“變與不變”、“多變歸一”地探究“旋轉(zhuǎn)”三角形

☉江蘇省鹽城市明達(dá)中學(xué) 陳云龍

一、引言

旋轉(zhuǎn)變換在初中數(shù)學(xué)圖形與幾何內(nèi)容中占有非常重要的地位，它貫穿在相交線、三角形、四邊形、圓等幾乎所有重要的幾何內(nèi)容之中.新課標(biāo)中也提到：“讓學(xué)生經(jīng)歷探索物體與圖形的旋轉(zhuǎn)變換過程并掌握圖形旋轉(zhuǎn)變換的基本性質(zhì)”.近年來，有關(guān)旋轉(zhuǎn)變換的幾何問題不斷地在中考題中呈現(xiàn)，尤其是在特殊三角形的幾何問題中更為突出.而在特殊三角形的幾何問題中加入了“旋轉(zhuǎn)”這一因素之后，能讓題目變得格外有魅力和活力.筆者整理了2012年各地中考試卷中的部分有關(guān)特殊三角形旋轉(zhuǎn)型中考題，進(jìn)行賞析.賞析之后總結(jié)歸納出了一些教學(xué)啟示，意在拋磚引玉.

二、2012年部分特殊三角形旋轉(zhuǎn)型中考題賞析

1.等邊三角形中的旋轉(zhuǎn)問題

例1 （遼寧鐵嶺）已知△ABC是等邊三角形.

（1）將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直線相交于點(diǎn)O.

①如圖1，當(dāng)θ=20°時(shí)，△ABD與△ACE是否全等？______（填“是”或“否”），∠BOE=______度.

②當(dāng)△ABC旋轉(zhuǎn)到如圖2所在位置時(shí)，求∠BOE的度數(shù).

圖1

圖2

圖3

（2）如圖3，在AB和AC上分別截取點(diǎn)B′和C′，使AB=AB′，AC=AC′，連接B′C′，將△AB′C′繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直線相交于點(diǎn)O，請利用圖3探索∠BOE的度數(shù)，直接寫出結(jié)果，不必說明理由.

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

2.等腰直角三角形中的旋轉(zhuǎn)問題

例2 （遼寧阜新）（1）如圖9，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°.

①當(dāng)點(diǎn)D在AC上時(shí)，如圖9，線段BD、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？直接寫出你猜想的結(jié)論.

②將圖9中的△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜90°），如圖10，線段BD、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請說明理由.

（2）當(dāng)△ABC和△ADE滿足下面甲、乙、丙中的哪個(gè)條件時(shí)，使線段BD、CE在（1）中的位置關(guān)系仍然成立？不必說明理由.

甲：AB∶AC=AD∶AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°；

乙：AB∶AC=AD∶AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°；

丙：AB∶AC=AD∶AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°.

圖9

圖10

圖11

圖12

圖13

例3 （福建寧德）某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次活動，過程如下：

如圖14，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏將一塊三角板中含45°角的頂點(diǎn)放在點(diǎn)A處，從AB邊開始繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α，其中三角板斜邊所在的直線交直線BC于點(diǎn)D，直角邊所在的直線交直線BC于點(diǎn)E.

（1）小敏在線段BC上取一點(diǎn)M，連接AM，旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn)：若AD平分∠MAB，則AE也平分∠MAC.請你證明小敏發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

（2）當(dāng)0°＜α≤45°時(shí)，小敏在旋轉(zhuǎn)的過程中發(fā)現(xiàn)線段BD、CE、DE之間存在如下等量關(guān)系：BD2+CE2=DE2.同組的小穎和小亮隨后想出了兩種不同的方法進(jìn)行解決：

小穎的方法：將△ABD沿AD所在的直線對折得到△ADF，連接EF（如圖15）；

小亮的方法：將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACG，連接EG（如圖16）.

請你從中任選一種方法進(jìn)行證明.

