航空發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)建模方法和振動特性分析

張 力 洪 杰 馬艷紅

(中航工業(yè)沈陽發(fā)動機(jī)設(shè)計研究所，沈陽110015)(北京航空航天大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院，北京100191)

對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行動力學(xué)特性分析時，主要有傳遞矩陣法和有限元法.隨著計算機(jī)技術(shù)和有限元商用軟件的發(fā)展，有限元方法以其便捷高效的特點(diǎn)廣泛應(yīng)用于復(fù)雜轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)計算.近些年，大量的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)研究基于有限元方法，建模時的單元選取主要分為梁單元和實(shí)體單元兩類.文獻(xiàn)［1－2］早年采用梁單元對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)建模分析，考慮了轉(zhuǎn)動慣量和彎曲效應(yīng).文獻(xiàn)［3］的梁單元模型中，可以考慮轉(zhuǎn)子的陀螺力矩效應(yīng).之后，文獻(xiàn)［4－5］分別將瑞利梁理論和鐵木辛柯梁理論應(yīng)用到臨界轉(zhuǎn)速分析中.文獻(xiàn)［6］采用梁單元對發(fā)動機(jī)整機(jī)建模并縮減自由度.文獻(xiàn)［7］采用實(shí)體單元對錐形軸段建模，較梁單元有更好的準(zhǔn)確性.文獻(xiàn)［8］建立了轉(zhuǎn)子的實(shí)體單元循環(huán)對稱模型，同樣表明在計算不平衡響應(yīng)時比梁單元具有提升.文獻(xiàn)［9］采用ANSYS軟件對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行建模和動力學(xué)分析，證明程序可以考慮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的陀螺力矩效應(yīng).文獻(xiàn)［10］采用基于實(shí)體單元的整機(jī)動力特性分析方法，對復(fù)雜轉(zhuǎn)子系統(tǒng)建模時，考慮了陀螺力矩的影響.文獻(xiàn)［11］提出了兩種?；L葉片方法，對汽輪機(jī)轉(zhuǎn)子進(jìn)行建模并求解臨界轉(zhuǎn)速，與試驗(yàn)結(jié)果對比分析表明，該方法可以準(zhǔn)確地模擬輪盤和長葉片的陀螺力矩效應(yīng).渦扇發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)與地面旋轉(zhuǎn)機(jī)械不同，由于對重量的控制，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的剛度一般較弱，并含有大尺寸、大質(zhì)量、大轉(zhuǎn)動慣量的葉盤結(jié)構(gòu)，需要充分考慮其結(jié)構(gòu)特征和動力學(xué)特征的影響.在建模方法上，主要問題集中在選用的單元和模型結(jié)構(gòu)的簡化形式，將直接影響結(jié)果的準(zhǔn)確性和計算經(jīng)濟(jì)性.

本文對航空發(fā)動機(jī)典型轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行結(jié)構(gòu)特征分析，對比不同單元類型和不同模型簡化方法對求解轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響，提出一種等效剛性圓環(huán)法對具有柔性轉(zhuǎn)子特征的系統(tǒng)進(jìn)行有限元建模分析.

1 單元類型對轉(zhuǎn)子動力特性的影響

以某簡單盤軸轉(zhuǎn)子為例，分析離心預(yù)應(yīng)力效應(yīng)、陀螺力矩效應(yīng)以及旋轉(zhuǎn)軟化效應(yīng)對共振轉(zhuǎn)速的影響.模型為簡單的單盤轉(zhuǎn)子，如圖1所示.相關(guān)參數(shù):L=305 mm，a=500 mm，d1=30 mm，d2=300 mm，B=25 mm，彈性模量 E=2.06×105MPa，泊松比 μ=0.3，密度 ρ=7 800 kg/m3，左支點(diǎn)為剛性固定鉸支，右支點(diǎn)為剛性可動鉸支.

