中考數(shù)學(xué)壓軸題的結(jié)構(gòu)分類(lèi)評(píng)析

☉江蘇省泗陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 朱宜新

中考數(shù)學(xué)壓軸題，涉及知識(shí)點(diǎn)多，解答過(guò)程運(yùn)用多種數(shù)學(xué)思想方法，具有一定的綜合性、選拔性.這種題型多采用“組合型”的結(jié)構(gòu)形式，搞清“組合型”壓軸題中總條件與分題間及分題與分題間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，對(duì)于題目的圓滿解決是十分必要的，根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)關(guān)系，壓軸題常分為下列三種類(lèi)型.

一、“串聯(lián)式”結(jié)構(gòu)

“串聯(lián)式”結(jié)構(gòu)的壓軸題，除了總條件“統(tǒng)領(lǐng)”全題外，前一個(gè)分題的結(jié)論，可以作為后一個(gè)分題的條件來(lái)使用，沒(méi)有前一分題解（證）的結(jié)論，就無(wú)法解（證）下一個(gè)分題.

它的結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示.

圖1

例1 （2012年山東臨沂市中考）如圖2，點(diǎn)A在x軸上，OA=4，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置.

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、O、B的拋物線的解析式；

（3）在此拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析：本題融合了函數(shù)解析式的確定、等腰三角形的判定等知識(shí).主要考查了學(xué)生的閱讀理解能力、分類(lèi)討論能力、邏輯推理能力，難度較大，具有一定的選拔功能.

解：（1） 如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為C，則∠BCD=90°.

因?yàn)椤螦OB=120°，所以∠BOC=60°.

又因?yàn)镺A=OB=4，

圖2

所以點(diǎn)B的坐標(biāo)是（－2，－2）.

（2）因?yàn)閽佄锞€過(guò)原點(diǎn)O和點(diǎn)A、B，所以可設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx.

（3）存在，如圖2，拋物線的對(duì)稱軸是x=2，直線x=2與x軸的交點(diǎn)為D，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，y）.

①若OB=OP，則22+y2=42，解得y=±2.

當(dāng)y=2時(shí)，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD=，所以∠POD=60°.

所以∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°.

即P、O、B三點(diǎn)在同一條直線上，所以y=2不合題意，舍去.

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，－2）.

②若OB=PB，則42+（y+2）2=42，解得y=－2.

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，－2）.

③若OP=BP，則22+y2=42+（y+2）2，解得y=－2.

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，－2）.

綜上，符合條件的點(diǎn)P只有1個(gè)，其坐標(biāo)為（2，－2）.

點(diǎn)評(píng)：由于“串聯(lián)式”結(jié)構(gòu)的壓軸題上下呈承接關(guān)系，所以需強(qiáng)調(diào)解題的正確性，顯然如前一分題解答有誤，則解答以后幾個(gè)分題，將會(huì)勞而無(wú)功，另外這種題型若前一分題不會(huì)解（證），亦可拿前一分題的結(jié)論來(lái)解（證）下一分題，結(jié)果仍然有效.

二、“并聯(lián)式”結(jié)構(gòu)

“并聯(lián)式”結(jié)構(gòu)的壓軸題，總條件“統(tǒng)領(lǐng)”每一個(gè)分題，但每一個(gè)分題卻又是“獨(dú)立”，呈并列關(guān)系，它的結(jié)構(gòu)示意圖如圖3所示.

圖3

例2 （2012年寧夏回族自治區(qū)中考）如圖4，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P是BC上的任意一點(diǎn)（P與B、C不重合），過(guò)點(diǎn)P作AP⊥PE，垂足為P，PE交CD于點(diǎn)E.

（1）連接AE，當(dāng)△APE與△ADE全等時(shí)，求BP的長(zhǎng)；

（2）若設(shè)BP為x，CE為y，試確定y與x的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)x取何值時(shí)，y有最大值？最大值是多少？

（3）連接BD，若PE∥BD，試求出此時(shí)BP的長(zhǎng).

