函數(shù)符號(hào)f（x）中“對(duì)應(yīng)關(guān)系f”特征解讀

☉甘肅省天水市第一中學(xué) 宮前長(zhǎng)

函數(shù)符號(hào)f（x）中“對(duì)應(yīng)關(guān)系f”特征解讀

☉甘肅省天水市第一中學(xué) 宮前長(zhǎng)

人教A版《數(shù)學(xué)》（必修1）“函數(shù)及其表示”給出了函數(shù)的定義及其表示，但學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中仍然感到：理解困惑多、解題疑慮多.究其原因不外乎對(duì)函數(shù)概念的理解有問(wèn)題，下面從幾個(gè)方面對(duì)f（x）中“f”的特征解讀如下：

一、函數(shù)概念的基本特征

函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，主要表現(xiàn)在對(duì)概念的抽象性、多元性、層次性和系統(tǒng)性等幾個(gè)方面的理解和深層解讀.

1.函數(shù)概念的形成過(guò)程凸現(xiàn)出抽象性

函數(shù)在初中就有了一種描述性的定義（變量說(shuō)法），即有些變量和變量之間存在著依賴(lài)關(guān)系，一個(gè)量的變化引起另一個(gè)量的變化，這樣就建立起了反映變量之間相互依賴(lài)關(guān)系的概念——函數(shù)關(guān)系，形成了簡(jiǎn)單的函數(shù)概念，未涉及函數(shù)符號(hào)f（x），雖然這樣的描述并不是十分嚴(yán)格，但這是認(rèn)識(shí)函數(shù)關(guān)系的一個(gè)重要視角，從一個(gè)方面，揭示了函數(shù)的本質(zhì).學(xué)生學(xué)習(xí)的函數(shù)是一些簡(jiǎn)單的、具體的函數(shù)，如正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù).

從常量到變量，這是認(rèn)識(shí)函數(shù)思想的一個(gè)飛躍.函數(shù)可以簡(jiǎn)單地理解為一個(gè)變量與另一個(gè)變量之間的一座“數(shù)量橋”，函數(shù)是“數(shù)量橋”就已經(jīng)表明了函數(shù)的功能：運(yùn)算，即給一個(gè)具體的自變量的值，通過(guò)具體的解析式求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.

進(jìn)入高中函數(shù)的定義由原來(lái)的“變量說(shuō)”過(guò)渡到“對(duì)應(yīng)說(shuō)”，對(duì)函數(shù)有了更深入的詮釋.函數(shù)定義的深刻涵義是通過(guò)對(duì)本質(zhì)屬性（對(duì)應(yīng)）的挖掘、思考，經(jīng)抽象之后的數(shù)量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，采用特定的數(shù)學(xué)符號(hào)f（x）表示.函數(shù)符號(hào)f（x）中蘊(yùn)藏著函數(shù)形式化的對(duì)應(yīng)關(guān)系“f”.這就說(shuō)明函數(shù)概念形成的過(guò)程實(shí)質(zhì)上是抽象出某一類(lèi)數(shù)對(duì)應(yīng)共同本質(zhì)屬性的過(guò)程.

2．函數(shù)概念的表征形式體現(xiàn)出多元性

函數(shù)概念的表征形式多樣，如表格、圖像、符號(hào)、解析式等.不同的表征含有不同的思維方式.從表格、圖像等函數(shù)表征形式（直觀、形象），到采用解析式、符號(hào)等函數(shù)表征形式（抽象），最后到抽象思考（直接采用函數(shù)符號(hào)進(jìn)行思維操作），呈現(xiàn)出函數(shù)概念的表征形式具有多元性特征.

3．函數(shù)概念的理解深度表現(xiàn)出層次性

函數(shù)概念的抽象性表明學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)要按層次遞進(jìn)的過(guò)程進(jìn)行，這樣才能不斷深入地抽象概括函數(shù)概念，更好地把握函數(shù)的本質(zhì).雖然函數(shù)概念的多元表征體現(xiàn)了不同的理解層次，但其本質(zhì)是不變的.

