由兩個(gè)簡(jiǎn)單結(jié)論引發(fā)的對(duì)一道競(jìng)賽題的探究

☉河北省圍場(chǎng)縣天卉中學(xué) 趙 平

結(jié)論一：角平分線+垂線?等腰三角形（及底邊的中點(diǎn)）.

具體理解：如圖1，OP是∠MON的平分線，AB⊥OP，分別交OM、ON于點(diǎn)A、B.則有以下結(jié)論成立：①OA=OB；②點(diǎn)C是AB的中點(diǎn).即△AOB是等腰三角形，垂足是等腰三角形底邊的中點(diǎn).特別說明：結(jié)論②用的更多一些.證明比較簡(jiǎn)單，這里從略.

結(jié)論二：直角三角形一個(gè)銳角的平分線與斜邊上的高線以及該銳角的對(duì)邊圍成等腰三角形.

圖1

具體理解：如圖2，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB邊上的高線CH與△ABC的一條角平分線AM相交于點(diǎn)P.求證：CM=CP（△CMP是等腰三角形）.

圖2

簡(jiǎn)析：由AM平分∠CAB，知∠CAM=∠BAM.

又∠BAM+∠APH=90°，∠CAM+∠AMC=90°，

則∠AMC=∠APH=∠CPM，

即△CMP是等腰三角形.

圖3

引申：把直角三角形一個(gè)銳角的平分線換為該銳角的外角平分線，結(jié)論仍然成立.如圖3，若AM是Rt△ABC的銳角∠CAB的外角平分線，且AM交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，交AB邊上的高線的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，則△CMP是等腰三角形.證明方法同上，這里從略.

競(jìng)賽題 （2009年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽（B卷）第二大題）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB邊上的高線CH與△ABC的兩條內(nèi)角平分線AM、BN分別交于P、Q兩點(diǎn)，PM、QN的中點(diǎn)分別為E、F.求證：EF∥AB.

原解：如圖4，因?yàn)锽N是∠ABC的平分線，

所以∠ABN=∠CBN.

又因?yàn)镃H⊥AB，

所以∠CQN=∠BQH=90°-∠ABN=90°-∠CBN=∠CNB，故CQ=NC.

圖4

又F是QN的中點(diǎn)，

所以CF⊥QN，

所以∠CFB=90°=∠CHB，

因此C、F、H、B四點(diǎn)共圓.

又∠FBH=∠FBC，所以FC＝FH，

故點(diǎn)F在CH的中垂線上.

同理可證，點(diǎn)E在CH的中垂線上.

因此EF⊥CH.又AB⊥CH，所以EF∥AB.

一、從兩個(gè)結(jié)論對(duì)解法進(jìn)行探究

由兩個(gè)結(jié)論想到不同于原證法的證明方法，而且不用四點(diǎn)共圓，降低難度.

在圖3中，由結(jié)論二可知△CMP及△CNQ均為等腰三角形，而點(diǎn)E、F分別為兩個(gè)等腰三角形底邊上的中點(diǎn)，若分別連接CE、CF，則有CE⊥AM，CF⊥BN.分別延長(zhǎng)CE、CF與AB相交，則可知點(diǎn)E、F分別所得線段的中點(diǎn)，所以線段EF為所得三角形的中位線，從而結(jié)論得證.

證明：如圖5，分別延長(zhǎng)CF、CE與AB相交于點(diǎn)G、D.

因?yàn)镃H是AB邊上的高線，∠ACB＝90°，AM平分∠CAB，所以∠HAP+∠APH=90°，∠CAP+∠CMA=90°，∠HAP=∠CAP.

所以∠APH=∠CMA=∠CPM，即CM=CP.

又點(diǎn)E是PM的中點(diǎn)，

所以CD⊥AM.

又AM平分∠CAB，

所以△ACE≌△ADE.

圖5

所以點(diǎn)E是CD的中點(diǎn).

同理點(diǎn)F是CG的中點(diǎn).即EF是△CDG的中位線.

所以EF∥DG，即EF∥AB.

二、由結(jié)論二的引申對(duì)問題進(jìn)行變式探究

結(jié)論二的引申：把內(nèi)角的平分線換為外角的平分線，結(jié)論不變.那么，競(jìng)賽題中若把角的平分線換為外角的平分線，結(jié)論是否也不變呢？下面我們來探究一下：

1.把一條內(nèi)角的平分線換為外角的平分線

如圖6，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB邊上的高線CH與△ABC的一條外角平分線AM、一條內(nèi)角平分線BN，分別交于P、Q兩點(diǎn)，PM、QN的中點(diǎn)分別為E、F.求證：EF∥AB.

圖6

證明：如圖6，分別延長(zhǎng)CF、CE與AB所在的直線相交于點(diǎn)G、D.