分析：本題綜合考查了利用二次函數(shù)求最值、相似三角形、一元二次方程等知識(shí).

解：（1）因?yàn)椤鰽PE≌△ADE，所以AP=AD=3.

圖4

在Rt△ABP中

（2）因?yàn)锳P⊥PE，所以Rt△ABP∽R(shí)t△PCE，

若PE∥BD，則△CPE∽△CBD.

整理得3x2－13x+12=0，

點(diǎn)評(píng)：本題的三個(gè)分題除總條件不變外，分題的條件各不相同，所以前一個(gè)分題的結(jié)果不能成為后一分題的條件，這種結(jié)構(gòu)的壓軸題，做對(duì)任何一分題都是有效的，都能得分，即使前一分題不會(huì)做或做錯(cuò)了，也不影響下一分題的解答或得分.

三、“混聯(lián)式”結(jié)構(gòu)

“混聯(lián)式”結(jié)構(gòu)的壓軸題，除總條件仍“統(tǒng)領(lǐng)”每一個(gè)分題外，有的分題也“統(tǒng)領(lǐng)”下一個(gè)分題，分題與分題間既有承接關(guān)系，又有并列關(guān)系.它的結(jié)構(gòu)示意圖如圖5所示.

圖5

（1）求拋物線的解析式；

圖6

（3）設(shè)點(diǎn)M在y軸上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，求AM的長(zhǎng).

分析：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、平移、相似三角形等知識(shí).第（1）問(wèn)將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求該拋物線的解析式.第（2）問(wèn)先求出直線AB、AC的解析式，再根據(jù)平移條件，表示出平移后的二次函數(shù)的解析式，用含m的代數(shù)式表示出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，將坐標(biāo)代入直線AB、AC的解析式中，即得到兩個(gè)極端值，從而確定點(diǎn)P在△ABC內(nèi)時(shí)m的取值范圍.第（3）問(wèn)先在OA上取點(diǎn)N，使得∠ONB=∠ACB，所以只需使∠NBA=∠OMB即可，從而確定在y軸的正負(fù)半軸上都有一個(gè)符合條件的M點(diǎn)，然后證△ABN與△AMB相似，通過(guò)相關(guān)比例線段求出AM的長(zhǎng).

（2）由題意得，新拋物線的解析式可表示為

它的頂點(diǎn)坐標(biāo)P（1－m，－1），由（1）的拋物線解析式可得C（4，0），那么直線AB的解析式為y=－2x－4，直線AC的解析式為y=x－4.

當(dāng)點(diǎn)P在直線AC上時(shí)，（1－m）－4=－1，解得m=－2.

（3）由A（0，－4）、C（4，0）得OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形.

如圖6，在OA上取ON=OB=2，則∠ONB=∠ACB=45°.

所以∠ONB=∠NBA+∠CAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，即∠OMB=∠NBA.

在△ABN1、△AM1B中，∠BAN=∠M1AB，∠ABN=AM1B，所以△ABN∽△AM1B.

所以AB2=AN·AM1，

易得AB2=（－2）2+42=20.

AN=OA－ON=4－2=2，

所以AM1=20÷2=10.

所以DM1=AM1－OA=10－4=6.

而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN，

所以O(shè)M1=OM2=6，AM2=OM2－OA=6－4=2.

綜上所述，AM的長(zhǎng)為10或2.

點(diǎn)評(píng)：“混聯(lián)式”結(jié)構(gòu)的壓軸題，特別要搞清分題與分題之間的關(guān)系，即前一個(gè)分題的條件或結(jié)論，下一個(gè)分題能否使用，就要搞清分題與分題間是“串聯(lián)”關(guān)系的結(jié)構(gòu)，還是“并聯(lián)”關(guān)系的結(jié)構(gòu)，萬(wàn)不可盲目亂用，徒勞無(wú)功.