得的相位值；

4）φ0（x，y）取元素為[－π，π]之間隨機(jī)值的128×128維矩陣；

用GS算法和改進(jìn)算法在以上四種情況下取相同的初始相位得到的仿真結(jié)果如表1所示，計(jì)算時(shí)間是在計(jì)算機(jī)CPU為AMD Athlon64，主頻2.31GHZ下得到的。

由表1可以看出在以上四種初始相位情況下，改進(jìn)算法相對(duì)于GS算法均方誤差SSE平均減小了14.83%，擬合系數(shù)η平均提高了0.04%，迭代4000次所用時(shí)間平均減少了15.63%，證明改進(jìn)算法相對(duì)于傳統(tǒng)GS算法具有計(jì)算量小、收斂快、全局尋優(yōu)能力強(qiáng)的特點(diǎn)；同時(shí)我們也發(fā)現(xiàn)當(dāng)初始相位取前三種情況時(shí)，在每一種情況下GS算法迭代4000次都得到相同的結(jié)果，說明GS算法在很大程度上受制于初始相位的選取，抗局部極值能力弱；而改進(jìn)算法因?yàn)椴捎昧四M退火原理的思想，通過鄰域擾動(dòng)及以一定概率接受使評(píng)價(jià)函數(shù)變壞的結(jié)果，降低了對(duì)初始值選取的敏感性，提高了全局尋優(yōu)能力。

其中，F(xiàn)tgt（ξ，η）為目標(biāo)復(fù)振幅分布，F(xiàn)（ξ，η）為入射波光束垂直入射到BOE后經(jīng)過透鏡的傅里葉變換在成像面上得到的復(fù)振幅分布：

表1 不同初始相位下傳統(tǒng)GS算法和改進(jìn)GS算法仿真結(jié)果

圖4（a）所示為采用隨機(jī)初始相位時(shí)改進(jìn)算法和GS算法的評(píng)價(jià)函數(shù)曲線圖，由圖可知GS算法在迭代2453次時(shí)達(dá)到局部極值，其后的迭代結(jié)果沒有明顯的改進(jìn)，并且最終不能保持搜索到的最優(yōu)解；改進(jìn)算法在第一階段收斂到局部極值后，經(jīng)過再次升溫?cái)_動(dòng)，模型具有了跳出局部極值的能力，經(jīng)過第二階段的擾動(dòng)尋優(yōu)后，取得了更好的尋優(yōu)結(jié)果，并且在其后的迭代過程中逐步降低接受評(píng)價(jià)函數(shù)變壞的概率直到只接受使評(píng)價(jià)函數(shù)變好的擾動(dòng)，使得改進(jìn)算法的尋優(yōu)能力得到了明顯的提高。

圖4（b）所示為采用改進(jìn)算法和GS算法取第四種初始相位情況下進(jìn)行25000次迭代獲得的評(píng)價(jià)函數(shù)曲線圖，仿真結(jié)果顯示：GS算法獲得的最小均方誤差SSE＝4.5%，最優(yōu)擬合系數(shù)η＝97.77%，耗時(shí)755.2s；改進(jìn)算法獲得的最小均方誤差SSE＝3.68%，最優(yōu)擬合系數(shù)η＝97.82%，耗時(shí)611.59s，并且自第二次擾動(dòng)后評(píng)價(jià)函數(shù)值一直優(yōu)于GS算法并在迭代結(jié)束時(shí)獲得最優(yōu)解。進(jìn)一步驗(yàn)證了改進(jìn)算法隨著迭代次數(shù)的增加可進(jìn)一步搜索全局最優(yōu)解，具有很強(qiáng)的全局尋優(yōu)能力，而GS算法已陷入局部極值不能繼續(xù)尋優(yōu)。

圖4 GS算法和改進(jìn)算法仿真實(shí)驗(yàn)評(píng)價(jià)函數(shù)曲線圖

圖5（a）、（b）分別為在第4種情況下取相同的初始相位時(shí)GS算法和改進(jìn)算法迭代4000次仿真得到的輸出面振幅分布截面圖，由圖可知改進(jìn)算法獲得的結(jié)果中心方形光束部分能量更集中，并且方形光束之外區(qū)域光場分布更少，所得結(jié)果更接近目標(biāo)振幅分布。