圖1 單盤轉(zhuǎn)子模型示意圖

分別采用梁單元和實(shí)體單元對0轉(zhuǎn)速和500 rad/s轉(zhuǎn)速進(jìn)行共振轉(zhuǎn)速求解，求得前三階共振轉(zhuǎn)速結(jié)果對比如表1、表2和表3所示，相對應(yīng)的模態(tài)振型如圖2所示.

表1 共振轉(zhuǎn)速計算結(jié)果對比表(0轉(zhuǎn)速)

由表1～表3的計算結(jié)果對比，可得結(jié)論如下:

對于簡單盤軸轉(zhuǎn)子，在不考慮轉(zhuǎn)速影響時，采用梁單元和實(shí)體單元計算得到的各階固有頻率基本一致，相對誤差很小;轉(zhuǎn)速對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)共振轉(zhuǎn)速的影響主要表現(xiàn)在離心載荷效應(yīng)、陀螺力矩效應(yīng)以及旋轉(zhuǎn)軟化效應(yīng)上，其中離心載荷效應(yīng)和陀螺力矩效應(yīng)對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)各階共振轉(zhuǎn)速影響較大，相應(yīng)的影響程度和所對應(yīng)振型有關(guān)，而旋轉(zhuǎn)軟化效應(yīng)對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)橫向振動的影響很小，因此可以忽略;梁單元模型由于求解程序的限制，不能考慮離心預(yù)應(yīng)力效應(yīng)和旋轉(zhuǎn)軟化效應(yīng)的影響，因此在某些階共振轉(zhuǎn)速的求解中可能帶來較大誤差.

2 轉(zhuǎn)子動力特性相似與有限元建模

對于復(fù)雜的航空發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行有限元模型時，必須對其結(jié)構(gòu)進(jìn)行必要地簡化，如何簡化主要取決于結(jié)構(gòu)對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)特征的影響.主要表現(xiàn)在對軸的彎曲剛性，質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)動慣量的陀螺力矩效應(yīng)等幾個方面.對于具體結(jié)構(gòu)的的簡化主要分為:對盤軸的簡化，可采用三維實(shí)體單元或是一維梁單元模型;對葉片的簡化，可采用三維實(shí)體單元和質(zhì)量單元模型兩種.

2.1 航空發(fā)動機(jī)典型柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)

圖3所示為典型高涵道比渦扇發(fā)動機(jī)高低壓轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)，其特征是低壓轉(zhuǎn)子穿過高壓轉(zhuǎn)子，軸徑細(xì)且跨度長，風(fēng)扇多采用變截面彎扭復(fù)合葉片，通常有3～5級渦輪，葉片長且數(shù)目多，因而葉片質(zhì)量、慣性力矩和離心力均會對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力特性產(chǎn)生復(fù)雜影響，錐殼結(jié)構(gòu)較多.其一方面，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，尤其是變截面彎扭葉片的大量應(yīng)用，完全按照幾何特征建模，耗時費(fèi)力，計算經(jīng)濟(jì)性差;另一方面，考慮到質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量分布、離心力和陀螺力矩效應(yīng)等均會對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)特性產(chǎn)生重要影響，需要通過定量分析對轉(zhuǎn)子動力特性的具體影響，來選取這些力學(xué)特征參數(shù)和建立相應(yīng)的模型.

圖3 典型高涵道比渦扇發(fā)動機(jī)低壓轉(zhuǎn)子

2.2 盤軸簡化建模

對于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)主要組成結(jié)構(gòu)盤－軸的有限元建模，通常采用有兩種方法:一是梁單元模型，忽略盤的幾何特征，使用質(zhì)量單元將等效質(zhì)量加入模型中;另一種是采用實(shí)體單元建立模型，這種建模方法可以最大限度的保留其幾何和力學(xué)特征.下面以一個大涵道比渦扇發(fā)動機(jī)低壓轉(zhuǎn)子為例，通過轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)特性計算結(jié)果對比，分析兩種建模方法的差異.

