關(guān)于一類求直線問(wèn)題的討論

郭佳

摘要：討論了求平行于定方向并與兩條已知直線相交的直線問(wèn)題可能的解的情況，在有唯一解的情況下給出該問(wèn)題的解法

關(guān)鍵詞：直線；平面；平行；相交；方向向量

在空間解析幾何中，直線和平面是一個(gè)很重要的內(nèi)容對(duì)這部分內(nèi)容的考查方法也很靈活，在各類教材和習(xí)題冊(cè)中都會(huì)出現(xiàn)如下一道求直線的問(wèn)題：

問(wèn)題：給定空間一非零向量

由于空間兩直線的位置關(guān)系有平行，相交，重合與異面幾種情況，因此當(dāng)題目中

l，l的位置關(guān)系不同時(shí)，該問(wèn)題也會(huì)相應(yīng)地出現(xiàn)無(wú)解，有無(wú)數(shù)多解和有唯一解幾種情況下面先對(duì)這幾種情況進(jìn)行討論，再對(duì)有唯一解的情況給出幾種不同的解法為方便起見，認(rèn)為已知向量v既不平行于

l又不平行于l

一、對(duì)問(wèn)題的分析

l，l重合時(shí)，過(guò)l（l）上任一點(diǎn)以

v為方向向量作直線l，則直線l都滿足題意，即平行于

v且與l，l都相交的直線有無(wú)數(shù)多個(gè)

當(dāng)l，l平行時(shí)，l，l確定的平面記為π，

（）若v平行于π，則過(guò)

l（l）上任一點(diǎn)以

v為方向向量作直線l，直線

l都與l（l）相交，此時(shí)平行于

v且與l，l都相交的直線有無(wú)數(shù)多個(gè)

（）若v不平行于π，則平行于

v

且與l（l）相交的直線一定與l（l）異面，即平行于

v且與l，l都相交的直線不存在

3當(dāng)l，l相交時(shí)，

l，l確定的平面記為π

（）若

v平行于π，則過(guò)l（l）上任一點(diǎn)以

v為方向向量作直線l，直線l都與l（l）相交，此時(shí)平行于

v且與l，l都相交的直線有無(wú)數(shù)多個(gè)

（）若v不平行于π，則平行于

v過(guò)l與l交點(diǎn)所作的直線滿足題意，而過(guò)

l（l）上任一點(diǎn)（除交點(diǎn)外）以

v為方向向量的直線一定與

l（l）異面，即此時(shí)平行于

v且與l，l都相交的直線唯一確定

上面討論了問(wèn)題（）的解的情況，當(dāng)然，對(duì)于一道考查直線和平面問(wèn)題的習(xí)題，只有上述第（4）中的（ⅱ）成立時(shí)才是有意義的，下面對(duì)這種情況給出解法

二、對(duì)問(wèn)題的解法探究

直線的點(diǎn)向式方程，兩點(diǎn)式方程，參數(shù)方程，一般方程，平面的點(diǎn)位式方程，空間直線和平面，直線和直線的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)這些解法，能鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維，引導(dǎo)他們對(duì)知識(shí)進(jìn)行靈活運(yùn)用，并根據(jù)具體問(wèn)題采用不同的思路去分析，培養(yǎng)他們分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力

例求與直線l：

都相交的直線方程