對(duì)形式化的函數(shù)符號(hào)f（x）、對(duì)應(yīng)法則“f”的涵義的認(rèn)識(shí)基本上集中在理解“f”上，如：①對(duì)應(yīng)關(guān)系“f”在變量x取什么范圍內(nèi)的實(shí)數(shù)時(shí)才成立；②對(duì)應(yīng)關(guān)系“f”對(duì)給定的實(shí)數(shù)x作用之后的結(jié)果是f（x）；③對(duì)應(yīng)關(guān)系“f”體現(xiàn)出具體的算法要確定、清楚.

4．函數(shù)概念的內(nèi)涵把握呈現(xiàn)出系統(tǒng)性

函數(shù)概念具有很強(qiáng)的系統(tǒng)性，小學(xué)階段數(shù)、量、圖、數(shù)據(jù)（一批數(shù)）是引導(dǎo)兒童進(jìn)入數(shù)學(xué)的源泉，數(shù)和量常常交織在一起，常說(shuō)數(shù)量，數(shù)是用來(lái)刻畫(huà)量的大小的一種工具.初中階段，有兩種量（常量和變量），或有些量是已知的，有一些是未知的，滲透未知量的概念，在量的認(rèn)識(shí)上是個(gè)飛躍，接著建立起了反映變量之間相互依賴(lài)關(guān)系的概念——函數(shù)關(guān)系（變量說(shuō)）.高中階段利用更豐富的實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)是刻畫(huà)日常生活和其他學(xué)科規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，由于函數(shù)模型的重要地位，進(jìn)一步抽象概括出函數(shù)的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義.在直角坐標(biāo)系中，函數(shù)圖像就像一座橋梁把變量x和y聯(lián)系起來(lái)了.

二、剖析函數(shù)定義

1.從教材編排來(lái)分析

函數(shù)的定義在初中階段采用傳統(tǒng)方式定義，即“設(shè)在某變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x、y，如果對(duì)于x在某一范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)y是x的函數(shù)，x叫做自變量”；在高中階段函數(shù)的定義采用近代定義方式，即“設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)（function）.記作：y=f（x），x∈A.”

傳統(tǒng)定義是從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)出發(fā)，而近代定義是從集合的對(duì)應(yīng)、映射的觀點(diǎn)出發(fā)，側(cè)重點(diǎn)不同，體現(xiàn)的涵義也不同，自然理解的層次、方式也不同.在近代定義中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域（domain）；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f（x）︳x∈A}叫做函數(shù)的值域（range）.函數(shù)符號(hào)“y=f（x）”中的f（x）表示與x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，是一個(gè)數(shù)，而不是f乘x的積，進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)是描述變量之間依賴(lài)關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，并能用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)函數(shù)，感悟?qū)?yīng)關(guān)系“f”在刻畫(huà)函數(shù)概念中的作用.讓學(xué)生在不同學(xué)習(xí)階段采用不同的函數(shù)定義編排方式，逐步引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)定義經(jīng)歷從簡(jiǎn)單走向深層，從而提升了學(xué)生的思維層次.

2.從數(shù)學(xué)角度來(lái)分析

由函數(shù)概念的定義可知，理解函數(shù)關(guān)鍵要以對(duì)應(yīng)法則“f”的意義理解作為基礎(chǔ)，進(jìn)一步加深對(duì)函數(shù)符號(hào)f（x）的本質(zhì)理解、把握.明確函數(shù)符號(hào)f（x）不僅要把f（x）看成一個(gè)數(shù)值（函數(shù)值），還要看成一個(gè)對(duì)應(yīng)法則“f”作用變量x的一個(gè)過(guò)程，同時(shí)還要看成一個(gè)對(duì)應(yīng)法則“f”作用變量x的算法，理解這一點(diǎn)在數(shù)學(xué)角度來(lái)看是很重要的.