因?yàn)镃H是AB邊上的高線，∠ACB＝90°，AM平分∠DAC，

所以∠HAP+∠APH=90°，∠CAM+∠CMA=90°，∠HAP=∠DAM=∠CAM.

所以∠APH=∠CMA，即CM=CP.

又點(diǎn)E是PM的中點(diǎn)，所以CD⊥PM.

又AM平分∠CAD，

所以△ACE≌△ADE.

所以點(diǎn)E是CD的中點(diǎn).

同理，點(diǎn)F是CG的中點(diǎn).

即EF是△CDG的中位線.

所以EF∥DG，也即EF∥AB.

2.把兩條內(nèi)角的平分線都換為外角的平分線

如圖7，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB邊上的高線CH所在的直線與△ABC的兩條外角平分線AM、BN所在的直線分別交于P、Q兩點(diǎn)，PM、QN的中點(diǎn)分別為E、F.求證：EF∥AB.

證明：如圖7，分別延長(zhǎng)CF、CE與AB所在的直線相交于點(diǎn)G，D.

圖7

因?yàn)镃H是AB邊上的高線，∠ACB＝90°，AM平分∠DAC，所以∠HAP+∠APH=90°，∠CAM+∠CMA=90°，∠HAP=∠DAM=∠CAM.∠APH=∠CMA，即CM=CP.

又點(diǎn)E是PM的中點(diǎn)，所以CD⊥PM.

又AM平分∠CAD，所以△ACE≌△ADE.

配制一系列不同初始濃度的甲基紫溶液，其他條件不變，考察甲基紫溶液初始濃度對(duì)TiO2薄膜光催化性能的影響，實(shí)驗(yàn)結(jié)果見圖4.

所以點(diǎn)E是CD的中點(diǎn).

同理，點(diǎn)F是CG的中點(diǎn).即EF是△CDG的中位線.

所以EF∥DG，也即EF∥AB.

三、對(duì)母題所產(chǎn)的“金蛋”進(jìn)行探究

關(guān)于“費(fèi)爾馬猜想”這個(gè)問題，有一個(gè)有趣的傳說，偉大的數(shù)學(xué)家希爾伯特曾經(jīng)聲稱，他能解開這個(gè)難題，可是由于在求解這個(gè)難題的過程中，給數(shù)學(xué)的發(fā)展創(chuàng)造了不少新的內(nèi)容，如果這個(gè)難題解決，這些有益的副產(chǎn)品就可能得不到，因此他故意回避而不去解決，他很形象地將“費(fèi)爾馬猜想”比作一只母雞，而將那些有益的副產(chǎn)品比作“金蛋”，希爾伯特深情地說“我應(yīng)當(dāng)更加注意，不要?dú)⒌暨@只經(jīng)常能為我們下金蛋的母雞.”相信這樣一道優(yōu)質(zhì)的賽題也一定會(huì)產(chǎn)出一些金蛋.不探究一番，實(shí)在可惜.

第一枚金蛋.如圖8，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB邊上的高線CH與△ABC的一條角平分線AM相交于點(diǎn)P，又點(diǎn)E、D分別為PM、AC的中點(diǎn).求證：ED∥AB.

圖8

簡(jiǎn)析：由結(jié)論二知點(diǎn)E為等腰三角形CMP的底邊中點(diǎn)，所以CE⊥AM.又點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，所以ED是Rt△ACE斜邊的中線，即DE=AD=CD，所以∠AED=∠DAE=∠EAB，問題得證.

第二枚金蛋.如圖9，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB邊上的高線CH與△ABC的一條角平分線AM相交于點(diǎn)P.又點(diǎn)E、D分別為PM、AC的中點(diǎn)，連接DE、DH.求證：DE=DH.

圖9

因?yàn)镈H是Rt△ACH斜邊的中線，

所以DH=AD=CD，

即DH=DE.證畢.

第三枚金蛋.如圖10，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB邊上的高線CH與△ABC的兩條內(nèi)角平分線AM、BN分別交于P、Q兩點(diǎn).PM、QN的中點(diǎn)分別為E、F，若AC=3，BC=4.求EF的長(zhǎng)度.

圖10

圖11

簡(jiǎn)析：如圖11，分別延長(zhǎng)CF、CE與AB相交于點(diǎn)G、D.

根據(jù)賽題的證明，再結(jié)合結(jié)論一：

由CE⊥AM，可得△ACD是等腰三角形，所以有AC=AD.由CF⊥BN，

可得△CBG是等腰三角形，

所以有CB=BG.

根據(jù)圖形知DG=AD+BG-AB，

所以DG=AC+BC-AB.

又EF是△CDG的中位線，