高觀點下使問題的本質(zhì)更清晰地顯現(xiàn)

☉河南省許昌市普通教育教學(xué)研究室 張 蘊

著名數(shù)學(xué)家波利亞說過：當(dāng)你找到第一個蘑菇或做出第一個發(fā)現(xiàn)后，再四處看看，它們總是成群生長的.通過探究得到了上述不等式的第二個證明：

所以f（x）在0＜x＜1上是凹函數(shù).

于是，由凹函數(shù)的性質(zhì)知，

評注：上面利用高等的方法“輕而易舉”地證明了所要證的不等式，所謂的初等方法和高等方法都是相對的，簡單的、可操性比較強的方法才是本質(zhì)的，利用上述方法可以很容易證明［2］中王老師提出的推廣.

在證明推廣的結(jié)論之前，筆者先指出文［2］中一處證明的錯誤：

最后，作者得到上述推廣不等式的證明.

下面給出正確的證明過程：

顯然最后一個不等式成立，故猜想成立.也就是說，從筆者得到的結(jié)論可以得到王老師的結(jié)論，而且從上面證明猜想的過程可以看出：只有當(dāng)n=3時，王老師的結(jié)論才可以取到等號.

評注：文［1］、［2］的初等方法不能對推廣的結(jié)論加以證明，而利用“以直代曲”的思想方法和凹函數(shù)的性質(zhì)可以將上述推廣的結(jié)論“輕而易舉”地“拿下”，可見其“威力”所在.所以，“合適的才是最好的”，沒有最好的方法只有更好的方法.對上面修正的不等式也可以通過“以直代曲”的思想方法加以證明，參考上面的證法1，筆者在此不再敘述，留給有興趣的讀者探究.

故x+y+z≥1；

反之，當(dāng)x，y，z∈R+，且x+y+z=1，

通過上面的探究可以得到如下對偶命題：

（1）若x，y，z均為小于1的正數(shù)，則

（2）若x，y，z∈R+，且x+y+z=1，則

評注：上面通過凹函數(shù)的性質(zhì)（當(dāng)然也可以利用“以直代曲”的思想方法加以解決），輕而易舉地證明了對偶命題，可見利用“先進”的方法可以更加清楚地看出問題的本質(zhì)，也可以說上面筆者所使用的方法是證明此類不等式的一種通法.

結(jié)束語：

解決有關(guān)不等式問題往往比較困難，困難的原因是不等式的證明方法靈活多變，沒有固定的套路.這正是不等式問題的“迷人和美妙”所在，使研究不等式問題的人樂此不疲.

上面筆者利用“以直代曲”的思想方法和凹函數(shù)的性質(zhì)對相關(guān)的不等式做了證明，取得了很好的證明效果，使得問題的本質(zhì)更加“看得”清楚，也算是用高等的方法指導(dǎo)初等數(shù)學(xué)的一種嘗試.這種探究正印證了著名數(shù)學(xué)家波利亞的一句話：沒有任何一個題目是徹底完成了的，總還會有些事情可以做；在經(jīng)過充分的研究和觀察以后，我們可以將任何解題方法加以改進；而且無論如何，我們總可以深化我們對答案的理解.

1.李歆.也談一個不等式的簡單初等證明［J］.數(shù)學(xué)通訊（下半月），2010（9）.

2.王淼生.“簡潔”“自然”來探究三人同行求解惑——對數(shù)學(xué)問題2090的膚淺探究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2013（5）.