圖14

圖15

圖16

圖17

（3）小敏繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板，在探究中得出：當(dāng)45°＜α≤135°且α≠90°時(shí)，等量關(guān)系BD2+CE2=DE2仍然成立.現(xiàn)請你繼續(xù)探究：當(dāng)135°＜α＜180°時(shí)（如圖17），等量關(guān)系BD2+CE2=DE2是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由.

評析：本題的考點(diǎn)為角平分線的定義、等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、疊對稱的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形外角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等.（1）由角平分線的定義，根據(jù)等腰直角三角形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可得出結(jié)論.（2）小穎的方法是應(yīng)用折疊對稱的性質(zhì)和SAS得到△AEF≌△AEC，在Rt△DEF中應(yīng)用勾股定理而證明.小亮的方法是將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)用SAS得到△AEG≌△AED，從而在Rt△CEG中應(yīng)用勾股定理而證明.該小題其實(shí)給我們提供了兩種解題思路，分別是小穎的軸對稱變換思路和小亮的旋轉(zhuǎn)變換思路，為后面的探究做好了強(qiáng)有力的鋪墊.（3）當(dāng)135°＜α＜180°時(shí)，等量關(guān)系BD2+CE2=DE2仍然成立.仿（2）中兩位同學(xué)的思路都能證明，如圖18，是用小穎的軸對稱變換思路.如圖19是小亮同學(xué)的旋轉(zhuǎn)變換思路.

圖18

圖19

圖20

圖21

其實(shí)，如果我們對本題進(jìn)行深入探究還可以發(fā)現(xiàn)，第⑶小題中一筆帶過的那句話：當(dāng)45°＜α≤135°且α≠90°時(shí)，等量關(guān)系BD2+CE2=DE2仍然成立，我們也還可以進(jìn)一步進(jìn)行探究，在45°＜α＜90°，此時(shí)，點(diǎn)D和點(diǎn)E一個(gè)在線段BC上，一個(gè)在BC的延長線上，如圖20是用小穎的軸對稱變換思路，同樣，我們也可以用小亮的旋轉(zhuǎn)變換思路來證明，如圖21.

還有一種情況也值得我們?nèi)ヌ剿鳎褪钱?dāng)90°＜α＜135°，這個(gè)時(shí)候點(diǎn)D和點(diǎn)E都在延長線上，如圖22，是用小穎的軸對稱變換思路來證明，同樣，我們可以用小亮的旋轉(zhuǎn)變換思路來證明，如圖23.最后，我們再來看看當(dāng)180°＜α＜225°時(shí)結(jié)果會怎樣，發(fā)現(xiàn)和0°＜α≤45°其實(shí)也是一樣的，如圖24，到這里，應(yīng)該說這一題所有情況都已探索到了.我們可以總結(jié)：本題任何一種情況，實(shí)質(zhì)都是一樣的，都是先通過利用變換思想構(gòu)造全等三角形，從而把要求判斷的三條線段利用全等三角形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中，最后再說明該三角形是直角三角形進(jìn)而得出結(jié)論，問題就解決了.本題的精妙之處就在于旋轉(zhuǎn)中的變換，即在整個(gè)大的旋轉(zhuǎn)背景條件之下，再利用旋轉(zhuǎn)變換或者軸對稱變換的解題思路進(jìn)行證明，最終體現(xiàn)“多變歸一”的本質(zhì).