在發(fā)動機(jī)結(jié)構(gòu)方案設(shè)計階段，通常采用梁－剛性輪盤-彈簧模型進(jìn)行模擬，這種模型計算效率高，適用于有大量的設(shè)計參數(shù)需要調(diào)整的初步階段.將低壓轉(zhuǎn)子沿軸向劃分為150個梁單元，梁單元模型分段如圖4所示.在軸的梁單元建模中，通過梁單元直徑的不同可以調(diào)整軸彎曲剛度，滿足與實(shí)際軸的力學(xué)等效.對于風(fēng)扇、增壓級和渦輪葉片和輪盤，則只考慮其質(zhì)量作為集中質(zhì)量單元(考慮質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量)和外力作用在其質(zhì)心所在的軸向位置上.軸承支點(diǎn)位置建立彈簧單元，用以等效模擬支承剛度.

圖4 低壓轉(zhuǎn)子梁單元振型

對于實(shí)體單元建模，采用8節(jié)點(diǎn)6面體的實(shí)體單元對盤、軸和鼓筒等部件進(jìn)行單元離散，建立實(shí)體單元模型如圖5所示.對于葉片的力學(xué)特征，則通過在相應(yīng)每級輪轂外緣上沿周向均布多個集中質(zhì)量單元，進(jìn)行力學(xué)特征模擬和等效.在3個支承位置建立彈簧單元，模擬支承剛度對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)影響.

圖5 低壓轉(zhuǎn)子實(shí)體單元模型

采用ANSYS程序，分別對0 r/min，1 000 r/min，3000 r/min和6000 r/min 4個轉(zhuǎn)速下的振動固有特性進(jìn)行求解，計算中考慮陀螺力矩的影響，各階模態(tài)振型圖如圖6所示，分別求得兩種模型前4階共振轉(zhuǎn)速如表4和表5所示.

圖6 轉(zhuǎn)子各階共振轉(zhuǎn)速下振型(三維實(shí)體單元模型)

依據(jù)表 4、表 5數(shù)據(jù)，繪制兩種模型的Campbell圖如7所示.

由圖7可見，分別采用梁單元和實(shí)體單元模型，在零轉(zhuǎn)速時各階固有頻率相對誤差很小.但隨轉(zhuǎn)速的提高，有限元模型對各階動頻曲線的影響規(guī)律產(chǎn)生了很大的不同.①在零轉(zhuǎn)速時各階固有頻率相對誤差很小;②對于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的第1，2階模態(tài)動頻曲線，兩種模型的差異較小，但實(shí)體單元模型隨轉(zhuǎn)速的增長速度略高于梁單元模型;③對于第3，4階模態(tài)動頻曲線，2種模型的差異較大，梁單元模型隨轉(zhuǎn)速的增長速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于實(shí)體單元模型.

表4 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)前4階共振轉(zhuǎn)速及振型(一維梁單元模型)

表5 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)前4階共振轉(zhuǎn)速及振型(實(shí)體單元模型)

圖7 兩種模型的Campbell圖對比

分析兩種模型其原因如下:

對于第1，2階模態(tài)振型，由于其振型是整體一彎和渦輪平動，陀螺力矩的影響較小，建模方法上的差異影響不大，但是在梁單元模型中，不能較好地?；F殼(進(jìn)氣錐、渦輪盤根部錐殼段)和直徑突變帶來的軸段彎曲剛度變化，因而存在一些差異.

第3，4階模態(tài)振型分別為壓氣機(jī)和渦輪的俯仰振動.陀螺力矩對軸的附加剛度影響很大，在梁單元模型中，由于對盤和鼓筒進(jìn)行局部剛化，沒有考慮輪盤變形的影響，這相當(dāng)于增強(qiáng)了陀螺力矩效應(yīng)，在俯仰振型的橫向振動中體現(xiàn)得較為明顯.

