繼承與創(chuàng)新同在，傳統(tǒng)與開放并存——2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科第17題賞析

☉浙江省嘉興市第一中學(xué) 王劍明

2012年浙江高考數(shù)學(xué)理科試卷最后一道填空題，考查的是高中數(shù)學(xué)中常規(guī)、傳統(tǒng)的含參數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題.2011年浙江高考數(shù)學(xué)理科試卷最后一道解答題，也是含參數(shù)的函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題.2011年底全國(guó)各種中學(xué)數(shù)學(xué)雜志針對(duì)含參數(shù)的函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題的解法刊發(fā)了近20余篇文章，大多是運(yùn)用“最值法”、“分離參數(shù)法”以及大學(xué)數(shù)學(xué)的二階導(dǎo)數(shù)、羅比達(dá)法則求極限等知識(shí)和方法給出解答.

對(duì)于不等式恒成立的問(wèn)題，教師都會(huì)作為重要的問(wèn)題進(jìn)行教學(xué)，把“最值法”、“分離參數(shù)法”作為通性通法，而且在不斷的重復(fù)、不斷的訓(xùn)練、不斷的強(qiáng)化.今年高考又正面碰到，許多學(xué)生對(duì)此題有似曾相識(shí)之感.由于高考試題繼承與創(chuàng)新同在，從而學(xué)生的求解思路并不清晰.這題不能直接“分離參數(shù)法”，“最值法”也不方便使用，順利解答有不小難度.本題擊中了應(yīng)試教學(xué)的軟肋，顯示了高考命題者的智慧.本問(wèn)題的解題策略有相當(dāng)?shù)拈_放性與發(fā)散度，可以很好地考查學(xué)生靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的能力.讓我們追尋探究的足跡，感受思想的風(fēng)采.

2012年浙江數(shù)學(xué)高考理科第17題：設(shè)a∈R，若x>0時(shí)均有［（a－1）x－1］（x2－ax－1）≥0，則a=______.

一、解法探究，感悟思想

解法1：數(shù)形結(jié)合，熠放光彩.

函數(shù)y1=（a－1）x－1，y2=x2－ax－1，都過(guò)定點(diǎn)P（0，－1）.

圖1

解法2：特殊值法，神來(lái)之筆.

令x=1，則（a－2）（－a）≥0，即0≤a≤2；

點(diǎn)評(píng)：不費(fèi)吹灰之力解決填空壓軸題，出乎意料.取一些特殊值，縮小字母的取值范圍，是一個(gè)好方法，體現(xiàn)了特殊性存在于一般性之中的哲學(xué)思想.這里有運(yùn)氣的成份，也有解浙江高考題的技巧.如2010屆高考數(shù)學(xué)測(cè)試卷第22題：已知函數(shù)f（x）=（1－2a）x3+（9a－4）x2+（5－12a）x+4a（a∈R）.（Ⅰ）略；（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間［0，2］上的最大值為2，求a的取值范圍.

命題組給出如下解法：

解法3：分類討論，各個(gè)擊破.

當(dāng)a=1時(shí)，不等式［（a－1）x－1］（x2－ax－1）≥0即為x2－x－1≤0，在x>0時(shí)不可能恒成立；

當(dāng)a＜1時(shí)，x3的系數(shù)為負(fù)，不等式［（a－1）x－1］（x2－ax－1）≥0在x＞0時(shí)不可能恒成立；

顯然x1＞0，x2＞0，x3＜0.

記f（x）=［（a－1）x－1］（x2－ax－1）（a＞1），則f（x）的草圖為圖2.

圖2

解法4：變更主元，回歸通法.

因?yàn)閤＞0時(shí)均有［（a－1）x－1］（x2－ax－1）≥0，

點(diǎn)評(píng)：不能直接分離參數(shù)，但能從參數(shù)分離法的思想中受到啟發(fā)，調(diào)整視角，變更主元.體現(xiàn)了思維的靈活性.

二、反思回顧，提出問(wèn)題

愛(ài)因斯坦說(shuō)過(guò)：“提出一個(gè)問(wèn)題，往往比解決一個(gè)問(wèn)題更重要，因?yàn)榻鉀Q問(wèn)題也許僅僅是一個(gè)教學(xué)上或?qū)嶒?yàn)上的技能而已.而提出新的問(wèn)題、新的可能性，從新的角度去看舊的問(wèn)題，都需要有創(chuàng)造性的想像力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步.”

在解法4中x=－1有什么玄機(jī)？

變式1：設(shè)a∈R，若x＜0時(shí)均有［（a－1）x－1］（x2－ax－1）≥0，則a=______.

解析：從解法4中可知：

因?yàn)閤＜0，所以可取x=－1，此時(shí)a=0.

當(dāng)a=0時(shí)，［（a－1）x－1］（x2－ax－1）=（x+1）2（1－x）≥0，

所以a=0.

點(diǎn)評(píng)：從這里也可看出x=－1時(shí)是a取值的關(guān)鍵.

在解法3中x=1有什么玄機(jī)？

變式2：設(shè)a∈R，若x＞1時(shí)均有［（a－1）x－1］（x2－ax－1）≥0，則a=______.