圖22

圖23

圖24

三、對以上中考美題賞析后引發(fā)的教學(xué)思考

1.“旋轉(zhuǎn)”所帶來的變式拓展，讓三角形問題變得絢爛多姿

以上三個(gè)中考題，每題中通過多次“旋轉(zhuǎn)”帶來了諸多變式拓展圖形，讓三角形問題變得絢爛多姿.而縱觀例1和例2不難發(fā)現(xiàn)，其實(shí)例2就是例1的一個(gè)變式，把問題的背景由等邊三角形變成了等腰直角三角形.可見，在近年的中考題中，變式拓展探究類問題已逐漸成為了主流，因此，在平時(shí)的教學(xué)中，我們應(yīng)該非常重視“變式教學(xué)”，讓學(xué)生在一系列的變化中尋找規(guī)律，發(fā)現(xiàn)“變”中的“不變”，從而找到整個(gè)系列問題的根本解決辦法，做到“多變歸一”，達(dá)到“解一題，通一類”的教學(xué)目的.另外，從課堂形式來看，通過“變式教學(xué)”，可以激發(fā)學(xué)生的好奇心、求知欲和創(chuàng)造力以及求異思維，從而提高學(xué)生的課堂參與度，讓學(xué)生真正成為課堂的主角，這正是我們所需要的“生本課堂”.

2.“旋轉(zhuǎn)”所帶來的基本圖形，讓三角形問題變得精妙絕倫

3.“旋轉(zhuǎn)”所帶來的數(shù)學(xué)思想，讓三角形問題變得美不勝收

通過以上中考題的賞析，讓我們體悟到了隱藏在旋轉(zhuǎn)變換這一背景下的全等這一數(shù)學(xué)核心知識點(diǎn)以及滲透在里面的諸多重要數(shù)學(xué)思想，包括轉(zhuǎn)化（化歸）思想、從特殊到一般的思想、分類思想、數(shù)形結(jié)合思想、類比思想等等，讓三角形因這些重要數(shù)學(xué)思想的滲透而變得美不勝收.我們都知道，數(shù)學(xué)是思維的科學(xué).數(shù)學(xué)教學(xué)最重要的是要使學(xué)生學(xué)會思維，學(xué)會數(shù)學(xué)思維，而合理的思維主要依賴于科學(xué)的思想方法.因此，要使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)卓有成效，就必須十分重視數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí).數(shù)學(xué)思想方法具有隱性的特點(diǎn)，它隱于知識內(nèi)部，它的形成是一個(gè)逐步滲透的長期過程，必須以數(shù)學(xué)問題為載體，經(jīng)過循序漸進(jìn)和反復(fù)訓(xùn)練，才能使學(xué)生真正地有所領(lǐng)悟.因此，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)需要我們教師悉心研討《課標(biāo)》，認(rèn)真鉆研教材，努力挖掘教材中能進(jìn)行數(shù)學(xué)思想滲透的各種素材，對數(shù)學(xué)知識從數(shù)學(xué)思想方法的角度認(rèn)真分析，課堂上才能很好地進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的滲透.只有注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，才能開啟學(xué)生智慧之門，超脫題海之苦，使學(xué)生學(xué)習(xí)更富有朝氣和創(chuàng)造性.

4.“旋轉(zhuǎn)”所帶來的探究活動，讓三角形問題變得精彩紛呈

以上中考題通過“旋轉(zhuǎn)”帶來的一系列變式探究活動過程，讓學(xué)生經(jīng)歷了知識探究的全過程，充分體驗(yàn)到“一題多變”的情趣以及“多變歸一”的妙趣，讓三角形問題的課堂變得精彩紛呈.學(xué)生在整個(gè)探究過程中解題能力、思維能力都得到了提高和發(fā)展.“知識探究過程”是變式教學(xué)的“生命線”，學(xué)生經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)問題、得出猜想、操作體驗(yàn)、探索交流、質(zhì)疑反思、推理驗(yàn)證、解決問題這整個(gè)過程，其中不乏“山重水復(fù)”“豁然開朗”的學(xué)習(xí)體驗(yàn).從思維的鍛煉、能力的形成角度看，要比單純的解題訓(xùn)練來得更深刻，更有效！因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)該多組織學(xué)生進(jìn)行有效的探究型活動，讓學(xué)生自主合作學(xué)習(xí)，把課堂還給學(xué)生，真正實(shí)現(xiàn)“生本課堂”.

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