2.3 葉片簡化

大涵道比渦扇發(fā)動機(jī)低壓轉(zhuǎn)子的另外一個典型結(jié)構(gòu)特征是帶有大尺寸的風(fēng)扇葉片，大風(fēng)扇葉片的尺寸和質(zhì)量效應(yīng)及盤片耦合振動將對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的橫向振動帶來影響，如果對各級葉片不做簡化，采用精確三維實(shí)體模型固然可以獲得轉(zhuǎn)子系統(tǒng)橫向振動模態(tài)的準(zhǔn)確解，但計算量過大，同時由于盤片耦合效應(yīng)，使得計算結(jié)果的后處理工作過于繁重，因此本節(jié)針對簡單的葉-盤-軸轉(zhuǎn)子模型，研究帶大質(zhì)量葉片的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)實(shí)體建模方法.

圖8為葉片-盤的有限元網(wǎng)格圖.在圖中各節(jié)點(diǎn)的位移矢量可表示為

其中

質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為

圖8 葉片-盤有限元網(wǎng)格

如果將葉片簡化為集中質(zhì)量加在輪緣上，這時其對應(yīng)的葉片位移δk則被忽略.

質(zhì)量矩陣和剛度矩陣則變?yōu)?/p>

式(7)、式(8)兩個矩陣的變化將對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的固有振動特性產(chǎn)生一定的影響.

此外，另一個重要的力學(xué)特征，葉盤的耦合振動被忽略，這將使帶大尺寸風(fēng)扇盤結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的橫向振動特性分析產(chǎn)生大的誤差.

建立葉片-盤-軸轉(zhuǎn)子模型如圖9所示，用于分析結(jié)構(gòu)間的耦合振動對轉(zhuǎn)子的橫向振動特性的影響.

圖9 葉盤軸轉(zhuǎn)子模型

葉-盤-軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的前4階模態(tài)振型如圖10所示.

圖10 葉-盤-軸系統(tǒng)的前4階振型

在不考慮轉(zhuǎn)速影響時，求得精確有限元模型以及各種簡化模型的共振轉(zhuǎn)速計算結(jié)果見表6.

表6 各種簡化模型固有頻率對比表

為便于分析，表中以整體有限元模型為基準(zhǔn)值，各階固有頻率取為1，各種簡化模型的固有頻率值為相對比值.

由表6可見，對于第3階彎曲模態(tài)，由于其振型為純粹的軸段彎曲，葉盤幾乎沒有位移，因此，對于該階振動模態(tài)，各種葉盤等效方法對計算結(jié)果影響不大;對于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的1階、2階彎曲模態(tài)，葉片質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量的分布對固有頻率的影響非常明顯，因此忽略葉片或者將葉片作為質(zhì)量單元的等效方法將會帶來一定的誤差.采用第3種簡化方法，將葉片作為剛體處理，并采用實(shí)體模型建模，可以準(zhǔn)確的考慮葉片質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量，又可以忽略葉片和盤局部耦合振動帶來的復(fù)雜模態(tài)特征.

3 三維實(shí)體模型的動力學(xué)修正

由上述對比計算分析，可看出對于傳統(tǒng)的有限元建模方法，在帶有大尺寸葉盤結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，進(jìn)行轉(zhuǎn)子動力學(xué)計算分析時需要考慮:離心載荷效應(yīng)的剛度增強(qiáng)，輪盤的彈性變形，葉-盤-軸耦合振動效應(yīng)對轉(zhuǎn)子橫向振動的影響，錐形結(jié)構(gòu)的?；?同時，還要力求控制有限元模型的規(guī)模，計算結(jié)果便于分析.因此，為準(zhǔn)確等效大尺寸葉片的力學(xué)特征，大尺寸葉片等效為剛性環(huán)盤的方法對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行有限元建模.

3.1 等效剛性環(huán)盤建模

既要準(zhǔn)確反映大涵道比發(fā)動機(jī)低壓轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)特征，又要盡可能減小模型規(guī)模和便于分析，應(yīng)當(dāng)在動力學(xué)上修正原有模型，使得在模型中可以用較少的單元來描述其質(zhì)量和陀螺力矩的影響.可以采用等效剛性環(huán)盤來模擬葉片的質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)動慣量，軸承部分仍然使用相互垂直的一對彈簧單元代替.這樣整個轉(zhuǎn)子和葉片的離心效應(yīng)、陀螺力矩以及旋轉(zhuǎn)軟化效應(yīng)都能夠考慮進(jìn)去，而且振動耦合也會更加真實(shí)，同時還可以濃縮模型的單元數(shù)，保證計算高效率.