如果在同一道數(shù)學(xué)題中出現(xiàn)f（x）和f（2x-1），就已經(jīng)表明兩個(gè)函數(shù)是由同一個(gè)對(duì)應(yīng)法則“f”形成的，在邏輯聯(lián)系上具有很強(qiáng)的抽象性，數(shù)學(xué)形式化符號(hào)表示使兩個(gè)函數(shù)的定義域指向不同的范圍.

3.從教學(xué)角度來(lái)分析

函數(shù)概念的教學(xué)中，一定要講清函數(shù)概念形成的思路，邏輯嚴(yán)謹(jǐn).表述準(zhǔn)確、簡(jiǎn)捷規(guī)范，數(shù)學(xué)符號(hào)表述要完整.使函數(shù)概念形成過(guò)程的抽象性和學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、經(jīng)驗(yàn)“對(duì)接”順利，為更好地將函數(shù)知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)起到重要的作用.下面通過(guò)一個(gè)數(shù)學(xué)案例來(lái)剖析：

案例：已知函數(shù)f（x）的定義域是［-2，5］，求函數(shù)f（2x-1）的定義域.

剖析：前面學(xué)過(guò)函數(shù)符號(hào)f（x）是一個(gè)抽象形式化的符號(hào)，其中蘊(yùn)藏著豐富的涵義，只有深刻理解，才能清楚、明白函數(shù)符號(hào)f（x）鮮活生動(dòng)的本質(zhì)涵義.牢牢抓住函數(shù)概念的定義，明白函數(shù)符號(hào)f（x）與f（2x-1）的數(shù)學(xué)涵義，揭開(kāi)數(shù)學(xué)形式化表示的“外殼”，透過(guò)形式表示弄清f（x）與f（2x-1）的定義域的本質(zhì)含義，才能讓學(xué)生進(jìn)一步的深層次理解函數(shù)的概念.

函數(shù)f（x）的定義域是［-2，5］是指對(duì)應(yīng)關(guān)系“f”作用的對(duì)象x∈［-2，5］時(shí)才有意義，從而可以推知f（2x-1）中的對(duì)應(yīng)關(guān)系“f”作用的對(duì)象2x-1∈［-2，5］時(shí)才有意義，此時(shí)x的范圍就是函數(shù)f（2x-1）的定義域.

從上述的案例剖析可知，重點(diǎn)讓學(xué)生深刻理解對(duì)應(yīng)關(guān)系“f”的涵義，需要分步遞進(jìn)的方式，通過(guò)實(shí)際案例從不同的層面逐漸理解，對(duì)核心內(nèi)容全面把握.若對(duì)“自變量的取值范圍”、“對(duì)應(yīng)關(guān)系”的關(guān)注不全面，則導(dǎo)致對(duì)函數(shù)概念（定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域）缺乏系統(tǒng)性認(rèn)識(shí)，自然削弱了定義域?qū)瘮?shù)重要性的認(rèn)識(shí).

4.從學(xué)生角度來(lái)分析

剛上高中的學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念理解存在的問(wèn)題有：對(duì)函數(shù)定義域的理解不到位，心理仍處在初中的變量階段，對(duì)函數(shù)符號(hào)f（x）的理解只是一種感性認(rèn)識(shí)，尤其是函數(shù)形式化的符號(hào)表示不習(xí)慣、不規(guī)范、不完全明白，在處理與函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題時(shí)就會(huì)存在認(rèn)識(shí)上弄不清、邏輯上理不順的困難，解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵還是對(duì)函數(shù)符號(hào)f（x）中對(duì)應(yīng)關(guān)系“f”的理解.

