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    是巧合還是必然?——由一道習(xí)題的解答引起的思考

    2013-07-25 09:31:30江蘇省海安縣立發(fā)中學(xué)張華琴
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2013年15期
    關(guān)鍵詞:交點(diǎn)拋物線單調(diào)

    ☉江蘇省海安縣立發(fā)中學(xué) 張華琴

    一、問題及解法

    在復(fù)習(xí)“集合與常用邏輯用語”之后,我讓學(xué)生課下做高三一輪復(fù)習(xí)資料上的一道題:

    若三條拋物線y=x2+4ax-4a+3,y=x2+(a-1)x+a2,y=x2+2ax-2a中至少有一條與x軸有交點(diǎn),求a的取值范圍.

    第二天上課時(shí),發(fā)現(xiàn)學(xué)生的解法大都如下:

    解:若這三條拋物線與x軸沒有交點(diǎn),

    “正難則反”是指直接解答時(shí)較為復(fù)雜,間接求解反而簡(jiǎn)單,常用于“至多”、“至少”這種情況.該解法正是使用了“正難則反”的解題策略.但這種無一例外的現(xiàn)象引起了筆者的興趣,師問:“你們是怎么想到的?”有的回答:“以前做過類似題目,老師是這樣講解的”,有的回答:“資料上的解答是這樣的”.翻開資料上的解答,發(fā)現(xiàn)與上面的解答確實(shí)是一樣的.(課后筆者翻看了各種教輔資料,不少資料上都有這道題或類似題目,解法也都是千篇一律.課后通過對(duì)部分教師的訪問,發(fā)現(xiàn)他們也都是反面求解的,并且說直接求解很復(fù)雜.)

    師接著問學(xué)生:“能否直接求解呢?”

    二、直接求解,一波三折

    幾分鐘后,有學(xué)生思考如下:

    由于三條拋物線中至少有一條與x軸有交點(diǎn),分類如下:①恰有一條與x軸有交點(diǎn),另兩條與x軸沒有交點(diǎn);②恰有兩條與x軸有交點(diǎn),第三條與x軸沒有交點(diǎn);③三條與x軸都有交點(diǎn).

    這種分類求解方法看似合理,其實(shí)不然.除③以外,①、②中仍需要分幾種情形,求解過程極其繁雜.不少學(xué)生做到這一步后“望題興嘆”,不得不放棄;也有的“明知山有虎,偏向虎山行”,花費(fèi)大量時(shí)間,最后還是無果而終.

    該結(jié)果與前面解法結(jié)果確實(shí)完全一樣,同學(xué)們議論紛紛,有的露出驚訝的表情,有的將信將疑,有的認(rèn)為解法有問題,只是碰巧做對(duì)了,但又說不出問題出在哪里.

    師:你是怎么想到這樣解的,這樣解的依據(jù)是什么?

    生:我是計(jì)算后發(fā)現(xiàn)三個(gè)集合A、B、C的并集等于正確答案,但不知道這樣做方法是否有依據(jù).

    師:這種解法是巧合還是必然?學(xué)生不置可否.

    通過學(xué)生的反應(yīng)可以發(fā)現(xiàn),他們對(duì)集合的并集運(yùn)算很熟練,但對(duì)邏輯聯(lián)接詞“或”的涵義理解還不透徹,看起來對(duì)邏輯聯(lián)接詞“或”是懂了,但不會(huì)靈活運(yùn)用該知識(shí)解決問題.有鑒于此,為了正本清源,下面師生共同探究相關(guān)知識(shí).

    三、追根溯源

    邏輯聯(lián)接詞“或”與集合的“并”的關(guān)系:

    邏輯聯(lián)接詞“或”有如下規(guī)定:當(dāng)p,q兩個(gè)命題有一個(gè)是真命題時(shí),“p或q”是真命題,即“p或q是真命題”是指p,q至少有一個(gè)是真命題.

    集合的“并”有如下規(guī)定:若x∈P或x∈Q,則x∈P∪Q,即“x∈P∪Q”是指“x∈P”,“x∈Q”至少有一個(gè)是成立的.

    若把命題p,q分別對(duì)應(yīng)于集合P,Q,“或”對(duì)應(yīng)于“并”,那么關(guān)于“或”與“并”的規(guī)定就具有形式上的一致性了.具體的說,若“p是真命題”對(duì)應(yīng)于“x∈P”,“q是真命題”對(duì)應(yīng)于“x∈Q”,則“p∪q是真命題”對(duì)應(yīng)于“x∈P∪Q”.

    三個(gè)命題p,q,r與三個(gè)集合P,Q,R之間有同樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系,具體的說,若“p是真命題”對(duì)應(yīng)于“x∈P”,“q是真命題”對(duì)應(yīng)于“x∈Q”,“r是真命題”對(duì)應(yīng)于“x∈R”,則“p∪q∪r是真命題”對(duì)應(yīng)于“x∈P∪Q∪R”.

    再回頭看這道題,記命題p:拋物線y=x2+4ax-4a+3與x軸有交點(diǎn),q:拋物線與y=x2+(a-1)x+a2x軸有交點(diǎn),r:拋物線y=x2+2ax-2a與x軸有交點(diǎn).

    至此,大家終于真的懂了,原來那位同學(xué)的解法是有依據(jù)的,不是巧合,是必然.

    四、學(xué)以致用

    為了鞏固剛才所學(xué)知識(shí),會(huì)解決類似問題,讓同學(xué)們做以下高考題:

    1.(2009年浙江文21)已知函數(shù)f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).

    (1)略;(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)上不單調(diào),求a的取值范圍.

    解:(1)略;

    2.(2010年全國(guó)Ⅱ文21)已知函數(shù)f(x)=x3-3ax2+3x+1.(1)設(shè)a=2,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)f(x)在區(qū)間(2,3)中至少有一個(gè)極值點(diǎn),求a的取值范圍.

    解:(1)略;

    以上兩題雖可間接求解,如題1可先求“若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)上單調(diào),求a的取值范圍”,題2可先求“若函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,3)中沒有極值點(diǎn),求a的取值范圍”,但這里還需要分單調(diào)遞增和單調(diào)遞減兩種情形,再求補(bǔ)集,增加了“解題長(zhǎng)度”(羅增儒教授語).

    作為教師,只有深入鉆研教材,認(rèn)真思考,才能對(duì)教材透徹理解,教學(xué)時(shí)才能駕輕就熟,舉重若輕.這樣,學(xué)生不光會(huì)死記硬背定義、定理,也會(huì)靈活解決碰到的具體問題,達(dá)到“既懂且會(huì)”的水平.

    1.羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M].西安:陜西師范大學(xué)出版社,2006.

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