對葉片的等效剛性環(huán)盤的建立需要滿足下列?；瓌t:①模化前后質(zhì)量m不變;②?；昂髽O轉(zhuǎn)動慣量Jρ不變;③?；昂笕~片離心力F不變;④環(huán)盤填充了原型葉片間的間隙，增強(qiáng)了周向的剛性，應(yīng)減弱模型結(jié)構(gòu)變化對結(jié)果的影響;⑤對轉(zhuǎn)子橫向振動的結(jié)果分析，避免由于葉片和葉盤的耦合振動增加分析的難度.

應(yīng)用上述等效原則，對圖5所示轉(zhuǎn)子的實(shí)體模型進(jìn)行動力修正.等效環(huán)盤需要確定的參數(shù)有外徑 R、內(nèi)徑 r、密度 ρ、厚度 h、彈性模量 E.等效盤的內(nèi)徑r即為葉根處的半徑，為已知.R，ρ，h可通過方程式(9)～式(11)聯(lián)立解出，原型參數(shù)可通過軟件從三維模型提取.

此外，建立環(huán)盤有限元模型時，可選用各項(xiàng)異性材料，通過提高徑向彈性模量使之產(chǎn)生剛化效應(yīng)，減低周向彈性模量使之減少周向的約束，更加準(zhǔn)確地模擬大尺寸葉片的力學(xué)特征.建立有限元模型如圖11所示.

圖11 低壓轉(zhuǎn)子動力學(xué)修正模型

3.2 計算結(jié)果

求得動力學(xué)修正實(shí)體模型在各轉(zhuǎn)速下的共振轉(zhuǎn)速如表7所示.

表7 不同轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)共振轉(zhuǎn)速

將修正實(shí)體單元的計算結(jié)果與前節(jié)梁單元與傳統(tǒng)實(shí)體單元的計算結(jié)果進(jìn)行對比，各動頻曲線對比如圖12所示.

圖12 帶大風(fēng)扇柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動特性對比分析

3.3 結(jié)果分析

由圖12可見，前兩階振型渦輪盤和風(fēng)扇盤的俯仰較小，陀螺力矩對共振轉(zhuǎn)速的影響較小，相對誤差較小.第3，4階振型頻率的相對誤差較大，由于這兩階振型全都帶有較大的葉盤俯仰擺動，葉盤陀螺力矩在這種振型下的作用體現(xiàn)的明顯.在傳統(tǒng)實(shí)體單元建模方法中，葉片等效為集中質(zhì)量單元，在采用ANSYS程序求解時無法考慮非軸對稱模型的陀螺力矩效應(yīng)，因而弱化了陀螺力矩的影響.結(jié)果表明，采用等效環(huán)盤法對非連續(xù)的風(fēng)扇葉片結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡化和等效建模，可以修正傳統(tǒng)實(shí)體有限元模型中陀螺力矩效應(yīng)對固有頻率的影響，模型可以較好地用于后續(xù)的轉(zhuǎn)子動力學(xué)計算分析.