三、案例剖析

1.案例

2.案例中函數(shù)f（x）中“f”表征的特征

3.深層剖析

函數(shù)f（x）的定義域是自變量x的取值范圍，從而深層理解為：f（x）中的x可以用任意數(shù)或代數(shù)式來(lái)替換（必須在給定范圍內(nèi)），但一定要牢記替換部分應(yīng)與x取值范圍相同.如上述案例中的整體ax或的取值范圍是［－1，1］，否則會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題.注意：對(duì)于復(fù)合函數(shù)y=f［g（x）］的定義域依舊是指自變量x的范圍，而不是中間變量g（x）范圍，此時(shí)隱含了“g（x）與f（x）中的x是一致的”特征，即范圍相同.函數(shù)的定義域理解了，函數(shù)的本質(zhì)、靈魂就抓住了，對(duì)抽象函數(shù)問(wèn)題的理解才能更深刻.解決問(wèn)題時(shí)，從函數(shù)概念出發(fā)，抓住問(wèn)題的本質(zhì)，容易找到各問(wèn)題的求解方法.可見(jiàn)函數(shù)概念的理解對(duì)解相關(guān)函數(shù)問(wèn)題是多么的重要.

對(duì)于函數(shù)f（x）有時(shí)沒(méi)有具體的解析式表示，只是數(shù)集之間一種對(duì)應(yīng)關(guān)系的抽象體現(xiàn)，如f（f（x））表示“自變量x按照對(duì)應(yīng)關(guān)系f得到的f（x）重新作為變量按照對(duì)應(yīng)關(guān)系f再進(jìn)行一次映射（運(yùn)算）得到的函數(shù)值”.“f”的涵義在沒(méi)有具體的表達(dá)式表達(dá)某種關(guān)系時(shí)，可以理解為兩個(gè)數(shù)集之間“有（存在）某種”對(duì)應(yīng)關(guān)系即可.

四、教學(xué)啟示

1．強(qiáng)化函數(shù)概念的教學(xué)

函數(shù)概念的教學(xué)實(shí)質(zhì)就是把抽象的函數(shù)定義與學(xué)生已有的變量描述的函數(shù)定義聯(lián)系起來(lái)，實(shí)現(xiàn)函數(shù)概念的有效引入、理解和運(yùn)用.在對(duì)函數(shù)概念的抽象化、形式化、系統(tǒng)化和具體化的過(guò)程中，比較、分類(lèi)、類(lèi)比和評(píng)價(jià)必須跟進(jìn)，消除學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)形式化表示的困惑，有利于讓學(xué)生對(duì)函數(shù)概念有一個(gè)完整的系統(tǒng)認(rèn)識(shí)和理解.

2．抓牢函數(shù)主線思想

函數(shù)思想是高中數(shù)學(xué)課程的一條主線，從一個(gè)角度鏈接起了高中數(shù)學(xué)課程的許多內(nèi)容，函數(shù)的教學(xué)一定要突出函數(shù)圖像的地位.不管是用解析式法、列表法還是圖像法去刻畫(huà)一個(gè)具體函數(shù)時(shí)，一定要讓學(xué)生在腦子里形成一個(gè)圖像.只有把握住函數(shù)圖像才能把握住一個(gè)函數(shù)的整體性質(zhì)，這是數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ).

3．促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)

函數(shù)概念的抽象性不能采用告知學(xué)生方式進(jìn)行，一定要通過(guò)典型案例教學(xué)，牢牢抓住符號(hào)f（x）的解析式，通過(guò)剖析，深化對(duì)函數(shù)概念的定義符號(hào)f（x）的認(rèn)識(shí)，尋找蘊(yùn)涵其中的數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系，讓函數(shù)符號(hào)f（x）中對(duì)應(yīng)關(guān)系“f”的本質(zhì)顯露出來(lái)，即“f”作用到x上才有意義，也突出了“f”在函數(shù)定義中的核心所在.

總之，只有深刻理解函數(shù)符號(hào)f（x）中對(duì)應(yīng)關(guān)系“f”具有鮮明的對(duì)應(yīng)關(guān)系、求函數(shù)值和具體操作的算法特征，深刻地強(qiáng)化對(duì)符號(hào)f（x）的理性思維層次的理解，才能提升學(xué)生的抽象思維能力.