當(dāng)以圖3（b）所示圖形（北京奧運(yùn)會(huì)會(huì)徽?qǐng)D案）為目標(biāo)振幅分布時(shí)，采用改進(jìn)算法及GS算法取相同的隨機(jī)初始相位分別迭代4000次得到的評(píng)價(jià)函數(shù)曲線如圖6所示。

圖5 輸出面歸一化振幅分布截面圖

圖6 GS算法和改進(jìn)算法仿真實(shí)驗(yàn)評(píng)價(jià)函數(shù)曲線圖

仿真結(jié)果顯示：GS算法獲得的最小均方誤差SSE＝6.577%，最優(yōu)擬合系數(shù)η＝98.04%，耗時(shí)131.3s；改進(jìn)算法獲得的最小均方誤差SSE＝5.739%，最優(yōu)擬合系數(shù)η＝98.08%，耗時(shí)115.4s，并且自第二次擾動(dòng)后評(píng)價(jià)函數(shù)值一直優(yōu)于GS算法并在迭代結(jié)束時(shí)獲得最優(yōu)解；證明改進(jìn)算法對(duì)GS算法的優(yōu)越性同樣適用于對(duì)任意不對(duì)稱分布目標(biāo)圖形的二元光學(xué)元件計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)。

灰度直方圖反映了圖像中各個(gè)灰度級(jí)與該灰度級(jí)像素出現(xiàn)的頻率之間的關(guān)系，明亮圖像的灰度直方圖傾向于灰度級(jí)高的一側(cè)，對(duì)比度高的圖像直方圖覆蓋的灰度級(jí)很寬而且像素分布不均勻，集中分布在高灰度級(jí)和低灰度級(jí)上[14]，因此通過灰度直方圖可以評(píng)斷圖像的明亮程度及對(duì)比度。圖3（b）具有對(duì)比度高、目標(biāo)圖像明亮的特點(diǎn)，因此若仿真圖形的直方圖覆蓋的灰度級(jí)寬、并且趨近于灰度級(jí)高的一側(cè)，則獲得的效果更好。圖7（a）、（b）分別為GS算法和改進(jìn)算法仿真得到的輸出面圖形的灰度直方圖，由圖可知GS算法獲得的直方圖明暗波峰覆蓋范圍為182、明亮成分中心灰度級(jí)為196，而改進(jìn)算法獲得的直方圖明暗波峰覆蓋范圍為194、明亮成分中心灰度級(jí)為208，說明改進(jìn)算法獲得的圖形的直方圖覆蓋的灰度級(jí)寬、并且趨近于灰度級(jí)高的一側(cè)，因此改進(jìn)算法的優(yōu)化設(shè)計(jì)效果更好。

圖7 輸出面圖像灰度直方圖

圖8（a）、（b）分別為GS算法和改進(jìn)算法仿真得到的效果圖。

圖8 輸出面振幅分布

5 結(jié)語

改進(jìn)算法以GS迭代為基本框架，在每一次迭代過程中又引入了模擬退火的思想，首先確保了收斂的速度，具有很高的效率，然后對(duì)每一次迭代的自變量都引入了鄰域擾動(dòng)，并且以一定的概率接收惡化解，使算法具有跳出局部最優(yōu)解的能力，在溫度下降到一定閾值后進(jìn)行升溫處理并且改變鄰域擾動(dòng)因子，給模型再次跳出局部極值的機(jī)會(huì)，在很大程度上保證了全局尋優(yōu)。本文通過采用兩種不同的目標(biāo)圖像進(jìn)行仿真，驗(yàn)證了改進(jìn)算法的優(yōu)越性，其運(yùn)行效率高，全局尋優(yōu)能力強(qiáng)，并且降低了對(duì)位相初值的敏感性，能對(duì)任意目標(biāo)圖像進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真設(shè)計(jì)，是進(jìn)行二元光學(xué)元件計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)的有效算法，在二元光學(xué)計(jì)算機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)中具有很好的應(yīng)用前景。

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