4 結(jié)論

通過對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)建模方法的研究，指出了不同單元類型和不同簡化方法在轉(zhuǎn)子動力學(xué)分析中的影響因素.①梁單元模型不能考慮離心載荷效應(yīng)對結(jié)構(gòu)剛度增強(qiáng)作用，而對于某些橫向彎曲振型，離心載荷效應(yīng)影響較大，因此可能帶來較大誤差;②采用梁單元和集中質(zhì)量單元建模時，忽略了輪盤的柔性變形對大尺寸葉盤結(jié)構(gòu)的陀螺力矩的影響，使陀螺效應(yīng)增強(qiáng);③梁單元模型忽略了葉片-盤-軸耦合振動效應(yīng)對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)橫向振動的影響，從而可能導(dǎo)致梁單元模型的陀螺力矩影響偏大;④對于錐、殼結(jié)構(gòu)，采用梁單元進(jìn)行有限元離散時，將引入結(jié)構(gòu)簡化的誤差;⑤對葉片采用實(shí)體單元離散，由于模型為非軸對稱，在ANSYS程序中無法考慮其陀螺力矩效應(yīng)，同時由于葉片-盤局部耦合振動，使得篩選轉(zhuǎn)子橫向振動的后處理工作過于繁重，很難獲得轉(zhuǎn)子橫向振動的各階模態(tài)結(jié)果.

在綜合考慮各種有限元模型特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，提出了適用于帶有大尺寸葉片-盤結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)分析的修正實(shí)體模型建立方法，使用等效剛性環(huán)盤來模擬葉片質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量分布及其對轉(zhuǎn)子動力特性的計算影響.通過對某型大涵道比渦扇發(fā)動機(jī)低壓轉(zhuǎn)子系統(tǒng)共振轉(zhuǎn)速的計算結(jié)果對比，驗(yàn)證了葉片力學(xué)特征等效剛度環(huán)盤可以有效地模擬葉片的陀螺力矩影響，模型規(guī)模易于控制，可用于葉片-盤-軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的橫向振動特性分析.

References)

［1］Ruhl R L.Dynamics of distributed parameter rotor systems:transfer matrix and finite element techniques［D］.New York:Cornell University，1970

［2］Ruhl R L，Booker J F.A finite element model for distributed parameter turborotor systems［J］.Journal of Engineering for Industry，1972，94:128－132

［3］Thorkildsen T.Solution of a distributed mass and unbalanced rotor system using a consistent mass matrix approach［D］.Arizona:Arizona State University，1974

［4］Polk S R.Finite element formulation and solution of flexible rotor-rigid disc systems for natural frequencies and critical whirl speed［D］.Arizona:Arizona State University，1974

［5］Nelson H D，Mcvaugh J M.The dynamics of rotor bearing systems using finite elements［J］.Journal of Engineering for Industry，1976，98:593－600

［6］James T，Charles L，Jonathan L.Reduced-order modeling and wavelet analysis of turbofan engine structural response due to foreign object damage(FOD)events［J］.Journal of Engineering for Gas Turbines and Power，2007，129(3):814 – 826

［7］Nandi A，Neogy S.Modelling of rotors with three-dimensional solid finite elements［J］.Journal of Strain Analysis for Engineering Design，2001，36(4):359 – 371

［8］Lazarus A，Prabel B，Combescure D.A 3D finite element model for the vibration analysis of asymmetric rotating machines［J］.Journal of Sound and Vibration，2010，329(18):3780－3797

［9］Kumar S M.Rotor dynamic analysis using ANSYS［C］//Gupta K.IUTAM Symposium on Emerging Trends in Rotor Dynamics.New York:Springer Science Business Media，2011:153－162

［10］陳萌，馬艷紅，劉書國，等.航空發(fā)動機(jī)整機(jī)有限元模型轉(zhuǎn)子動力學(xué)分析［J］.北京航空航天大學(xué)學(xué)報，2007，33(9):1014–1016 Chen Meng，Ma Yanhong，Liu Shuguo，et al.Rotordynamic analysis of whole aero-engine models based on finite element method［J］.Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2007，33(9):1014 – 1016(in Chinese)

［11］王超，王延榮，徐星仲，等.應(yīng)用三維有限元法計算汽輪機(jī)轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速和模化長葉片［J］.動力工程，2007，27(6):840－844 Wang Chao，Wang Yanrong，Xu Xingzhong，et al.Simulation of long blades and calculation of critical speeds of the steam turbine rotor by 3D finite element methods［J］.Journal of Power Engineering，2007，27(6):840－844(in Chinese)