變式3：設(shè)a∈R，若x＜1時(shí)均有［（a－1）x－1］（x2－ax－1）≥0，則a=______.

同理可解得a=0.

三、教學(xué)思考，提升智慧

本題簡(jiǎn)潔樸素，但具有高考試題概念的深刻性、思辨的邏輯性、解法的多樣性等特點(diǎn)，是整份試卷中的一大亮點(diǎn).題目雖小，但題精意蘊(yùn)，細(xì)細(xì)品味，對(duì)今后的復(fù)習(xí)備考具有很多有益的啟示.

1.夯實(shí)基礎(chǔ)，加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解

如本題雖然綜合，但還是可以分解為一個(gè)基礎(chǔ)的問(wèn)題：一個(gè)一次函數(shù)和一個(gè)二次函數(shù).從這個(gè)角度來(lái)說(shuō)，基礎(chǔ)知識(shí)的熟練掌握永遠(yuǎn)是數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基石.熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)，就可以形成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深入理解，在調(diào)用和應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程中才會(huì)有速度和效率，也會(huì)有更多的靈感.本題與2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題的第10題，討論方程g（x）=（ax+1）（cx2+bx+1）=0根的個(gè)數(shù)是否也有異曲同工之妙？可謂獨(dú)具匠心，使人倍感親切，并給人似曾相識(shí)的感覺(jué).

2.提煉方法，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)思想的感悟

本題以能力立意命題的指導(dǎo)思想，將知識(shí)、能力和素質(zhì)融為一體，全面檢測(cè)考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).本題以不等式為載體，既考查基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合等基本思想方法，還體現(xiàn)特殊性與一般性的哲學(xué)思想，又考查對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解水平以及進(jìn)入高等學(xué)校繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能.此題還傳遞出一個(gè)信息，高中數(shù)學(xué)教學(xué)依靠“題型＋技巧＋大運(yùn)動(dòng)量訓(xùn)練”的教學(xué)難以適應(yīng)高考，呼喚突出數(shù)學(xué)本質(zhì)、實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)自然回歸.學(xué)生面對(duì)或熟悉或陌生的問(wèn)題情境，是否能解決問(wèn)題最終落實(shí)到數(shù)學(xué)能力.分析、比較、運(yùn)算和推理能力的訓(xùn)練等應(yīng)成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的常態(tài).數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解是講究方法的，數(shù)學(xué)方法既有常規(guī)的通性通法，又有一些特定的巧方妙法.設(shè)置恰當(dāng)?shù)睦}、練習(xí)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行有針對(duì)性的能力訓(xùn)練和提升，是解決綜合問(wèn)題、壓軸問(wèn)題不可替代的方法.突破背景新穎、內(nèi)涵深刻的壓軸題，是數(shù)學(xué)考試中的很高要求，沒(méi)有方法的提煉和積累，更多的時(shí)候只能望題興嘆.平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，要有意識(shí)地進(jìn)行解題方法的提煉，進(jìn)行數(shù)學(xué)思想的滲透，這樣才能取到事半功倍的效果.

3.回顧反思，加大對(duì)數(shù)學(xué)能力的提升

著名的數(shù)學(xué)家波利亞說(shuō)得好：“數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決僅僅只是一半，而更重要的是解題之后的回顧與反思.”在尋求數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解過(guò)程中，包含四個(gè)步驟：理解題目——擬定方案——實(shí)現(xiàn)計(jì)劃——回顧反思.其中反思是解題過(guò)程中的深化與提高，有利于在原有基礎(chǔ)上建立更高層次的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，是一個(gè)極其重要而又容易被忽視的環(huán)節(jié).因此，教學(xué)中，不能滿足于獲得正確的答案，要引導(dǎo)學(xué)生多層次、多側(cè)面地對(duì)問(wèn)題及解決問(wèn)題的思維過(guò)程進(jìn)行反思，通過(guò)反思培養(yǎng)思維品質(zhì)，提升數(shù)學(xué)能力.

在新課改的大背景下，減負(fù)和增效之間的矛盾是當(dāng)前教育工作者亟待解決的問(wèn)題，我們決不能以增補(bǔ)過(guò)多的知識(shí)、課堂上過(guò)多的機(jī)械模仿為學(xué)生換取一種“應(yīng)試教育”的高效.這就要求我們教師更多的時(shí)候立足課程標(biāo)準(zhǔn)、中學(xué)教材，把中學(xué)數(shù)學(xué)最基本的思想、最本質(zhì)的方法（通性通法），運(yùn)用好我們的教學(xué)智慧傳授給學(xué)生，從而在中學(xué)階段打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，實(shí)現(xiàn)真正意義上對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，達(dá)到我們公認(rèn)的高效！這既是新課標(biāo)理念的追求，又是對(duì)教師素養(yǎng)的要求.

1.中華人民共和國(guó)教育部制定.高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

2.厲倩.淺談2010年全國(guó)卷的四道高考題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2010，9.

3.張國(guó)治.用羅比達(dá)法則巧解一類高考?jí)狠S題［J］.數(shù)學(xué)通訊，2011，12.■