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      二階隱式微分方程四點積分邊值問題解的存在唯一性

      2013-08-08 09:52:06姚曉斌
      長春師范大學學報 2013年4期
      關(guān)鍵詞:邊值數(shù)學系邊值問題

      姚曉斌

      (隴南師范高等??茖W校數(shù)學系,甘肅隴南 742500)

      對于帶有各種邊值條件的顯式二階微分方程,已有很多關(guān)于解的存在唯一性的結(jié)果,且在這些問題研究中有著很多的研究方法[1-4]。本文討論如下二階隱式微分方程四點積分邊值問題:

      解的存在唯一性,其中 0≤ξ<η<1,0<α(η2-ξ2)<2,f∈C([0,1],R,R)。

      1 預備知識

      (H1)f:[0,1]×R×R→R 是連續(xù)的;(H2)存在 M,L>0,使得對任意的 u1,v1,u2,v2∈R,

      2 主要結(jié)果及證明

      定理 設(shè)(H1)和(H2)成立,且

      則問題(1)有唯一解。

      證明 問題(1)等價于如下問題

      的解,這表明 u(t)=φ(t)是問題(1)的解,其中,因此v是如下積分方程

      要證問題(1)有唯一解等價于證明上面所定義的算子A是一個壓縮映射。

      設(shè) v1,v2∈C[0,1],由(H2)有

      其中

      因此對任意 v1,v2∈C[0,1],||Av1-Av2||0<σ||v1-v2||0成立,且,這表明A是一個壓縮映射。

      [1]Agarwal,R.P.Two-point problems for non-linear second order differential equat ions[J].J.Math.Phys.Sci.1974(8):571-576.

      [2]Das,K.M.and Lalli,B.S.Boundaryvalue problems for y″=f(x,y,y′,y″)[J].J.Math.Analysis Applic.1981,81:300-307.

      [3]Agarwal,R.P.On boundaryvalue problems for y″=f(x,y,y′,y″)Bulletin ofthe institute ofmathematics[J].Academia,sinica,1984,12(2):153-157.

      [4]Baxley,J.V.and Brown,S.E.Existence and uniqueness for two-point boundaryvalue problems[J].Proceedings ofthe Royal Societyof Edinburgh,1981,88A:219-234.

      [5]D.Guo,J.Sun.Nonlinear Integral Equations[M].Jinan:ShandongScience and EchnologyPress,1987(in Chinese).

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